Az Igazság Felülvizsgálati Elmélete

Ez egy fájl a Stanford Enciklopédia Filozófia archívumában.

Az igazság felülvizsgálati elmélete

Első kiadása: 1995. december 15., péntek; érdemi felülvizsgálat, 2006. július 28., péntek

Vegyük a következő mondatot:

(1) nem igaz.

(1)

Régóta ismert, hogy az (1) mondat paradoxont, az úgynevezett hazug paradoxont hoz létre: következetlennek tűnik azt állítani, hogy az (1) igaz, és következetesen állítani, hogy (1) nem igaz. (A részleteket lásd az alábbi 1. szakaszban.) Ilyen paradoxonra tekintettel szkeptikusak lehetnek az igazság fogalmát illetően, vagy legalábbis annak valószínűségeit illetően, hogy tudományosan tiszteletteljes beszámolót nyújtanak az igazságról. Alfred Tarski nagyszerű eredménye az volt, hogy megmutassa, hogyan lehet - az ellenkezőleg ezt a szkepticizmust adva - az igazság hivatalos meghatározását a formalizált nyelvek széles osztályára vonatkozóan. Tarski azonban nem mutatta meg, hogyan lehet meghatározni az igazságot azoknak a nyelveknek (például az angol), amelyek magukban foglalják a saját igazság predikátumaikat. Azt gondolta, hogy ezt nem lehet megtenni, éppen a hazug paradoxonja miatt. Úgy vélte, hogy minden olyan nyelv, amelynek saját igazság-predikátuma lenne, nem lenne következetes, mindaddig, amíg be nem tartja a szokásos klasszikus logika szabályait, és képes hivatkozni a saját mondataira.

Tekintettel a jelentés és az igazság közötti szoros kapcsolatra, széles körben elterjedt az a vélemény, hogy az L nyelv bármilyen szemantikája, azaz az L jelentésének bármilyen elmélete szorosan kapcsolódik az igazság elméletéhez az L nyelv számára: valójában általában azt mondják, hogy valami mint az Tarskiai igazság elmélete az L számára, az L szemantikájának központi része lesz. Tehát annak lehetetlensége, hogy a tarski igazságelméletet a saját igazságszámaikkal megfogalmazott nyelvekre adják, azzal fenyeget, hogy a nyelvek szemantikáját adják meg a saját igazságszájával.

Vártunk Kripke 1975 és Martin & Woodruff 1975 munkájáig, hogy szisztematikusan hivatalos javaslatot nyújtsunk be a nyelv saját szemléltetésének saját igazság-predikátumával. Az alapgondolat egyszerű: tegye a sértő mondatokat, mint például az (1), hogy legyen sem igaz, sem hamis. Különösen Kripke megmutatja, hogyan lehet ezt a gondolatot a legkülönbözőbb nyelveken megvalósítani, valójában szemantikát alkalmazva, amelynek három értéke van: igaz, hamis és egyik sem. ^[1] Nyugodtan mondhatjuk, hogy a Kripkean megközelítései helyettesítették a tarski pesszimizmust, mint a nyelveket érintő új ortodoxia saját igazság predikátumával.

A háromértékű szemantika egyik fő versenytársa az igazság felülvizsgálati elmélete (RTT), amelyet önállóan Hans Herzberger és Anil Gupta fejlesztett ki, és amelyet Herzberger 1982a és 1982b, Gupta 1982 és Belnap 1982 publikációjában mutattak be - az első monográfiák a témában a Yaqūb 1993 és a locus classicus, Gupta és Belnap 1993. Az RTT célja, hogy modellezze az érvelés fajtáját, amelyre a hazug mondat vezet, kétértékű összefüggésben. A központi ötlet a felülvizsgálati folyamat gondolata: egy folyamat, amelynek során felülvizsgáljuk az egy vagy több mondat igazságértékére vonatkozó hipotéziseket. Jelen cikk célja az igazság felülvizsgálati elméletének felvázolása. A következőképpen járunk el:

• 1. Semiformal bevezetés

• 2. A probléma megfogalmazása

  • 2.1 Az igazság nyelvei
  • 2.2 Talajmodellek
  • 2.3 A hazug paradoxona (ismét)

• 3. Az RTT alapfogalmai

  • 3.1 Felülvizsgálati szabályok
  • 3.2 Felülvizsgálati szekvenciák

• 4. A formalizmus értelmezése

  • 4.1 A T jelentése
  • 4.2 Az 'iff' a T-biciklikben
  • 4.3 A paradox érvelés
  • 4.4 A jelölési tézis
  • 4.5 A szemantika túlélése
  • 4.6 Yaqūb értelmezése a formalizmusról

• 5. További kérdések

  • 5.1 Háromértékű szemantika
  • 5.2 Az RTT módosításai
  • 5.3 A körkörösen meghatározott fogalmak felülvizsgálati elmélete
  • 5.5 Alkalmazások
  • 5.5 Nyílt kérdés
• Bibliográfia
• Egyéb internetes források
• Kapcsolódó bejegyzések

1. Semiformal bevezetés

Nézzük közelebbről a fenti mondatot (1):

(1) nem igaz.

(1)

Hasznos lesz a paradox érvelés világossá tétele. Először is, tegyük fel

(1) nem igaz.

(2)

Intuitív elvnek tűnik az igazság vonatkozásában, hogy bármely p mondatra van az úgynevezett T-bicondition

A „p” igaz, ha a p.

(3)

(Itt az 'iff' rövidítést használjuk az 'csak és akkor' rövidítésként.) Különösen kellene

„(1) nem igaz” igaz, ha az (1) nem igaz.

(4)

Így a (2) és (4) pontokból kaptunk

„(1) nem igaz” igaz.

(5)

Akkor alkalmazhatjuk az identitást,

(1) = "(1) nem igaz."

(6)

arra a következtetésre jutni, hogy (1) igaz. Mindez azt mutatja, hogy ha (1) nem igaz, akkor (1) igaz. Hasonlóképpen azt is azzal érvelhetjük, hogy ha (1) igaz, akkor (1) nem igaz. Tehát (1) úgy tűnik, hogy igaz és nem igaz is: ennélfogva a paradoxon. Mint fentebb kifejtettük, a paradoxon háromértékű megközelítése úgy véli, hogy a hazug mondat (1) nem igaz, sem hamis. Az, hogy pontosan hogyan, vagy akár, hogy ez a lépés blokkolja a fenti érvelést, vita kérdése. Az RTT célja nem a fenti érvelés blokkolása, hanem modellezése - vagy annak nagy része. ^[2] Mint fentebb már említettük, a központi ötlet a felülvizsgálati folyamat gondolata: egy olyan folyamat, amelynek során felülvizsgáljuk egy vagy több mondat igazságértékére vonatkozó hipotéziseket.

Fontolja meg a fenti hazug mondat (1) indokolását. Tegyük fel, hogy feltételezzük, hogy (1) nem igaz. Ezután a vonatkozó T-bicondition alkalmazásával felülvizsgálhatjuk hipotézisünket az alábbiak szerint:

Hipotézis:	(1) nem igaz.
T-biconditional:	„(1) nem igaz” igaz, ha az (1) nem igaz.
Ezért:	„(1) nem igaz” igaz.
Ismert azonosság:	(1) = „(1) nem igaz”.
Következtetés:	(1) igaz.
Új felülvizsgált hipotézis:	(1) igaz.

Folytathatnánk a felülvizsgálati eljárást, hipotézisünk újbóli felülvizsgálatával, az alábbiak szerint:

Új hipotézis:	(1) igaz.
T-biconditional:	„(1) nem igaz” igaz, ha az (1) nem igaz.
Ezért:	„(1) nem igaz” nem igaz.
Ismert azonosság:	(1) = „(1) nem igaz”.
Következtetés:	(1) nem igaz.
Új, felülvizsgált hipotézis:	(1) nem igaz.

A felülvizsgálati folyamat folytatódása közben előre-vissza mozoghatunk a hazugság mondatának valódi és nem igaz felvétele között.

1.1. Példa

Érdemes megnézni, hogyan működik az ilyen felülvizsgálati érvelés több mondat esetén. Alkalmazzuk a revíziós ötletet a következő három mondatra:

(8) igaz vagy (9) igaz.	(7)
(7) igaz.	(8)
(7) nem igaz.	(9)

Informálisan a következőket indokolhatjuk. Vagy (7) igaz, vagy (7) nem igaz. Így vagy (8) igaz, vagy (9) igaz. Így (7) igaz. Így (8) igaz, és (9) nem igaz, és (7) továbbra is igaz. A folyamat ismétlése után ismét azt kapjuk, hogy (8) igaz, (9) nem igaz, és (7) igaz. Formálisabban mérlegelje a (7), (8) és (9) igazságértékeire vonatkozó kezdeti hipotézist, h ₀. Vagy h ₀ azt mondja, hogy (7) igaz, vagy h ₀ azt mondja, hogy (7) nem igaz. Mindkét esetben felhasználhatjuk a T-kétfeltételes feltételt a felülvizsgált h ₁ hipotézis készítéséhez: ha h ₀ azt mondja, hogy (7) igaz, akkor h ₁ azt mondja, hogy a (7) igaz, az igaz, azaz hogy (8) igaz; és ha h ₀azt mondja, hogy (7) igaz, akkor h ₁ azt mondja, hogy „(7) nem igaz” igaz, azaz hogy (9) igaz. Tehát h ₁ azt mondja, hogy vagy (8) igaz, vagy (9) igaz. Tehát h ₂ azt mondja, hogy „(8) igaz, vagy (9) igaz” igaz. Más szavakkal, a h ₂ azt mondja, hogy (7) igaz. Tehát, függetlenül attól, hogy milyen h ₀ hipotézissel kezdjük, a felülvizsgálati folyamat két iterációja azt a hipotézist eredményezi, hogy a (7) igaz. Hasonlóképpen, a felülvizsgálati folyamat három vagy több iterációja ahhoz a hipotézishez vezet, hogy (7) igaz, (8) igaz és (9) hamis - kezdeti hipotézisünktől függetlenül. A 3. szakaszban ezt a példát hivatalos kontextusban vizsgáljuk meg.

Egy dolog, amit meg kell jegyezni, hogy az 1.1. Példában a felülvizsgálati folyamat mindhárom mondathoz stabil igazságértékeket ad. Az RTT központi fogalma lesz az egy mondat fogalma, amely stabilan igaz minden változatban. A revizícióelméleti kezelés ebben az esetben ellentmond a háromértékű megközelítésnek: a háromértékű ötlet legtöbb megvalósítási módján mind a (7), (8) és (9) mondat kiderül, hogy egyik sem igaz vagy hamis. ^[3] Ebben az esetben az RTT vitathatatlanul jobban megragadja a helyes informális érvelést, mint a háromértékű megközelítés: az RTT a (7), (8) és (9) mondatokhoz rendeli a hozzájuk rendelt igazságértékeket. a példa elején megadott informális érveléssel.

2. A probléma megfogalmazása

2.1 Az igazság nyelvei

Az RTT célja, hogy beszámoljon az igazságról gyakran instabil és gyakran paradox módon alkotott érvelésről - ez egy kétértékű beszámoló, amely a mondatokhoz stabil klasszikus igazságértékeket rendel, amikor az intuitív érvelés stabil klasszikus igazságértékeket rendelne hozzá. Bemutatjuk a formális nyelv hivatalos szemantikáját: azt akarjuk, hogy e nyelvnek legyen igazság-predikátum és forrásai a saját mondataira.

Vizsgáljuk meg az L elsőrendű nyelvet, kötő és &, ∨ és ¬, ∀ és ∃ számszerűsítőkkel, az egyenlőségjel =, változók, és némi készletnevek, függvényszimbólumok és relációs szimbólumok. Azt fogjuk mondani, hogy L igazságnyelv, ha megkülönböztetett predikátummal rendelkezik T és idézőjelekkel, amelyeket idézőnevek formázására használnak: ha A L mondat, akkor 'A' név. Küldje el _L = {A: A egy L mondat.

2.2 Talajmodellek

Az igazság predikátumán kívüli feltételezzük, hogy nyelvünket teljesen klasszikusan értelmezzük. Tehát az igazságnyelv T- mentes fragmentumát egy alapmodell segítségével ábrázoljuk, azaz az L T- mentes fragmentumának klasszikus értelmezését. A T -mentes fragmentum L értjük elsőrendű nyelv L ^-, hogy ugyanaz a név, függvényés kapcsolatos szimbólumokat L, kivéve a egyoperandusú állítmány T. Mivel L ^- ugyanolyan nevekkel rendelkezik, mint L, beleértve ugyanazokat az idézőjeleket, L ^- L minden A mondatára „A” idézőnevet fog kapni. Így ∀ x T x nem egy mondat L ^-, de „∀ x T x 'egy név az L ^- és ∀ X (X =' ∀ x T x „) van egy mondat az L ^-. Az alapmodell alapján megvizsgáljuk a T kielégítő értelmezésének kilátásait. A legnyilvánvalóbb vágy az, hogy a T modell értelmezésére kiterjedő alapmodell kielégíti Tarski T-biciklikus feltételeit, azaz

T  'A' iff A

minden A ∈ Elküldött _L. A dolgok pontosítása érdekében az alapmodell L legyen klasszikus M = <D, I> modell az L T- mentes fragmense számára, kielégítve a következőket:

1. D a diskurzus nem páratlan területe;

2. Én egy hozzárendelő funkció vagyok

   1. L név szerint minden egyes D névnek;
   2. az egyes n -aril funkcióját szimbóluma L egy funkciót a D ⁿ D; és
   3. az egyes n -aril viszonyítva szimbólum, eltérő T, L egy funkciót D ⁿ, hogy az egyik a két igazság-értékek a { T, f }; ^[4]
3. Elküldve _L ∈ D; és
4. I ('A') = A minden A ∈ elküldött _{L számára}.

Az (1) és (2) bekezdések egyszerűen meghatározzák, hogy mi az M az L T- mentes fragmentumának klasszikus modellje. A (3) és (4) bekezdések biztosítják, hogy L értelmezésekor a saját mondatairól beszéljen. Mivel az L földi modellt és egy nevet, függvényszimbólumot vagy X-relációszimbólumot gondolhatunk, az I (X) -re mint X értelmezésére, vagy egy kifejezés kölcsönvételére Gupta-tól és Belnap-tól, X-nek. Gupta és Belnap egy kifejezés vagy fogalom jelölését egy w világban úgy jellemzik, mint “elvont valamit, amely magában foglalja az összes információt a kifejezés [vagy a koncepció] kiterjesztési viszonyairól”. Ha azt akarjuk értelmezni, hogy T x az 'x igaz', akkor az M alap modellhez megfelelő jelölést vagy megfelelő szignifikancia-tartományt szeretnénk találni T.

2.3 A hazug paradoxona (ismét)

Megpróbálhatjuk a T-hez klasszikus jelentést rendelni, kibővítve M-t egy klasszikus M '= <D', I '> modellre, egész L-re, beleértve a T-t is. Emlékezzünk arra, hogy azt akarjuk, hogy az M 'kielégítse a T-biciklikus feltételeket: a legnyilvánvalóbb gondolat itt az, hogy megértsük az' iff-et mint az igazság-feltételhez kötött kétfeltételt. Sajnos nem minden M = <D, I> földi modell kiterjeszthető ilyen M 'értékre. Vegyünk egy L igazságnyelvet λ névvel és egy M = <D, I> alapmodellt úgy, hogy I (λ) = ¬ T λ. Tegyük fel, hogy M 'az M klasszikus kiterjedése az összes L-re. Mivel az M 'az M kiterjesztése, én és én' egyetértünk L összes nevével. Így

I '(λ) = I (λ) = ¬ T λ = I (' ¬ T λ ') = I' ('¬ T λ').

Tehát a T λ és T  '¬ T λ mondatok ugyanaz az igazságérték M' -ben. Tehát a T-kétfeltételes

T  '¬ T λ' ≡ ¬ T λ

hamis az M '-ben. Ez a hazug paradoxon formalizálása, és a ¬ T λ mondat a sértő hazug mondata.

A saját igazságfogalmaik kifejezésére képes nyelvek szemantikájában T -nek általában nincs klasszikus jelentése; és a T-biciklikus feltételekben az 'iff' nem tekinthető klasszikus biciklikusnak. Ezeket a javaslatokat az alábbiakban ismertetjük a 4. szakaszban.

3. Az RTT alapfogalmai

3.1 Felülvizsgálati szabályok

Az 1. szakaszban informálisan felvázoltuk az RTT központi gondolatát, nevezetesen, hogy a T-biciklikus feltételeket felhasználhatjuk egy revíziós szabály létrehozására - egy szabály az igazság predikátumának kiterjesztésére vonatkozó hipotézis felülvizsgálatához. Itt formáljuk ezt a fogalmat, és az 1. szakasz példáján dolgozunk.

Általánosságban hagyjuk, hogy L legyen igazságnyelv, és M legyen alapmodell L-nek. A hipotézis egy h függvény: D → { t, f }. A hipotézis valójában T feltételezett klasszikus értelmezése lesz. Dolgozzunk egy olyan példával, amely megragadja a hazug paradoxont és az 1. szakasz 1.1 példáját. A példát formálisan, de félig formálisan fogjuk megfogalmazni, a T egyik feltételezett kiterjesztéséből a másikba történő átmenetre.

3.1. Példa

Tegyük fel, hogy L négy nem idézőjelet tartalmaz, α, β, γ és λ, és egyetlen T predikátumot nem tartalmaz. Tegyük fel továbbá, hogy M = <D, I> a következő:

D	=	Elküldve L
I (α)	=	T β ∨ T γ
I (β)	=	T α
I (γ)	=	¬ T α
I (λ)	=	¬ T λ

Kényelmes lesz hagyni

A	legyen a mondat	T β ∨ T γ
B	legyen a mondat	T α
C	legyen a mondat	¬ T α
x	legyen a mondat	¬ T λ

Így:

D	=	Elküldve L
I (α)	=	A
I (β)	=	B
I (γ)	=	C
I (λ)	=	x

Tegyük fel, hogy a h ₀ hipotézis azt állítja, hogy A hamis, B igaz, C hamis és X igaz. Így

h 0 (A)	=	f
h 0 (B)	=	t
h 0 (C)	=	f
h 0 (X)	=	f

Most néhány szemiformális érvelést fogunk folytatni, a h ₀ hipotézis alapján. A négy mondat közül: A, B, C és X, h ₀ csak B-t helyezi T kiterjesztésébe. Így a h _0-ból következtetve következtethetünk erre

¬ T α	mivel az α referenciája nem a T kiterjesztésében van
T β	mivel a β referenciája a T kiterjesztésében van
¬ T γ	mivel γ referenciája nem a T kiterjesztésében van
¬ T λ	mivel λ referenciája nem a T kiterjesztésében van.

Az A, B, C és X négy mondatra vonatkozó T-biciklikus feltétel a következő:

(T A)	A igaz, ha T β ∨ T γ
(T B)	B igaz, ha T α
(T C)	C igaz, ha ¬ T α
(T X)	X igaz, ha ¬ T λ

Így a h _0-ból következtetve következtethetünk erre

A igaz

B nem igaz

C igaz

X igaz

Ez az új hipotézisünk h ₁:

h 1 (A)	=	t
h 1 (B)	=	f
h 1 (C)	=	t
h 1 (X)	=	t

Vizsgáljuk meg újra hipotézisünket. Tehát most néhány, félig formális érveléssel foglalkozunk, a h ₁ hipotézis alapján. A h ₁ hipotézis A, C és X, de B nem helyezi el a T kiterjesztését. Így a h _1-es érvelésből arra következtethetünk, hogy

T α	mivel az a referencia a T kiterjesztésében van
¬ T β	mivel a β referenciája a T kiterjesztésében van
T γ	mivel γ referenciája nem a T kiterjesztésében van
T λ	mivel λ referenciája nem a T kiterjesztésében van

Emlékezzünk a fenti A, B, C és X mondatra vonatkozó T-biciklikus feltételre. A h _1-ből és ezekből a T-biciklikus feltételekből következtetve következtethetünk erre

A igaz

B igaz

C nem igaz

X nem igaz

Ez hozza létre az új új hipotézisünket, h ₂:

h 2 (A)	=	t
h 2 (B)	=	t
h 2 (C)	=	f
h 2 (X)	=	f

□

Forgalmazzuk a 3.1. Példában leírt szemiformal érvelést. Először azt feltételeztük, hogy bizonyos mondatok a T kiterjesztésében vannak-e vagy sem. Tekintsük a szokásos klasszikus modellelméletet. Tegyük fel, hogy nyelvünknek predikátum G és a neve van, és hogy van egy M = <D, I> modell, amely a G kiterjesztés belsejébe helyezi a referenciát:

I (G) (I (a)) = t

Ezután klasszikusan arra a következtetésre jutunk, hogy a Ga mondat igaz M-ben. Hasznos, ha van egy jelölés az S mondat klasszikus igazságértékére az M klasszikus modellben. Írjuk a Val _M (S) -t. Ebben az esetben Val _M (Ga) = t. A 3.1. Példában nem az egész L nyelv klasszikus modelljével kezdtük, hanem csak az L T- mentes fragmentumának klasszikus modelljével. De aztán hozzáadott egy hipotézist annak érdekében, hogy klasszikus modellt kapjunk az összes L-ről. Használjuk az M + h jelölést az összes L klasszikus modelljéhez, amelyet akkor kapunk, amikor M kiterjesztjük, amikor T kiterjesztést rendelünk a h hipotézis alapján. Miután hozzárendelt egy kiterjesztést a predikátumhoz T, kiszámíthatja az L mondatok igazságértékeit. Vagyis az L minden egyes mondatához kiszámolhatjuk

Val _{M + h} (S)

A 3.1. Példában a h ₀ hipotézissel kezdtük a következőket:

h 0 (A)	=	f
h 0 (B)	=	t
h 0 (C)	=	f
h 0 (X)	=	f

Ezután a következőképpen számoltuk:

Val M + h 0 (T α)	=	f
Val M + h 0 (T β)	=	t
Val M + h 0 (T γ)	=	f
Val M + h 0 (T λ)	=	f

És aztán a következőkre jutottunk:

Val M + h 0 (A)	=	Val M + h 0 (T β ∨ T γ) = t
Val M + h 0 (B)	=	Val M + H 0 (¬ T α) = f
Val M + h 0 (C)	=	Val M + h 0 (T α) = t
Val M + h 0 (X)	=	Val M + H 0 (¬ T λ) = t

Ezek a következtetések generálták új hipotézisünket, h ₁:

h 1 (A)	=	t
h 1 (B)	=	f
h 1 (C)	=	t
h 1 (X)	=	t

Vegye figyelembe, hogy általában

h ₁ (S) = Val _{M + h 0 (S).}

Most készen állunk az M = <D, I> alapmodell által megadott felülvizsgálati szabály meghatározására. Általában véve egy h hipotézist, akkor M + h = <D, I '> legyen az L modellje, amely egyetért az M-rel az L T- mentes fragmentumán, és amely olyan, hogy I' (T) = h. Az M + h tehát csak klasszikus modell az összes L számára. Az L mindegyikének M + h modelljére, valamint az A mondatok bármelyikére, ha L, az Val _{M + h} (A) az A szokásos klasszikus igazságértéke M + h-ban.

3.2. Meghatározás

Tegyük fel, hogy L igazságnyelv, és M = <D, I> L alapmodellje. Az τ _M módosítási szabály a hipotéziseket a következő hipotézisekre térképező függvény:

τ M (h) (d)

=

{

t, ha d ∈ D egy L mondat és Val M + h (d) = t f, ellenkező esetben

Az „egyébként” záradék azt mondja nekünk, hogy ha d nem L mondat, akkor a revízió egyszeri alkalmazása után ragaszkodunk ahhoz a hipotézishez, hogy d nem igaz. ^[5] Vegye figyelembe, hogy a 3.1. Példában h ₁ = τ _M (h ₀) és h ₂ = τ _M (h ₁). Gyakran eldobjuk az aláírt „M” -et, amikor a kontextus világossá teszi, hogy melyik alapmodell kérdéses.

3.2 Felülvizsgálati szekvenciák

Vegyük fel a 3.1. Példát, és nézzük meg, mi történik, amikor a revíziós szabály alkalmazását ismételjük.

3.3. Példa (3.2. Példa folytatódik)

Emlékezzünk arra, hogy L négy nem idézőjelet tartalmaz, α, β, γ és λ, és csak a T predikátumokból áll. Emlékezzünk arra is, hogy M = <D, I> a következő:

D	=	Elküldve L
I (α)	=	A	=	T β ∨ T γ
I (β)	=	B	=	T α
I (γ)	=	C	=	¬ T α
I (λ)	=	x	=	¬ T λ

Az alábbi táblázat bemutatja, hogy mi történik az τ _M módosítási szabály ismételt alkalmazásával a 3.1 példa h ₀ hipotézisére. Ebben a táblázatban τ-t fog írni τ _M helyett:

S	h 0 (S)	τ (h 0) (S)	τ 2 (h 0) (S)	τ 3 (h 0) (S)	τ 4 (h 0) (S)	…
A	f	t	t	t	t	…
B	t	f	t	t	t	…
C	f	t	f	f	f	…
x	f	t	f	t	f	…

Tehát h ₀ generál egy revíziós szekvenciát (lásd alább a 3.7 meghatározást). És A és B stabilan igazak abban a revíziós sorrendben (lásd alább a 3.6. Meghatározást), míg C stabilan hamis. Az X hazug mondat nem meglepő módon sem stabil, sem hamis: a hazug mondat instabil. Egy hasonló számítás azt mutatja, hogy A stabilan igaz, függetlenül a kezdeti hipotézistől: így A kategorikusan igaz (lásd a 3.8 meghatározást).

Mielőtt megadnánk a revíziós sorrend pontos meghatározását, adunk egy példát, ahol a revíziós folyamatot a h véges, τ ¹ (h), τ ² (h), τ ³ (h), és így tovább kívánjuk végrehajtani. tovább.

3.4. Példa

Tegyük fel, hogy L nem idézőjeleket tartalmaz, α ₀, α ₁, α ₂, α ₃,…, és G és T uniar predikátumok. Most meghatározzuk az M = <D, I> talajmodellt, ahol az α ₀ név valamilyen tautológiára utal és hol

az α ₁ név a T α ₀ mondatra utal, az

α ₂ név a T α ₁ mondatra utal, az

a ₃ név a T a ₂ mondatra utal

.

Formálisabban: A ₀ legyen T α ₀ ∨ ¬ T α ₀ mondat, és minden n ≥ 0 esetén legyen A _{n +1} T α _n mondat. Így A ₁ a T α ₀ mondat, és A ₂ a T α ₁ mondat, és A ₃ a T α ₂ mondat, és így tovább. Az M = <D, I> alap modellünk a következő:

D	=	Elküldve L
I (α n)	=	A n
I (G) (A) = t	iFF	A = A n néhány n esetében

Így G kiterjesztése a következő mondatkészlet: {A ₀, A ₁, A ₂, A ₃,…} = {(T α ₀ ∨ ¬ T α ₀), T α ₀, T a ₁, T a ₂, T a ₃,…}. Végül legyen B a ∀ x mondat (Gx ⊃ T x). Legyen h olyan hipotézis, amelyre minden n természetes számra vonatkozunk,

h (A _n) = h (B) = f.

Az alábbi táblázat bemutatja, hogy mi történik az τ _M módosítási szabály ismételt alkalmazásával a h hipotézisre. Ebben a táblázatban τ-t fog írni τ _M helyett:

S	h (S)	t (h) (S)	τ 2 (h) (S)	τ 3 (h) (S)	τ 4 (h) (S)	…
A 0	f	t	t	t	t	…
A 1	f	f	t	t	t	…
A 2	f	f	f	t	t	…
A 3	f	f	f	f	t	…
A 4	f	f	f	f	f	…
B	f	f	f	f	f	…

A 0 ^edik szakaszban, minden egyes A _n kívül a feltételezett kiterjesztése T. De az n- ^edik stádiumtól kezdve A _n a T feltételezett feltételezésében van. Tehát minden n-re az A _n mondatot végül stabilan feltételezik, hogy igaz legyen. Ennek ellenére, nincs véges stádium, amelyben az összes A _n -ek feltételeztük, hogy igaz legyen: ennek eredményeként a mondat B = ∀ x (Gx ⊃ T X) marad hamis minden egyes véges szakaszában. Ez azt sugallja, hogy a folyamatot a következőképpen kell kiterjeszteni:

S	h (S)	τ (h) (S)	τ 2 (h) (S)	τ 3 (h) (S)	…	ω	ω + 1	ω + 2	…
A 0	f	t	t	t	…	t	t	t	…
A 1	f	f	t	t	…	t	t	t	…
A 2	f	f	f	t	…	t	t	t	…
A 3	f	f	f	f	…	t	t	t	…
A 4	f	f	f	f	…	t	t	t	…
B	f	f	f	f	…	f	t	t	…

Tehát, ha hagyjuk, hogy a revíziós folyamat a véges szakaszokon túl haladjon, akkor a B = ∀ x Gx ⊃ T x) mondat a ω + 1. ^státustól kezdve stabilan igaz. □

A 3.4 példában, az intuitív ítéletet, hogy nem csak kell minden egyes A _n kap egy stabil igaz értéke t, de olyan kell a mondat B = ∀ x (Gx ⊃ T x). Ennek egyetlen módja annak biztosítása, hogy a revíziós folyamat a véges szakaszokon túl kerüljön. Tehát figyelembe vesszük a nagyon hosszú javítási szekvenciákat: nemcsak egy revíziós sorozatnak lesz n- ^edik fokozata minden n véges szám számára, hanem η ^th fokozatunk is minden η rendszámon. (A következő bekezdés célja, hogy segítse az olvasót, aki ismeri a rendszámokat.)

A rendszámok gondolkodásának egyik módja a következő. Kezdje a véges természetes számokkal:

0, 1, 2, 3,…

Adjon hozzá egy ω számot, amely nagyobb mint mindegyik, de egyiküknek sem a közvetlen utódja:

0, 1, 2, 3,…, ω

És akkor vegye ω utódját, utódját és így tovább:

0, 1, 2, 3,…, ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3…

Ezután adjunk hozzá egy ω + ω vagy ω × 2 számot, amely nagyobb mint mindegyik (és megismételjük, hogy egyiküknek sem a közvetlen utódja), és kezdjük újra, ismételve ezt a folyamatot újra és újra:

0, 1, 2, 3,…, ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3,…, ω × 2, (ω × 2) +1, (ω × 2) +2, (ω × 2) +3,…, ω × 3, (ω × 3) +1, (ω × 3) +2, (ω × 3) +3,…

Végül hozzáadunk egy number × ω vagy ω ² sorszámot:

0, 1, 2,…, ω, ω + 1, ω + 2,…, ω × 2, (ω × 2) +1,…, ω × 3,…, ω × 4,…, ω × 5, …, Ω ², ω ² +1,…

A rendszámok felépítése a következő: minden rendszámnak van azonnali utódja, az úgynevezett utódrend; és a rendszámok bármilyen végtelenül növekvő sorozatánál van egy olyan végrendelvény, amely nagyobb, mint a szekvencia összes tagja, és amely nem a sorozat egyik tagjának közvetlen utódja. Így az alábbiak egymást követő rendiek: 5, 178, ω + 12, (ω × 5) +56, ω ² +8; és a következő határt sorszám: ω, ω × 2, ω ², (ω ² + ω), stb Mivel egy határ ordinális η, egy S szekvenciát az objektumok egy η- hosszú szekvenciát, ha van egy tárgy S _δ számára minden rendi δ <η. Az ordinálok osztályát On-nak fogjuk jelölni. Az objektumok bármilyen S szekvenciája On hosszú sorozat, ha van S _δ objektum minden rendi δ-re.

Annak felmérésekor, hogy egy mondat stabil valódiságot kap-e, az RTT a hosszúságú hipotéziseket sorolja be. Tegyük fel tehát, hogy S egy hosszúságú hipotézis sorozat, és hagyja, hogy ζ és η az ordinálok felett legyenek. Nyilvánvaló, hogy ahhoz, hogy S képviselje a revíziós folyamatot, szükségünk van a ζ + 1- ^es hipotézis generálására a hyp. Hipotézisből a revíziós szabály által. Tehát ragaszkodunk ahhoz, hogy S _{ζ + 1} = τ _M (S _ζ). De mit kell tennünk egy korlátozott szakaszban? Vagyis hogyan állítsuk be az S _η (δ) értéket, ha η egy végrendszer? Nyilvánvaló, hogy minden objektumnak, amely addig a stádiumig igaz (hamis), igaznak (hamis) kell lennie abban a szakaszban. Tehát vegye figyelembe a 3.2. Példát. Az A ₂ mondatPéldául, igaz egészen a ω ^th szakaszban; így meg egy ₂ igaznak az ω ^-én színpadon. Azoknak az objektumoknak a vonatkozásában, amelyek nem stabilizálódnak addig a stádiumig, Gupta és Belnap 1993 liberális politikát alkalmaz: amikor egy S revíciós szekvenciát állítunk össze, ha az objektum d ∈ D értéke nem stabilizálódott az η határértékre jutás idejére, akkor beállíthatja, hogy S _η (δ) legyen t vagy f közül melyik tetszik. Mielőtt megadnánk a felülvizsgálati sorrend pontos meghatározását, folytatjuk a 3.3. Példát, hogy megtekintsük ennek az ötletnek az alkalmazását.

3.5. Példa (A 3.3. Példa folytatása)

Emlékezzünk arra, hogy L négy nem idézőjelet tartalmaz, α, β, γ és λ, és egyetlen T predikátumot nem tartalmaz. Emlékezzünk arra is, hogy M = <D, I> a következő:

D	=	Elküldve L
I (α)	=	A	=	T β ∨ T γ
I (β)	=	B	=	T α
I (γ)	=	C	=	¬ T α
I (λ)	=	x	=	¬ T λ

Az alábbi táblázat bemutatja, hogy mi történik az τ _M módosítási szabály ismételt alkalmazásával a 3.1 példa h ₀ hipotézisére. Mindegyik szokásos η-hez az η- ^es hipotézist S _η-vel jelezzük (elnyomva az M indexet τ-n). Így S ₀ = h ₀, S ₁ = τ (h ₀), S ₂ = τ ² (h ₀), S ₃ = τ ³ (h ₀) és S _ω, az hyp. Hipotézis, valamilyen módon meghatározható az ahhoz vezető hipotézisek alapján. Tehát, kezdve h _0-val a 3.3. példa alapján a felülvizsgálati sorrend a következőképpen kezdődik:

S	S 0 (S)	S 1 (S)	S 2 (S)	S 3 (S)	S 4 (S)	…
A	f	t	t	t	t	…
B	t	f	t	t	t	…
C	f	t	f	f	f	…
x	f	t	f	t	f	…

Mi történik a ω ^-én a színpadon? A és B jelentése stabilan igaz fel a ω ^edik szakaszban, és C jelentése stabilan hamis egészen a ω ^edik szakaszban. Így a ω ^-én szakaszában, mi kell a következőket:

S	S 0 (S)	S 1 (S)	S 2 (S)	S 3 (S)	S 4 (S)	…	S ω (S)
A	f	t	t	t	t	…	t
B	t	f	t	t	t	…	t
C	f	t	f	f	f	…	f
x	f	t	f	t	f	…	?

De az S _ω (X) bejegyzés lehet t vagy f. Más szavakkal, a kezdeti h ₀ hipotézis legalább két revíziós szekvenciát generál. Minden S revíziós sorozatnak, amelynek kezdeti hipotézise h ₀, S _ω (A) = t, S _ω (B) = t és S _ω (C) = f értékkel kell rendelkeznie. Van azonban néhány S felülvizsgálati sorrend, amelynek kezdeti hipotézise h ₀, és S _ω (X) = t; és van néhány S 'felülvizsgálati sorrend, amelynek kezdeti hipotézise h ₀, és S _ω'(X) = f. □

Most készen állunk a felülvizsgálati sorrend fogalmának meghatározására:

3.6. Meghatározás

Tegyük fel, hogy L egy igazságnyelv, és M = <D, I> egy alapmodell. Tegyük fel, hogy S egy hosszúságú hipotézis sorozat. Azt mondjuk, hogy d ∈ D stabilan t [ f] S iff-ben valamilyen rendes θ -re

S _ζ (d) = t [ f], minden rendre ζ ≥ θ.

Tegyük fel, hogy S egy η hosszúságú hipotézis sorrend egy bizonyos η határértékre. Azt mondjuk, hogy d ∈ D stabilan t [ f] S iff-ben valamilyen rendre θ <η

S _ζ (d) = t [ f], minden rendre ζ, úgy, hogy ζ ≥ θ és ζ <η.

Ha S egy hosszúságú Hipotézis sorozat és η egy végső ordinal, akkor S | _η az S kezdeti szegmense, η-ig, de nem számítva. Vegye figyelembe, hogy S | _η egy η hosszú hipotézis sorozat.

3.7. Meghatározás

Tegyük fel, hogy L igazságnyelv, és M = <D, I> egy alapmodell. Tegyük fel, hogy S egy hosszúságú hipotézis sorozat. S az M iff revíziós szekvenciája

• S _{ζ + 1} = τ _M (S _ζ), mindegyik ζ ∈ Be és
• minden határértékre η és d ∈ D, ha d stabilan t [ f] S | -ben _η, akkor S _η (d) = t [ f].

3.8. Meghatározás

Tegyük fel, hogy L igazságnyelv, és M = <D, I> egy alapmodell. Azt mondjuk, hogy az A mondat kategorikusan igaz [hamis] Mffben, ha az A stabilan t [ f] az M összes revíziós sorozatában. Azt mondjuk, hogy A kategorikus M-ben, ha A kategorikusan igaz vagy kategorikusan hamis M-ben.

Most szemléltetjük ezeket a fogalmakat egy példával. A példa egy később meghatározandó új koncepciót is szemléltet.

Példa 3.9

Tegyük fel, hogy L jelentése egy igazság nyelvet tartalmazó nonquote nevek p, α ₀, α ₁, α ₂, α ₃, …, és egyváltozós predikátumok G és T. Legyen B a mondat

T β ∨ ∀ x ∀ y (Gx & ¬ T x & Gy & ¬ T y ⊃ x = y).

Legyen A ₀ ∃ x (Gx & ¬ T x) mondat. És mindegyik n ≥ 0 esetén A _{n +1} legyen a T α _n mondat. Vegyük figyelembe a következő M = <D, I> talajmodellt

D	=	Elküldve L
I (β)	=	B
I (α n)	=	A n
I (G) (A) = t	iFF	A = A n néhány n esetében

Így G kiterjesztése a következő mondatcsoport: {A ₀, A ₁, A ₂, A ₃, …} = { T α ₀, T α ₁, T α ₂, T α ₃, …}. Legyen h bármilyen hipotézis, amelyre vonatkozóan rendelkezünk, h (B) = f és minden n természetes számra,

h (A _n) = f.

És Legyen S olyan revíziós sorozat, amelynek kezdeti hipotézise h, azaz S ₀ = h. A következő táblázat az S _γ (C) néhány értékét mutatja be a C ∈ {B, A ₀, A ₁, A ₂, A ₃,…} mondatokhoz. A felső sorban csak azt a sorszámot adjuk meg, amely a javítási folyamat szakaszát képviseli.

0

1

2

3

…

ω

ω + 1

ω + 2

ω + 3

…

ω × 2

(Ω × 2) +1

(Ω × 2) +2

…

B

f

f

f

f

…

f

t

t

t

…

t

t

t

…

A 0

f

t

t

t

…

t

f

t

t

…

t

f

t

…

A 1

f

f

t

t

…

t

t

f

t

…

t

t

f

…

A 2

f

f

f

t

…

t

t

t

f

…

t

t

t

…

A 3

f

f

f

f

…

t

t

t

t

…

t

t

t

…

A 4

f

f

f

f

…

t

t

t

t

…

t

t

t

…

Érdemes ellentmondni a B mondat és az A ₀ mondat viselkedésének. A ω + 1. ^lépéstől kezdve a B stabilizálódik mint igaz. Valójában B stabilan igaz az M összes változata esetén. Így B kategorikusan igaz M-ben. Az A ₀ mondat azonban soha nem stabilizálódik: általában igaz, de az egy határrendes néhány véges szakaszában az A ₀ mondat hamis lehet. Ilyen körülmények között azt mondjuk, hogy A ₀ majdnem stabilan igaz (lásd alább a 3.10 meghatározást.) Valójában A ₀ szinte stabilan igaz az M összes revíziós sorozatában. □

A 3.9. Példa nem csupán a stabilitás fogalmát szemlélteti egy revíziós sorrendben, hanem a közel stabilitás fogalmát is, amelyet most definiálunk:

3.10. Meghatározás.

Tegyük fel, hogy L egy igazságnyelv, és M = <D, I> egy alapmodell. Tegyük fel, hogy S egy hosszúságú hipotézis sorozat. Azt mondjuk, hogy d ∈ D majdnem stabil t [ f] S iff-ben valamilyen rendi θ-re

minden ζ ≥ θ -re van olyan natív szám, hogy minden m ≥ n-re S _{ζ + m} (d) = t [ f].

Gupta és Belnap 1993 a stabilitás és a közeli stabilitás közötti különbséget az alábbiak szerint jellemzik: „A stabilitási egyszerűsítőnek szüksége van egy elemre (esetünkben egy mondatra), hogy x értékre (esetünkben igazságértékre) álljon le, miután bizonyos kezdeti ingadozások kb. [ordinális η] … Ezzel szemben a közeli stabilitás lehetővé teszi a η utáni ingadozást is, de ezeket a ingadozásokat a véges régiókra kell korlátozni, közvetlenül a végső ordinálok után”(169. oldal). Gupta és Belnap 1993 az igazság két elméletét vezetik be, a T ^* és a T ^#, amelyek a stabilitáson és a közeli stabilitáson alapulnak. Az alábbi 3.12. És 3.13. Tétel a T ^# rendszer előnyeit illusztrálja, azaz a közel stabilitásra épülő rendszert.

3.11. Meghatározás

Tegyük fel, hogy L igazságnyelv, és M = <D, I> egy alapmodell. Azt mondjuk, hogy egy mondat egy érvényes M által T ^* IFF A stabilan igaz minden felülvizsgálat sorrendben. Azt mondjuk, hogy az A mondat érvényes M-ben, T ^# ha az A szinte stabilan igaz minden revíziós sorrendben.

3.12. Tétel

Tegyük fel, hogy L egy igazságnyelv, és M = <D, I> egy alapmodell. Ezután minden mondat egy L, a következő érvényes M által T ^#:

T '¬ A' ≡ ¬ T 'A'.

3.13. Tétel:

L van egy igazságnyelv és egy M = <D, I> alapmodell, valamint egy L mondat, amely szerint T ^* nem érvényes M-ben:

T  '¬ A' ≡ ¬ T  'A'.

Gupta és Belnap 1993, 6C szakasz, megjegyzik a T ^# hasonló előnyeit a T ^* -hoz képest. Például a T ^# igen, de T ^* nem érvényesíti a következő szemantikai elveket:

T  'A & B' ≡ T  'A' és T  'B'

T  'A ∨ B' ≡ T  'A' ∨ T  'B'

Gupta és Belnap nem kötelezőek abban, hogy a T ^# és a T ^{* közül} melyik (és egy másik alternatíva, amelyet meghatároznak, T ^c) előnyösebb.

4. A formalizmus értelmezése

Az RTT fő formális fogalma a felülvizsgálati szabály fogalma (3.2. Meghatározás), azaz a hipotézisek felülvizsgálatának szabálya; és egy felülvizsgálati szekvencia (3.7. meghatározás), a megfelelő felülvizsgálati szabálynak megfelelően előállított hipotézisek sorozata. Ezen fogalmak segítségével megadhatunk egy alapmodellt, ha egy mondat stabilan, vagy csaknem stabil, igaz vagy hamis egy adott revíziós sorrendben. Így meghatározhatnánk az igazság két elméletét, a T ^* és a T ^#, a stabilitás és a közeli stabilitás alapján. A végső ötlet az, hogy ezen elméletek mindegyike olyan ítéletet hoz, amelyben a nyelv mondatai kategorikusan meggyőzőek, adott alapmodell alapján.

Vegye figyelembe, hogy a revízió-elméleti fogalmakat használhatjuk a meglehetősen finom megkülönböztetés elvégzésére a mondatok között: Néhány mondat instabil minden revíziós sorrendben; mások stabilak minden felülvizsgálati sorrendben, bár stabilan igazak egyesekben és másokban stabilan hamisak; stb. Így a revizációs-elméleti ötleteket felhasználhatjuk a különféle mondatok állapotának és a különféle mondatok egymáshoz való viszonyának finom elemzésére.

Emlékezzen a 2. szakasz végén tett javaslatra:

A saját igazságfogalmaik kifejezésére képes nyelvek szemantikájában T -nek általában nincs klasszikus jelentése; és a T-biciklikus feltételekben az 'iff' nem tekinthető klasszikus biciklikusnak.

Gupta és Belnap a következő módon tölti ki ezeket a javaslatokat.

4.1 A T jelentése

Először azt sugallják, hogy a T jelölése, az M alap modell alapján, maga az τ _M módosítási szabály. Mint az előző bekezdésben megjegyeztük, a mondatok állapotát és összefüggéseit finoman részletezhetjük az τ _M módosítási szabályból közvetlenül és természetesen előállított fogalmak alapján. Így τ _M jó jelölés a T jelölésére, mivel úgy tűnik, hogy „elvont valami, amely magában foglalja az összes információt a T összes kiterjesztő kapcsolatáról” M-ben. (Lásd Gupta és Belnap egy kifejezés jelentésének jellemzését, a fenti 2. szakaszban.)

4.2 Az 'iff' a T-biciklikben

Gupta és Belnap kapcsolt javaslata az „iff” -ről a T-biciklikus feltételekben az, hogy a klasszikus kétfeltétel helyett ez az „iff” az a megkülönböztető kétfeltétel, amely egy korábban nem definiált fogalom meghatározására szolgál. 1993-ban Gupta és Belnap bemutatja az igazság revizionálási elméletét, mint a körkörösen meghatározott fogalmak revizícióelméletének különleges esetét. Tegyük fel, hogy L olyan nyelv, amelynek egy egyedüli predátuma F és R bináris predikátuma van. Vegyünk egy új fogalmat, amelyet egy G predikátum fejez ki, és amelyet az alábbi definícióval vezetünk be:

Gx = _df ∀ y (Ryx ⊃ Fx) ∨ ∃ y (Ryx és Gx).

Tegyük fel, hogy a diskurzus D tartományával kezdjük, és az F predátum és az R relációs szimbólum értelmezésével. Gupta és Belnap körkörösen bevezetett fogalmak revízió-elméleti kezelése lehetővé teszi kategóriás döntések meghozatalát bizonyos d ∈ D esetében arról, hogy d megfelel-e G-nek. Más tárgyak G-hez képest instabilok lesznek: kategorikusan azt állíthatjuk, hogy sem d nem felel meg G-nek sem, hogy d nem felel meg G-nek. Az igazság esetében Gupta és Belnap a forma T-biköttségeinek halmazát veszi fel

T  'A' = df A

(10)

együtt adják meg az igazság fogalmának meghatározását. Az τ _M felülvizsgálati szabályt az '= _df ' (a definíció fogalmának bevezetésének 'iff') kezelése, valamint a (10) űrlap T-biciklikus feltételei képezik.

4.3 A paradox érvelés

Emlékezzünk a hazug mondatra (1) a cikk elejétől:

(1) nem igaz

(1)

Az 1. szakaszban azt állítottuk, hogy az RTT célja az, hogy modellezze és ne blokkolja az (1) vonatkozásában alkalmazott paradox érvelés fajtáját. De a 2. lábjegyzetben megjegyeztük, hogy az RTT elkerüli az ellentmondásokat ezekben a helyzetekben. Ennek kétféle módja van. Először is, míg az RTT támogatja a kétfeltételt

(1) igaz, ha (1) nem igaz,

a releváns „iff” nem az anyagi kétkörös feltétel, amint azt a fentiekben kifejtettük. Így nem következik, hogy mind az (1) valódi, mind az (1) nem igaz. Másodszor, vegye figyelembe, hogy egyetlen hipotézis sem vonható le az a következtetés, hogy mind az (1) valódi, mind az (1) nem igaz. Ha határozottan szem előtt tartjuk, hogy a revízióelméleti érvelés inkább hipotetikus, mint kategorikus, akkor a fenti (1) mondat létezéséből nem vonunk le ellentmondást.

4.4 A jelölési tézis

Gupta és Belnap javaslatai, amelyek a T jelölésére és az „iff” értelmezésére vonatkoznak a T-biciklikben, szépen illenek egymáshoz szorosan kapcsolódó intuíciókkal, amelyeket a Gupta és Belnap 1993 írtak le. Az első, lazán kifejezett intuíció az, hogy „a T -feltételes elemzések analitikusak és rögzítik az „igaz” jelentését (6. oldal). Szorosabban kifejezve ez lesz a „Jelölési tézis” (31. oldal): „A T-biciklikus feltételek minden világban rögzítik az igazság jelentését (ahol a világot földi modell képviseli)”. ^[6] Az „iff” meghatározás felülvizsgálat-elméleti kezelése és az M alap modell alapján a T-biciklikus feltételek (10) - amint megjegyeztük - rögzítik a T javasolt jelölését, azaz az τ _M módosítási szabályt.

4.5 A szemantika túlélése

A második intuíció az igazság jelzésének túlélése. Ez a M. Kremer 1988-ban javasolt szemantika supermennyezetének leszármazottja. Az ötlet egyszerű: az igazság fogalma alá tartozó mondatokat rögzíteni kell (1) a nem-szamantikus szókincs értelmezésével és (2) az empirikus tényekkel. Nem kör alakú esetekben ez az intuíció különösen erős: a „hó” és a „fehér” szokásos értelmezése és az empirikus tény, hogy a hó fehér, elegendő annak meghatározásához, hogy a „hó fehér” mondat az igazság fogalma alá tartozik. Az igazság jelzésének supernatúrája az a tézis, hogy az igazság jelentését, bármi is legyen, az M talajmodell rögzíti. Az RTT egyértelműen kielégíti ezt az elvet.

Érdemes megnézni, hogy az igazság elmélete hogyan sértheti ezt az elvet. Vegyük figyelembe az igazságmondó mondatot, azaz azt a mondatot, amely önmagában azt mondja, hogy igaz:

(11) igaz

(11)

Mint fentebb megjegyeztük, Kripke háromértékű szemantikája három igaz értéket tesz lehetővé: true (t), false (f) és egyik (n) sem. Az L igazságnyelv M = <D, I> alapmodellje esetén a T jelölt értelmezései háromértékű értelmezések, azaz a h függvény: D → {  t, f, n  }. Tekintettel T háromértékű értelmezésére és az összetett mondatok valódiságának részekre vonatkoztatott értékelési sémájára, meghatározhatjuk az Val _{M + h} (A) = t, f vagy n igazságértéket., az L minden mondatához. A háromértékű szemantika központi tétele az, hogy bármilyen M alapmodell esetén létezik T háromértékű értelmezése, tehát minden A mondatra Val _{M + h} (T  'A') = Val _{M + h} (A). ^[7] T ilyen értelmezését elfogadható értelmezésnek nevezzük. Itt áll a helyzet: ha van egy igazságbeszéd, mint a (11) bekezdésben, akkor nem csak T elfogadható értelmezése van; három van: az egyik szerint (11) igaz, az egyik szerint (11) hamis, és egy szerint a (11) egyik sem. Tehát nincs egyetlen „helyes” T- értelmezésadott egy M. alap modellt. Így a háromértékű szemantika sérti a szemantika túlélését. ^[8]

Az RTT nem tulajdonít valóságértéket az igazságmondónak (11). Inkább elemzi az érvelés fajtáját, amelybe bele lehet foglalkozni az igazságmondóval szemben: Ha egy h hipotézissel kezdjük, amely szerint (11) igaz, akkor a felülvizsgálatkor (11) igaz marad. És ha azzal a hipotézissel kezdjük, hogy a (11) nem igaz, akkor a (11) felülvizsgálatkor nem igaz. És ennyi az igazság fogalma. Figyelembe véve a (11) ilyen viselkedését, az RTT azt mondja nekünk, hogy (11) sem kategorikusan nem igaz, sem pedig kategorikusan hamis, ám ez egészen különbözik egy olyan ítélettől, amely szerint (11) sem igaz, sem hamis.

4.6 Yaqūb értelmezése a formalizmusról

Megjegyezzük a revízió-elméleti formalizmus alternatív értelmezését. Yaqūb 1993 egyetért Gupta-val és Belnap-nal abban, hogy a T-biciklikus feltételek inkább meghatározó jellegűek, mint anyagi bicikendő feltételek, ezért az igazság fogalma kör alakú. De Yaqūb ezt a körkörösséget megkülönböztetett módon értelmezi. Azt állítja, hogy

mivel egyes mondatok igazságviszonyai lényeges, nem redukálható módon utalnak az igazságra, ezek a feltételek csak olyan világban megszerezhetők vagy meghiúsulhatnak, amely már tartalmazza az igazság predikátumának kiterjesztését. Ezért ahhoz, hogy a felülvizsgálati folyamat meghatározza az igazság-predikátum kiterjesztését, meg kell adni a predikátum kezdeti kiterjesztését. Ez nagyban következik a körkörösségből és a bivalenciából. (1993, 40)

Gupta és Belnaphoz hasonlóan a Yaqūb sem rendelkezik privilegizált kiterjesztéssel a T számára. És hasonlóan Guptahoz és Belnaphoz, úgy látja, hogy a T kiterjesztéseinek felülvizsgálati szekvenciái, amelyek mindegyikét egy kezdeti hipotézisű kiterjesztés generálja, „képesek befogadni (és diagnosztizálni) a vizsgált nyelvek különféle problémás és problémamentes mondatait” (1993)., 41). De Gupttól és Belnaptól eltérően ezekből a megfontolásokból azt a következtetést vonja le, hogy „a kétértékű nyelvben az igazság nem felel meg” (1993, 39). A lábjegyzetben kifejti: az igazság felügyelete érdekében az egyes mondatok igazságügyi állapotát „nem szemantikus tények által kell teljesen meghatározni”. A Yaqūb kifejezetten nem használja a fogalom jelentésének fogalmát. De úgy tűnik, hogy Yaqūb elkötelezett azon állítás mellett, amely szerint A T-t - azaz azt, amely meghatározza az egyes mondatok valódiságát - maga az adott revíziós sorrend adja meg. És a revíziós sorrendet nem a nem szemantikus tények, azaz a földi modell határozza meg önmagában: a javítási sorrendet a legjobb esetben egy földi modell és egy kezdeti hipotézis határozza meg. ^[9]

5. További kérdések

5.1 Háromértékű szemantika

Csak a háromértékű szemantika legeredményesebb ismertetését adtuk, az igazság jelzésének fentieken túlmutató megbeszélése során. Az L igazságnyelv és az M alapmodell alapján meghatároztuk az elfogadható háromértékű értelmezését T h értelmezésként: D → {  t, f, n  } oly módon, hogy Val _{M + h} (T 'A') = Val _{M + h} (A) L minden A mondatára. Általában véve, hogy egy M földi modell alapján számos T elfogadható értelmezést adunk. Tegyük fel, hogy ezek mindegyike valóban elfogadható értelmezés. A háromértékű szemantika ekkor megsérti a T jelentésének felelõsségét.

Tegyük fel, hogy minden M alapmodellre elkülöníthetünk egy privilegizált, elfogadható értelmezést mint T helyes értelmezését. Gupta és Belnap számos megfontolást mutat be az így kialakított háromértékű szemantika ellen. (Lásd Gupta és Belnap 1993, 3. fejezet.) Az egyik fő érv az, hogy a központi tétel, azaz az, hogy minden alapmodellre elfogadható értelmezés létezik, csak akkor érvényes, ha az alapul szolgáló nyelv kifejezetten elszegényedett bizonyos módon: például a háromértékű megközelítés kudarcot vall, ha a nyelvnek összekapcsolható ~ a következő igazságtáblával:

A	~ A
t	f
f	t
n	t

Az egyetlen tagadási operátor, amellyel a háromértékű megközelítés képes kezelni, a következő igazságtáblázattal rendelkezik:

A	¬ A
t	f
f	t
n	t

De vegye figyelembe azt a hazugot, amely önmagában azt mondja, hogy 'nem' igaz, ez utóbbi értelemben 'nem'. Gupta és Belnap sürgeti azt az állítást, miszerint ez a mondat „megszűnik intuitív módon paradoxnak” (1993, 100). Az RTT állítólagos előnye az a képessége, hogy leírja a valóban paradox mondatok viselkedését: a valódi hazug instabil a szemantikai értékelés során: „Nem számít, mi feltételezzük annak értékét, a szemantikai értékelés megcáfolja hipotézisünket.” A háromértékű szemantika csak a „gyenge hazugság” kezelésére képes, azaz egy olyan mondatra, amely csak gyengén tagadja magát, de nem garantált, hogy paradox: „Itt vannak hazugok megjelenései, de megtévesztik”.

5.2 Az RTT módosításai

Három módszert említünk az RTT módosítására. Először is korlátozásokat tehetünk arra, hogy mely hipotézisek elfogadhatók. Például, Gupta és Belnap 1993 bevezetni egy elmélet, T ^c, az igazság alapján konzisztens hipotézis: egy hipotézis h konzisztens IFF az {A: h (A) = T } egy teljes egységes mondatok halmaza. A T ^*, T ^# és T ^c relatív érdemeit a Gupta és Belnap 1993, 6. fejezet tárgyalja.

Másodszor, szigorúbb korlátozási politikát fogadhatunk el, mint Gupta és Belnap. Emlékezzünk vissza a 3. szakaszban feltett kérdésre: Hogyan állítsuk be az S _η (d) értéket, ha η egy végrendelvény? Részleges választ adott: minden objektumnak, amely addig a stádiumig igaz (hamis), igaznak (hamis) kell lennie abban a szakaszban. Azt is megjegyeztük, hogy egy olyan objektumhoz, amely nem stabilizálódik az η fokozatig, Gupta és Belnap 1993 lehetővé teszik, hogy az S _η (d) értékét t vagy f értékre állítsuk be. Hasonló összefüggésben Herzberger 1982a és 1982b az f értéket az instabil objektumokhoz rendeli. És Gupta eredetileg azt javasolta, hogy a Gupta 1982-ben az instabil elemek bármilyen értéket kapjanak, az eredeti S ₀ hipotézisnél.

Az RTT módosításának ezen két első módja valójában korlátozza a revíziós szekvencia fogalmát azzal, hogy korlátokat szab arra, hogy melyik verziószekvenciánk valóban elfogadható revíziós sorozatoknak számít. A korlátozások bizonyos értelemben lokálisak: az első korlátozást korlátozások bevezetésével érik el, amelyek alapján a hipotézisek alkalmazhatók, a második korlátozást úgy érik el, hogy korlátokat szabnak arra, ami a végső ordinálokban történik. A harmadik lehetőség globálisabb korlátok bevezetése, amelyekre a feltételezett revíziós szekvenciák elfogadhatónak számítanak. A Yaqūb 1993 gyakorlatilag egy olyan határszabályt javasol, amely szerint az instabil mondatok elfogadható ítéletei bizonyos határidőben η a többi határ szakaszban meghozott ítéletektől függnek. Yaqūb azt állítja, hogy ezek a korlátozások lehetővé teszik számunkra, hogy elkerüljük bizonyos „leleteket”. Tegyük fel például, hogy egy M = <D, I> földi modellkét független hazugsággal rendelkezik, két α és β névvel, ahol I (α) = ¬ T α és I (β) = ¬ T β. Yaqub azt állítja, hogy ez egy egyszerű „tárgy” a felülvizsgálat szemantika, naivan bemutatott, hogy vannak felülvizsgálat szekvenciák, amelyek a büntetés ¬ T α ≡ ¬ T β stabilan igaz, mivel a két hazugok független. Globális korlátait úgy fejlesztették ki, hogy kizárják az ilyen szekvenciákat. (További vita a Chapuis 1996-ban.)

5.3 A körkörösen meghatározott fogalmak felülvizsgálati elmélete

Amint azt a T-biciklikációban szereplő „iff” 4. szakaszában szereplő megbeszélésünkben jelezték, Gupta és Belnap az RTT-t a körkörösen meghatározott fogalmak felülvizsgálati elméletének különleges esetének tekinti. Tegyük fel, hogy L egy olyan nyelv, amelynek egy egyedüli predikátuma F és R bináris predikátuma van. Vegyünk egy új fogalmat, amelyet egy G predikátum fejez ki, amelyet a D meghatározás vezet be:

Gx = _df A (x, G)

ahol A (x, G) a képlet

Y (Ryx x Fx) ∨ ∃ y (Ryx & Gx).

Ebben az összefüggésben az alapmodell az L nyelv klasszikus M = <D, I> modellje: a D diskurzus tartományával kezdjük, és az F predikátum és az R relációs szimbólum értelmezésével. Szeretnénk M-t kiterjeszteni az L + G nyelv értelmezésére. Tehát ebben az összefüggésben egy hipotézist úgy gondolunk, mint az újonnan bevezetett G koncepció feltételezett kiterjesztését. A hipotézis formálisan egyszerűen egy h függvény: D → { t, f }. H hipotézis alapján az M + h-t klasszikus M + h = <D, I '> modellnek tekintjük, ahol' F-et és R-t ugyanúgy értelmezem, mint én, és ahol '(G) = h. Ha feltételezzük a G h értelmezését, akkor a következőképpen értelmezzük G új értelmezését: és a d ∈ D objektum a G új kiterjesztésében van, csak abban az esetben, ha az A (x, G) definiáló képlet igaz az d modellre az M modellben. + h. Formálisan az M talajmodellt és a D meghatározást használjuk a felülvizsgálati szabály meghatározására, δ _{D, M}, a hipotézisek leképezéséhez a hipotézisekre, vagyis a G hipotetikus értelmezésére a G hipotetikus értelmezésére. Különösen bármely B képlet esetén, amelyben egy szabad x és d ∈ D változó van, a Val _{M + h, d} (B) igazságértéket szokásos módon definiálhatjuk. Azután,

δ _{D, M} (h) (d) = Val _{M + h, d} (A)

Adott egy felülvizsgálati szabályt δ _{D, M}, tudjuk általánosítjuk fogalma felülvizsgálatára szekvencia, amely most egy szekvenciát hipotetikus meghosszabbításai G helyett T. Általánosíthatjuk azt a fogalmat, amely szerint a B mondat stabilan igaz, majdnem stabilan igaz stb., Egy revíziós sorrendhez viszonyítva. Gupta és Belnap az alábbiak szerint vezetik be az S ^* és S ^{# rendszereket}, hasonlóak a T ^* és T ^{# rendszerekhez}: ^[10]

5.1. Meghatározás

• Az S ^* rendszerben az M talajmodellben a D meghatározáson érvényes a B mondat (M ⊨ _{*, D} B jelölés), ha a B stabilan igaz az δ _{D, M} revíziós szabály minden egyes javítási sorrendjéhez viszonyítva.
• Egy mondat B érvényes a meghatározás D a földbe M modell a rendszerben S ^# (jelölést M ⊨ _{#, D} B) iff B közel stabilan igaz képest egyes felülvizsgálat szekvencia felülvizsgálatára szabály δ _{D, M}.
• A B mondat érvényes az S ^* rendszerben a D meghatározáson (⊨ _{*, D} B jelölés), ha minden klasszikus M talajmodell esetében M ⊨ _{*, D} B van.
• A B mondat érvényes az S ^# rendszerben a D meghatározáson (⊨ _{#, D} B jelölés), ha az összes klasszikus M talajmodell esetében M ⊨ _{#, D} B van.

Gupta és Belnap elvében nyitott kérdések egyike az, hogy létezik-e teljes számítás ezeknek a rendszereknek: vagyis az egyes D meghatározások esetén a következő két mondatkészlet valamelyikének rekurzív axiomatizálható-e: {B: ⊨ _{*, D} B} és {B: ⊨ _{#, D} B}. Kremer 1993 bebizonyítja, hogy a válasz nem: megmutatja, hogy létezik olyan D meghatározás, amely szerint a mondatok mindegyike legalább complex ¹ ₂ bonyolult, ezáltal alsó határt szab az S ^* és S ^# összetettségének. (Antonelli 1994b és 2002 azt mutatja, hogy ez szintén egy felső határ.)

Kremer bizonyítéka a revizionált körkörös definíciók - az elméleti és az induktív definíciókként értelmezett kör definíciók - közti viszonyt használja ki: az induktív meghatározások elmélete már egy ideje meglehetősen jól megértett. Különösen, Kremer bebizonyítja, hogy minden induktív módon definiált koncepció felülvizsgálható-elméletileg meghatározható. A körkörös meghatározások revizionális ereje és egyéb szempontjai sok érdekes munka témája: lásd Welch 2001, Löwe 2001, Löwe és Welch 2001, valamint Kühnberger et al. 2005.

5.5 Alkalmazások

Tekintettel Gupta és Belnap körkörös definíciók általános revizíció-elméleti kezelésére - amelynek igazságkezelése különleges eset - elvárható, hogy a revizíció-elméleti ötleteket más fogalmakra is alkalmazzák. Az Antonelli 1994a ezeket az ötleteket nem megalapozott halmazokra alkalmazza: egy nem megalapozott X halmazt kör alakúnak lehet tekinteni, mivel néhány X ₀,…, X _{n esetében} X ∈ X ₀ ∈… ∈ X _n ∈ X. És a Chapuis 2003 a revizícióelméleti ötleteket alkalmazza az ésszerű döntéshozatalban.

5.5 Nyílt kérdés

Nyitott kérdéssel zárjuk be a T ^* és a T ^{# kérdéseket}. Emlékezzünk a fenti 3.11. Meghatározásra, amely meghatározza, hogy az L igazságnyelv A mondata miként érvényes az M talajmodellben T ^* vagy T ^{# szerint}. Azt mondjuk, hogy A érvényes T ^* [másik változat szerint, a T ^#] IFF A érvényes a földbe M modell által T ^* [másik változat szerint, a T ^#] minden földi M modell. Nyílt kérdésünk a következő: Mennyire bonyolult a T ^* [ T ^#] mondatkészlet?

Bibliográfia

• Antonelli, GA, 1994, “A felülvizsgálat összetettsége”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 35: 204–218.
• Antonelli, GA, 1994, „Nem megalapozott készletek revíziós szabályok révén”, Journal of Philosophical Logic, 23: 633–679.
• Antonelli, GA, 2002, „A felülvizsgálat összetettsége, felülvizsgálva”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 43: 75–78.
• Belnap, N., 1982, „Gupta igazság-felülvizsgálati elmélete”, Journal of Philosophical Logic, 11: 103–116.
• Chapuis, A., 1996, „Az igazság alternatív felülvizsgálati elméletei”, Journal of Philosophical Logic, 25: 399–423.
• Chapuis, A., 2003, „Körmeghatározások alkalmazása: racionális döntés”, Löwe, Malzkorn és Räsch (szerk.), A Formal Sciences II alapjai: A matematikai logika alkalmazása a filozófia és a nyelvészet területén, Dordrecht: Kluwer, 47-54.
• Gupta, A., 1982, „Igazság és paradoxon”, Journal of Philosophical Logic, 11: 1–60.
• Gupta, A. és Belnap, N., 1993, The Revision Theory of Truth, Cambridge, MA: MIT Press.
• Hammer, E., 2003, „Az igazság felülvizsgálatának elmélete”, a Stanfordi Filozófia Enciklopédia (2003. tavaszi kiadás), Edward N. Zalta (szerk.), URL = .
• Herzberger, HG, 1982, „Megjegyzések a naiv szemantikáról”, Journal of Philosophical Logic, 11: 61–102.
• Herzberger, HG, 1982, „Naiv szemantika és hazug paradoxon”, Journal of Philosophy, 79: 479–497.
• Kremer, M., 1988, “Kripke és az igazság logikája”, Journal of Philosophical Logic, 17: 225–78.
• Kremer, P., 1993, „A Gupta-Belnap S ^# és S ^* rendszerek nem axiomatizálhatók”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 34: 583–596.
• Kripke, S., 1975, „Az igazság elméletének vázlata”, Journal of Philosophy, 72: 690–716.
• Kühnberger, K., Löwe, B., Möllerfeld, M., és Welch, P., 2005., „Az induktív és körkörös meghatározások összehasonlítása: paraméterek, összetettség és játékok”, Studia Logica, 81: 79–98.
• Löwe, B., 2001 “Végtelen időigényű szekvenciák és számítógépek”, Journal of Logic and Computation, 11: 25–40.
• Löwe, B. és Welch, P., 2001, „Set-elméleti abszolútitás és az igazság revizionált elmélete”, Studia Logica, 68/1: 21–41.
• Martin, R. és Woodruff, P., 1975, „A„ True-in-L”ábrázolásáról L-ben”, Philosophia, 5: 217–221.
• Welch, P., 2001, “Az igazság Gupta-Belnap felülvizsgálati elméleteiről, a Kripkean rögzített pontjai és a következő stabil készlet”, Bulletin for Symbolic Logic, 7: 345–360.
• Yaqūb, A., 1993, A hazug beszél az igazságról: Az igazság revizícióelméletének védelme, Oxford: Oxford University Press.

Egyéb internetes források

Hammer, E., 2003, „Az igazság felülvizsgálatának elmélete”, a Stanfordi Filozófia Enciklopédia (2003. tavaszi kiadás), Edward N. Zalta (szerk.), URL = . (Ez volt az igazság revizionálásának elmélete, amely 1997 és 2006 között megjelent a SEP aktív részében.)