Indokolás Logika

Ez egy fájl a Stanford Enciklopédia Filozófia archívumában. Szerző és idéző információ | Barátok PDF előnézete | InPho keresés | A PhilPapers bibliográfia

Elsőként publikálták 2011. június 22-én, kedden; érdemi felülvizsgálat 2011. július 20., kedd

Ön azt mondhatja: „Tudom, hogy Abraham Lincoln magas ember volt. "Ez viszont felkérheti Önt, hogy tudod. Szinte biztosan nem válaszolna szemantikusan, Hintikka-stílusban, hogy Abraham Lincoln magas minden helyzetben, amely kompatibilis az Ön ismereteivel. Ehelyett inkább azt mondanád: „Abraham Lincoln magasságáról több könyvet olvastam, és más emberek mellett fényképeket láttam róla. „Az ember a tudást okkal, indoklással igazolja. A Hintikka szemantika valódi hitként rögzíti a tudást. Az indokolás logikája szolgáltatja a hiányzó harmadik elemet Platónnak az ismeretek igazolt vallásnak való minősítésében.

1. Miért indokolt logika?
- 1.1 Episztatikus hagyomány
- 1.2 Matematikai logikai hagyomány
2. Az indokolási logika alapvető elemei
- 2.1 Az indokolás logikájának nyelve
- 2.2 Alapvető logika J ₀
- 2.3 Logikai tudatosság és állandó specifikációk
- 2.4 Funkcionalitás
- 2.5 Pozitív önellenőrzés
- 2.6 Negatív önellenőrzés
3. Szemantika
- 3.1. Az egyszereplős lehetséges világ indokolás J
- 3.2 Gyenge és erős teljesség
- 3.3 Az egyszemélyes család
- 3.4 Az egységes világ indoklási modelljei
4. Megvalósítási tételek
5. Általánosítások
- 5.1 Az explicit és az implicit tudás keverése
- 5.2. Több ügynök lehetséges világindokolási modelljei
6. Russell-példa: indukált funkció
7. Az igazolások önreferenciája
8. Az indokolási logika számszerűsítői
9. Történelmi megjegyzések
Bibliográfia
Tudományos eszközök
Kapcsolódó bejegyzések
Egyéb internetes források

1. Miért indokolt logika?

Az indokolás logikája episztemikus logika, amely lehetővé teszi az ismeretek és a hiedelmek módozatainak „kibontakoztatását” igazolási kifejezésekbe: □ X helyett a t: X betűt írja, és azt mondja, hogy „X az t indokkal igazolható”. A tradicionális modális operátorok mint implicit módok tekinthetők, az indokolási kifejezések pedig kifejezett kidolgozásuk, amelyek kiegészítik a modális logikát finomabb episztatikus gépezettel. Az igazolási kifejezések családjának felépítése és működése van. A műveletek megválasztása különböző igazolási logikákat eredményez. Valamennyi általános episztemikus logika esetén ezek modalitása teljesen kibontható explicit igazolási formába. E tekintetben az Indokolás A logika feltárja és felhasználja a hagyományos episztikus modális logika kifejezett, de rejtett tartalmát.

Indokolás A logika egy sikeres projekt részeként jött létre, amelynek célja az intuitív logikai-igazolási fogalmak konstruktív szemantikája, kivonva a matematikai bizonyítékok legalapvetõbb tulajdonságait, kivéve a legalapvetõbb tulajdonságokat. A bizonyítékok valószínűleg a legtisztább formában vannak igazolások. Ezt követően az igazolási logikát bevezették a formális episztemológiába. Ez a cikk bemutatja az igazolási logika általános körét, ahogy azt jelenleg értjük. Megvitatja a hagyományos modális logikával való kapcsolataikat. A műszaki gépeken kívül a cikk azt is megvizsgálja, hogy a kifejezett indoklási kifejezések használata milyen módon derít fényt számos hagyományos filozófiai problémára. A téma egésze továbbra is aktív fejlesztés alatt áll. Amit itt bemutatunk, ez egy pillanatkép az írás idején.

Az igazolási logika gyökerei sok különféle forrásból származhatnak, amelyek közül kettőt részletesen tárgyalunk: episztemológia és matematikai logika.

1.1 Episztatikus hagyomány

A tudás és a hit tulajdonságai a formális logika tárgyát képezik, legalább von Wright és Hintikka (Hintikka 1962, von Wright 1951) óta. A tudást és a hitet egyaránt modalitásokként kezelik oly módon, amely ma már nagyon ismerős - az episztikus logika. Ám Platónnak a tudás három kritériuma, igazolt, igaz, meggyőződés (Gettier 1963, Hendricks 2005), az episztatikus logika valójában csak kettővel működik. A lehetséges világok és a megkülönböztethetetlenség modellhiedelme - az ember úgy gondolja, hogy ez minden körülmények között lehetséges. A faktivitás valósághűség-összetevőt hoz a játékba - ha valami nem a valóságban van, akkor nem lehet megismerni, csak hinni. De az igazolási feltételnek nincs ábrázolása. Ennek ellenére,a modális megközelítés rendkívül sikeresen lehetővé tette a gazdag matematikai elmélet és alkalmazások kidolgozását (Fagin, Halpern, Moses és Vardi, 1995, van Ditmarsch, van der Hoek és Kooi 2007). Mégis, ez nem a teljes kép.

A tudás logikájának modális megközelítése bizonyos értelemben az egyetemes számszerűsítő körül épül: X olyan helyzetben ismert, ha X minden helyzetben igaz, az alól megkülönböztethetetlen helyzetekben. Az indokolások viszont egzisztenciális mennyiségi mutatót hoznak a képre: X olyan helyzetben ismert, ha létezik indok az X számára ebben a helyzetben. Ez az univerzális / egzisztenciális kettősség ismert a logikusok számára. A formális logika létezik bizonyíték az X képletre, és csak akkor, ha X minden logikai modellben igaz. A modellek lényegében nem konstruktívnak tekinthetők, a bizonyítások pedig konstruktív dolgoknak tekinthetők. Az ember nem fog messze menni abban, hogy az igazolásokra általában úgy gondolkodik, mint a matematikai bizonyítékok. Valójában az első igazolási logika kifejezetten a matematikai bizonyítékok aritmetikai rögzítésére irányult,olyasvalamit, amelyet az 1.2.

Az Indokolás Logikában a képletek kategóriáján kívül az indoklások második kategóriája is létezik. Az igazolások formális kifejezések, amelyek állandó és állandó változókból állnak, különféle műveleti szimbólumok felhasználásával. A konstansok igazolják az általánosan elfogadott igazságok tipikus axiómáit. A változók meghatározatlan indokolást jelölnek. Különböző igazolási logikák különböznek attól, hogy mely műveletek engedélyezettek (és más módon is). Ha t egy igazoló kifejezés és X egy képlet, akkor t: X egy képlet, és a következőképpen értelmezendő:

t igazolja X-et.

Az összes igazolási logika számára közös művelet az alkalmazás, szorzásként írva. Az ötlet az, hogy ha s igazolja az A → B-t, és t az igazolást az A-hoz, akkor [s ⋅ t] igazolja a B-t ^[1]. Vagyis az alábbiak érvényességét általában feltételezik:

(1) s:(A → B) → (t: A → [s ⋅ t]: B).

Ez a tudásüzemeltetők és általában a modális üzemeltetők szokásos eloszlásának kifejezett változata az egész implikáció szempontjából:

(2) □ (A → B) → (□ A → □ B).

Valójában a (2) képlet mögött áll a logikai mindentudás számos problémája. Azt állítja, hogy egy ügynök mindent tud, amit az ügynök tudása-feltételezése feltételez, ennek következtében zárva van. Noha az elvárható ismeretek, a tudhatóság ennek következtében zárva vannak, ugyanez nem mondható el a valós tudás semmilyen valószínűsíthető változatára vonatkozóan. Az (1) és (2) közötti különbségtétel kihasználható Goldman és Kripke paradigmatikus Red Barn példa vita során; itt található a történelem egyszerűsített változata (Dretske 2005).

Tegyük fel, hogy egy szomszédságon haladok át, ahol nekem ismeretlenül a papier-mâché pajta szétszórt, és látom, hogy az előttem lévő tárgy pajta. Mivel a pajta előtt van észlelésem, azt hiszem, hogy az előttem lévő tárgy pajta. Intuícióink szerint nem tudom, hogy tudom-e a pajta. De tegyük fel most, hogy a környéken nincs hamis piros pajta, és azt is észreveszem, hogy az előttem lévő tárgy piros, tehát tudom, hogy ott van egy piros pajta. Ez a párhuzamos helyzet, mivel vörös pajta, amit tudok, magában foglalja azt, hogy létezik egy pajta, amiben én nem vagyok, „zavarba ejtő”.

A Piros pajta példa első formalizálásakor a logikai származtatást egy alapvető modális logikában hajtják végre, amelyben □ „hite” modalitásként értelmezik. Akkor □ néhány előfordulását a probléma leírása szerint külsőleg „tudásként” fogják értelmezni. Legyen B mondat: „az előttem lévő tárgy pajta”, és R legyen az „előttem lévő tárgy vörös” mondat.

□ B: 'Úgy gondolom, hogy az előttem lévő tárgy pajta'
□ (B ∧ R): „Úgy gondolom, hogy az előttem lévő tárgy egy piros pajta”.

A metaszintnél a 2 valójában tudás, míg a probléma leírása szerint az 1 nem a tudás.

□ (B ∧ R → B), a logikai axióma ismerete

Ezen a formalizáción belül úgy tűnik, hogy megsértik az episztemikus bezárást modális formájában (2): a 2. sor, □ (B ∧ R) és a 3. sor, □ (B ∧ R → B) tudás esetei, míg □ B (vonal) 1) nem tudás. Úgy tűnik, hogy az itt alkalmazott modális nyelv nem segíti ennek a kérdésnek a megoldását.

Ezután vizsgáljuk meg a vörös pajta példáját az Indoklás Logikában, ahol t: F értelmezése „azt hiszem, F ok miatt”. Legyen u egyedülálló igazolása annak a hitnek, hogy B, és v, annak a hitnek, hogy B ∧ R. Legyen ezen kívül a B ∧ R → B logikai igazság igazolása. Akkor a feltételezések listája:

u: B, „u ok azt hinni, hogy az előttem lévő tárgy pajta”;
v:(B ∧ R), „v ok azt hinni, hogy az előttem lévő tárgy egy piros pajta”;
a:(B ∧ R → B).

A metaszintnél a problémaleírás kijelenti, hogy a 2. és a 3. eset a tudás esete, és nem pusztán a hit, míg az 1. olyan hit, amely nem tudás. A formális érvelés így működik:

a:(B ∧ R → B) → (v:(B ∧ R) → [a ⋅ v]: B), elv szerint (1);
v:(B ∧ R) → [a ⋅ v]: B, 3-ból és 4-ből, javaslati logikával;
[a ⋅ v]: B, 2-től és 5-ig, javaslati logikával.

Vegye figyelembe, hogy a 6. következtetés [a ⋅ v]: B, és nem u: B; episztemikus bezárás tart. Az igazolási logika indokolása alapján arra a következtetésre jutottak, hogy [a ⋅ v]: B egy tudás esete, azaz „tudok B-t okból ⋅ v”. Az a tény, hogy az u: B nem a tudás esete, nem rontja a bezárás elvét, mivel ez utóbbi kifejezetten a [a ⋅ v] céljára szól: B. Ezért egy vörös homlokzat megfigyelése után valóban ismerem B-t, de ennek a tudásnak semmi köze sincs az 1-hez, amely inkább a hit, mint a tudás esete. Az igazolási logika formalizálása a helyzetet tükrözi.

A követési igazolások a vörös pajta példa szerkezetét képviselik oly módon, hogy a hagyományos episztatikus modális eszközök nem ragadják meg. Indokolás A logikai formalizálás modellezi, hogy mi történik ilyen esetben; a tudás logikai következményekkel bezárása továbbra is fennáll, annak ellenére, hogy a pajta nem érzékeltetõ. ^[2]

1.2 Matematikai logikai hagyomány

Brouwer szerint az igazság a konstruktív (intuitív) matematikában egy bizonyíték létezését jelenti, vö. (Troelstra és van Dalen, 1988). 1931–34-ben Heyting és Kolmogorov nem hivatalos leírást adott az intuitív logika tervezett bizonyítékalapú szemantikájáról (Kolmogorov 1932, Heyting 1934), amelyet ma Brouwer-Heyting-Kolmogorov (BHK) szemantikának hívnak. A BHK feltételei szerint a képlet akkor igaz, ha bizonyítékkal rendelkezik. Ezenkívül az összetett állítás igazolása az alábbiak szerint kapcsolódik összetevőinek igazolásához:

az A ∧ B bizonyítéka áll az A állítás bizonyítékáról és a B állítás igazolásáról;
az A ∨ B igazolását az A vagy B igazolásának bemutatásával kell igazolni;
az A → B igazolása egy konstrukció, amely az A igazolásait B igazolásokká alakítja;
a hamisság ⊥ olyan állítás, amelynek nincs bizonyítéka, ¬ A rövidítés A → ⊥-re.

Kolmogorov kifejezetten azt állította, hogy az értelmezésében szereplő bizonyítékszerű tárgyak („problémamegoldások”) a klasszikus matematikából származnak (Kolmogorov 1932). Valójában alapvető szempontból nincs értelme értelmezni a fenti „bizonyítékokat” mint bizonyítékokat egy intuitív rendszerben, amelyet ezeknek a feltételeknek állítólag meg kell határozniuk.

A BHK szemantika alapvető értéke, hogy informálisan, de egyértelműen azt sugallja, hogy az igazolásokat, itt matematikai bizonyítékokat, mint műveleti objektumokat kell kezelni.

(Gödel 1933) Gödel megtette az első lépést az intuíciózmus szigorú, bizonyítékokon alapuló szemantikájának kidolgozása felé. Gödel a klasszikus S4 modális logikát egy kiszámíthatóság tulajdonságait leíró kalkulusnak tekintette:

A klasszikus javaslati logika szorongói és szabályai;
□ (F → G) → (□ F → G);
□ F → F;
□ F → □□ F;
A szükségesség szabálya: ha ⊢ F, akkor ⊢ □ F.

A logikai igazság Brovawer általi bizonyítékként való értelmezése alapján Gödel meghatározta az intuitív nyelvű F formuláció tr (F) fordítását a klasszikus modális logika nyelvére: a tr (F) értéket úgy kapják meg, hogy az F minden egyes alformátumát előfeltételi a bizonyíthatósággal. modalitás □. Informális értelemben véve, amikor a képlet klasszikus igazságának meghatározására szolgáló szokásos eljárást alkalmazzák a tr (F) -re, ez az egyes F al-formákok valószínûségét (nem az igazságot) teszteli, Brouwer elképzeléseivel összhangban. Gödel eredményei és a modális logika topológiai szemantikájának McKinsey-Tarski munkája alapján az következik, hogy a tr (F) fordítás az Intuitionistic Propositional Calculus (IPC) megfelelő beágyazását biztosítja az S4-be, azaz az intuitionistic logika beágyazását a klasszikus logikába. meghosszabbította a bizonyíthatósági operátor.

(3) Ha az IPC bizonyítja F-et, akkor S4 bizonyítja tr (F) -ot.

Gödel eredeti célját, azaz az intuitív logika meghatározását a klasszikus bizonyíthatóság szempontjából, még nem sikerült elérni, mivel az S4 kapcsolatát a valószínűség szokásos matematikai fogalmával nem sikerült létrehozni. Ezenkívül Gödel megjegyezte, hogy az □ F, mint F modalitás értelmezésének egyértelmû elképzelése egy adott formális rendszerben T ellentmond Gödel második hiányossági tételének. Valójában □ (□ F → F) az S4-ben a szükségesség szabálya alapján származtatható □ F → F axiómából. Másrészről, ha a modálisságot □ mint a T és F elméleti formális bizonyíthatóság predikátumát értelmezi ellentmondássá, ezt a képletet hamis állításmá alakítja, miszerint a T konzisztenciája T-ben belsőleg bizonyítható.

A (Gödel 1933) utáni helyzetet a következő ábra írhatja le, ahol az „X ↪ Y” helyett „X az Y értelme”

IPC ↪ S4 ↪? ↪ OSZTÁLYOS igazolások

Gödel egy 1938-ban Bécsben tartott nyilvános előadásán megfigyelte, hogy a kifejezett bizonyítékok formátumával:

(4) t bizonyítja F-et

elősegítheti az S4 kiszámíthatóságának számítását (Gödel 1938). Gödel munkáját (Gödel 1938) sajnos 1995-ig nem tették közzé, addigra már a felesleges bizonyítékok gödeliai logikáját újra felfedezték, és axiomatizáltak, mint a Proofs LP logikája, és teljes teljességi tételekkel látják el, amelyek összekapcsolják az S4-et és a klasszikus bizonyítékokat (Artemov). 1995).

A Proofs LP logikája lett az első az Indokolás Logika családban. Az LP bizonyító kifejezései nem más, mint a BHK kifejezések, amelyeket klasszikus bizonyítékokként értünk. Az LP segítségével a javasolt intuitív logika megkapta a kívánt szigorú BHK szemantikát:

IPC ↪ S4 ↪ LP ↪ OSZTÁLYOS MEGERŐSÍTÉSEK

A matematikai logikai hagyomány további ismertetését lásd a Néhány további műszaki kérdés kiegészítő dokumentum 1. szakaszában.

2. Az indokolási logika alapvető elemei

Ebben a részben bemutatjuk az igazolási logika leggyakoribb rendszereinek szintaxisát és axiomatikáját.

2.1 Az indokolás logikájának nyelve

Az igazolási logika hivatalos beszámolójának elkészítéséhez alapvető szerkezeti feltevést kell tenni: az igazolások elvont objektumok, amelyek felépítése és működése rajtuk vannak. Az igazolások jó példáját a hivatalos bizonyítékok szolgáltatják, amelyek már régóta a matematikai logika és a számítógépes tudomány tanulmányainak tárgyát képezik (vö. 1.2. Szakasz).

Indokolás A logika egy formális logikai keret, amely magában foglalja a t: F episztatikus állításokat, az „t” kifejezés az F igazolása. Indokolás A logika nem közvetlenül elemzi, hogy mit jelent t számára a F: t: F formátumon túli igazolása, hanem inkább megpróbálja ezt a kapcsolatot axiomatikusan jellemezni. Ez hasonló ahhoz, ahogyan a logikai logika kezeli az összekötőit, mondjuk, diszjunciót: nem elemzi a p ∨ q képletet, hanem bizonyos logikai axiómákat és igazságtáblázatokat feltételez erről a képletről.

Számos tervezési döntés született. Indokolás A logika a legegyszerűbb alapokkal kezdődik: a klasszikus logikai logikával, jó indokok miatt. Az indokolások még a legegyszerűbb szinten is elég komoly kihívást jelentenek. Russell, Goldman-Kripke, Gettier és mások paradigmatikus példái a Boolean Pagrindimas logikával kezelhetők. Az Epistemic Logic magja a klasszikus logikai alapú modális rendszerekből áll (K, T, K4, S4, K45, KD45, S5 stb.), És mindegyikük rendelkezésére áll egy megfelelő, logikai logikán alapuló logikai társ.. Végül, az igazolások faktivitását nem mindig feltételezik. Ez lehetővé teszi az episztemológiában folyó viták lényegének megragadását, amelyek a hiedelem és nem a tudás kérdéseit érintik.

Az igazolások alapművelete az alkalmazás és az összeg. Az alkalmazási művelet az s és t indokolást veszi fel, és olyan ⋅ t indokolást hoz létre, hogy ha s:(F → G) és t: F, akkor [s ⋅ t]: G. szimbolikusan

s:(F → G) → (t: F → [s ⋅ t]: G)

Ez a kombinációs logikában és az λ-kalkulusban (Troelstra és Schwichtenberg 1996), a Brouwer-Heyting-Kolmogorov szemantika (Troelstra és van Dalen 1988), a Kleene megvalósíthatósága (Kleene 1945), a Logics of Proofs LP feltételezett igazolások alapvető tulajdonsága..

Bármelyik igazolás biztonságosan kombinálható szélesebb hatályúvá. Ez a „+” műveleti összeg felhasználásával történik. Ha s: F, akkor bármilyen t bizonyíték is lehet, az s + t kombinált bizonyíték továbbra is igazolja F-et. Pontosabban, a '+' művelet s és t igazolásokat vesz és s + t eredményez, ami igazolja mindazt, amit s vagy t indokol.

s: F → [s + t]: F és t: F → [s + t]: F

Motivációként úgy gondolhatjuk, hogy s és t egy enciklopédia két kötete, és s + t mint a két kötet halmaza. Képzeljük el, hogy az egyik kötet, mondjuk s, elegendő indokolást tartalmaz az F javaslatra, azaz s: F a helyzet. Akkor a nagyobb s + t halmaz szintén megfelelő indokolást tartalmaz F, [s + t]: F számára. Az igazolások logikája LP 1.2 szakaszában az 's + t' értelmezhető s és t bizonyítékok összekapcsolásaként.

2.2 Alapvető logika J ₀

Az indokolás kifejezései az x, y, z,… igazolási változókból épülnek fel, és az a, b, c,… igazolási állandók (i = 1, 2, 3,… mutatókkal, amelyeket elhagyunk, amikor csak biztonságos) a műveletekkel” ⋅”és„ +”. Az alább megvizsgált részletesebb logika további indokolást tesz lehetővé az igazolásokkal kapcsolatban. Az állandók olyan atomi igazolásokat jelölnek, amelyeket a rendszer nem elemez; A változók meg nem határozott indokolást jelölnek. Az igazolások alapvető logikája, J ₀ az alábbiak szerint axiomatizálódik.

Klasszikus logika

Klasszikus javaslatbeli axiómák és a szabály Modus Ponens

Alkalmazás Axiom

s:(F → G) → (t: F → [s ⋅ t]: G),

Sum Axioms

s: F → [s + t]: F, s: F → [t + s]: F.

J ₀ az abszolút szkeptikus ágensek általános (nem feltétlenül tényleges) indoklásainak logikája, akikre semmilyen képlet nem igazolható, azaz J ₀ nem eredményezi t: F bármely t-re és F-re. Egy ilyen ágens azonban képes a forma relatív igazolási következtetéseire

Ha x: A, y: B,…, z: C tartsa, akkor t: F.

Ezzel a kapacitással a J ₀ képes megfelelő módon utánozni más indoklási logikai rendszereket a saját nyelvén.

2.3 Logikai tudatosság és állandó specifikációk

A logikai tudatosság elve kimondja, hogy a logikai axiómák hivatalból igazolhatók: az ügynök elfogadja a logikai axiómákat igazolhatónak (ideértve az igazolásokra vonatkozókat is). Ahogy a fentiekben kifejtettük, a logikai tudatosság túl erős lehet bizonyos episztemikus helyzetekben. Indokolás A Logic azonban az állandó specifikációk rugalmas mechanizmusát kínálja, hogy képviselje a logikai tudatosság változó színvonalát.

Természetesen meg lehet különböztetni egy feltételezést és egy indokolt feltételezést. Indokolás A logikai állandók a feltételezések igazolásának bemutatására szolgálnak olyan helyzetekben, amikor azokat nem elemezzék tovább. Tegyük fel, hogy kívánatos lenne azt állítani, hogy az A axióma indokolt a tudós számára. Az egyik egyszerűen posztulálja az e ₁: A értéket bizonyos bizonyítékoknál az e ₁ állandóval (az 1. indextel). Ha ezenkívül azt feltételezzük, hogy ez az új e ₁: A elv is indokolt, akkor az e ₂:(e ₁: A) e ₂ állandóra posztulálhatjuk(a 2. mutatóval). Stb. Az indexek nyomon követése nem szükséges, de egyszerű és segíti a döntési eljárásokat (Kuznets 2008). Az adott logikára vonatkozó összes ilyen feltételezés halmazát állandó változónak nevezzük. Itt van a formális meghatározás:

Az adott L igazolási logika állandó specifikációjú CS-je az űrlap képleteinek halmaza

e _n: e _{n −1}:…: e ₁: A (n ≥ 1),

ahol A jelentése L axióma, és e ₁, e ₂,…, e _n hasonló állandók az 1, 2,…, n mutatókkal. Feltételezzük, hogy a CS tartalmazza az összes közbenső specifikációt, azaz amikor e _n: e _{n −1}:…: e ₁: A CS-ben van, akkor e _{n −1}:…: e ₁: A szintén CS-ben van.

Számos különleges feltétel létezik, amelyeket az irodalom állandó előírásainak vettek fel. A következők a leggyakoribbak.

Üres

CS = ∅. Ez egy teljesen szkeptikus ügynöknek felel meg. Ez a J ₀ logikával való együttműködésnek felel meg.

Véges

A CS egy képlet véges halmaza. Ez egy teljesen reprezentatív eset, mivel az Indokolás Logikában szereplő bármely konkrét származtatás csak véges állandókból áll.

Axiomatikusan megfelelő

Mindegyik axiómának - beleértve az állandó specifikáció révén újonnan megszerzett - igazolást is tartalmaz. A formális beállításban minden A axióma állandó olyan e ₁ értékkel, hogy e ₁: A CS-ben van, és ha e _n: e _{n −1}:…: e ₁: A ∈ CS, akkor e _{n +1}: e _n: e _{n −1}:…: e ₁: A ∈ CS, minden n ≥ 1. Axiomatikusan megfelelő állandó specifikációk szükségesek a internalizálás tulajdonságának biztosításához, amelyet e szakasz végén tárgyalunk.

Teljes

Minden axióma és bármely konstansok e ₁, e ₂, … e _n,

e _n: e _{n −1}:…: e ₁: A ∈ CS.

A TCS név a teljes állandó specifikációra van fenntartva (egy adott logika számára). Természetesen a teljes állandó specifikáció axiomatikusan megfelelő.

Most meghatározhatjuk:

Indokolás logikája az adott állandó specifikációval:

Legyen a CS állandó specifikáció. J _CS a J ₀ + CS logika; a J ₀ axiómái a CS tagjaival együtt, és az egyetlen következtetési szabály Modus Ponens. Vegye figyelembe, hogy J ₀ J _∅.

Az igazolások

logikája: J a J ₀ + Axióma internalizációs logika logika. Az új szabály kimondja:

Minden axióma és bármely konstansok e ₁, e ₂, …, e _n Infer e _n: e _{n -1:} …: e ₁: A.

Ez utóbbi a korlátlan logikai tudatosság ötletét testesíti meg J.-nak. Hasonló szabály lépett fel a Logic of Proofs LP-ben is, és Goldman-ban (Goldman 1967) szintén számítottak rá. A logikai tudatosság, az axiomatikusan megfelelő állandó specifikációkban kifejezve, a szükségszerűségi szabály kifejezett megtestesülése a modális logikában: ⊢ F ⇒ ⊢ □ F, de az axiómákra korlátozódik. Vegye figyelembe, hogy J egybeesik a J _TCS- rel.

Az Indokolás A logikai rendszerek legfontosabb jellemzője az, hogy képesek-e internalizálni saját származékaikat, mint igazolható állítások nyelvükön belül. Ez az ingatlan várhatóan (Gödel 1938) volt.

1. tétel: Minden axiomatikusan megfelelő állandó specifikációhoz a J _CS élvezi a internalizálást:

Ha ⊢ F, akkor ⊢ p: F valamilyen p igazolási kifejezésre.

Bizonyíték. Indukció a deriválási hosszra. Tegyük fel, hogy ⊢ F. Ha F J ₀ vagy CS tag, akkor állandó e _n (ahol n lehet 1) olyan, hogy e _n: F CS-ben van, mivel a CS axiomatikusan megfelel. Akkor e _n: F származtatható. Ha F-et Modus Ponens hozza létre az X → F és X pontból, akkor az indukciós hipotézissel: ⊢s:(X → F) és ⊢ t: X néhány s-ra, t. Az Application Axiom használatával, ⊢ [s ⋅ t]: F.

Az igazolási logika konkrét szintaktikai származékainak példáit lásd a Kiegészítő dokumentum 2. szakaszában, a Néhány további műszaki kérdés részében.

2.4 Funkcionalitás

A faktivitás azt állítja, hogy az igazolás elegendő ahhoz, hogy egy ügynök megállapítsa az igazságot. Ezt a következők testesítik meg.

Faktivitás Axióma t: F → F.

A Faktivitási Axiom hasonló motivációt mutat az episztatikus logika Igazság-Axiómájához, □ F → F, amelyet széles körben elfogadnak a tudás alapvető tulajdonságaként.

Az alkalmazás és az összeg elvétől eltérően az indokolás tényezőjére nincs szükség az alapvető logikai rendszerekben, ami lehetővé teszi számukra a részleges és a tényleges indokolások megjelenítését. A funkcionális axióma megjelent a Logic of Proofs LP 1.2 szakaszában, a matematikai bizonyítékok fő jellemzőjeként. Valójában ebben a beállításban a tényező egyértelműen érvényes: ha van F matematikai bizonyítéka, akkor F-nek igaznak kell lennie.

A Faktivitási Axiomot a tudáshoz vezető igazolásokhoz alkalmazzák. A faktivitás önmagában azonban nem indokolja a tudást, amint ezt a Gettier-példák is mutatják (Gettier 1963).

A tényleges igazolások logikája

JT ₀ = J ₀ + faktivitás;

JT = J + jellemző.

Az állandó specifikációk _CS-nek megfelelő JT _CS rendszereket a 2.3 szakasz határozza meg.

2.5 Pozitív önellenőrzés

A tudás egyik legfontosabb alapelve a tudás azonosítása és annak ismerete. Modális körülmények között ez megfelel □ F → □□ F-nek. Ennek az elvnek egy megfelelő kifejezett ellentéte van: az a tény, hogy egy ügynök elfogadja t elegendő bizonyítékként F-re, elegendő bizonyítékként szolgál t: F-hez. Az ilyen „meta-bizonyítékok” gyakran fizikai formában vannak: bírói jelentés, amely igazolja, hogy a papírban szereplő bizonyíték helyes; számítógépes ellenőrző kimenet, amely hivatalos igazolást ad T bemenetként; hivatalos bizonyíték arra, hogy t bizonyítja F-et, stb. Pozitív önellenőrzési művelet '!' e célból hozzáadható a nyelvhez; akkor azt feltételezzük, hogy adott t-nél az ügynök igazolást ad! t t: F olyan, hogy t: F →! t:(t: F). Ebben a működési formában a pozitív önvizsgálat először a Logic of Proofs LP-ben jelent meg.

Pozitív önvizsgálat axióma: t: F →! t:(t: F).

Ezután meghatározzuk:

J4: = J + pozitív önvizsgálat;
LP: = JT + pozitív önvizsgálat. ^[3]

A J4 ₀, J4 _CS, LP ₀ és LP _CS logikákat természetes módon határozzák meg (vö. 2.3. Szakasz). Az 1. tétel közvetlen analógja a J4 _CS és az LP _{CS esetében} is érvényes.

A pozitív önmegfigyelési axióma jelenlétében az axióma internalizációs szabályának alkalmazási körét korlátozhatjuk olyan internalizációs axiómákra, amelyek nem e: A formájúak. Így történt az LP-ben: Az Axiom internalizálása ezután emulálható !! e:(! e:(e: A)) e ₃ helyett:(e ₂:(e ₁: A)) stb. A folyamatos specifikáció fogalma ennek megfelelően egyszerűsíthető. Az ilyen módosítások kisebb jelentőségűek, és nem érintik az Indokolás Logika fő tételeit és alkalmazását.

2.6 Negatív önellenőrzés

(Pacuit 2006, Rubtsova 2006) a negatív önmegfigyelési műveletet „?” -Nak tartotta. amely igazolja, hogy egy adott indokolási állítás hamis. Az ilyen műtét mérlegelésének egyik lehetséges motivációja az, hogy a pozitív önellenőrzési művelet '!' úgy tekinthető, hogy képes bizonyító erejű ellenőrző ítéletek megtételére a t: F indokolási állítások érvényességéről, tehát ha t nem az F igazolása, akkor az ilyen! arra kell következtetni, hogy ¬ t: F. Ez általában érvényes a számítógépes igazolásokra, a formális elméletekben szereplő ellenőrökre stb. Ez a motiváció azonban árnyalatokkal bír: a bizonyító hitelesítők és a bizonyítás-ellenőrök példái t és F bemenetekkel működnek, míg a Pacuit-Rubtsova formátum? t azt sugallja, hogy az '?' egyetlen bemenete t igazolás és az eredmény? t állítólag indokolja az állításokat ¬ t:F egyenletesen minden olyan F esetében, amelynél t: F nem tart. Egy ilyen művelet? azóta nem létezik hivatalos matematikai igazolásokra? A t végül egy végtelen sok állítás egyetlen bizonyítéka lehet ¬ t: F, ami lehetetlen.

Negatív önvizsgálat Axióma ¬ t: F →? t: (¬ t: F)

Meghatározjuk a rendszereket:

J45 = J4 + negatív önvizsgálat;
JD45 = J45 + t: ⊥;
JT45 = J45 + jellemző

és természetesen kiterjeszti ezeket a meghatározásokat a J45 _CS-re, JD45 _CS -re és JT45 _CS-re. Az 1. tétel közvetlen analógja a J45 _CS-re, a JD45 _CS -re és a JT45 _{CS-re vonatkozik}.

3. Szemantika

Az igazolási logika ma már szokásos szemantikája a (Fitting 2005) eredetéből származik - az alkalmazott modelleket az irodalomban általában illesztési modelleknek nevezik, ám itt a lehetséges világ-igazolási modelleknek hívják őket. A lehetséges igazolási modellek a tudás és a hit logikájának ismeretes lehetséges világszemantikájának összekapcsolása, Hintikka és Kripke miatt, az igazolási kifejezésekre jellemző gépekkel, amelyeket Mkrtychev mutatott be (Mkrtychev 1997) (vö. 3.4. Szakasz).

3.1. Az egyszereplős lehetséges világ indokolás J

Pontosabban meg kell határozni a J _CS szemantikáját, ahol a CS minden állandó specifikációt meg kell határozni. Formálisan a J _CS lehetséges világ-igazolási logikai modellje az M = ⟨G, R, E, V⟩ struktúra. Ebből a ⟨G, R⟩ egy standard K keret, ahol G a lehetséges világok halmaza és R egy bináris reláció rajta. V egy feltérképezés a javaslati változóktól a G részhalmazáig, meghatározva az atomi igazságot a lehetséges világokon.

Az új tétel az E bizonyíték funkció, amely eredetileg (Mkrtychev 1997) származik. Ez az igazolási feltételeket és a képleteket világkészletekké térképezi. Az intuitív ötlet az, hogy ha a lehetséges világ E E (t, X) -ben van, akkor t releváns vagy megengedhető bizonyíték az X-re a világon. A releváns bizonyítékokat nem szabad meggyőzőnek tekinteni. Ehelyett inkább úgy gondoljunk, mint inkább olyan bizonyítékokra, amelyeket a bíróságon be lehet fogadni: ez a vallomás, ez a dokumentum valami, amelyet a zsűri megvizsgál, valami releváns, de valami, amelynek igazságát meghatározó státusát még figyelembe kell venni. A bizonyítási funkcióknak meg kell felelniük bizonyos feltételeknek, de ezeket egy kicsit később tárgyaljuk.

Ha egy J _CS lehetséges világ-igazolási modellt kapunk, akkor M = ⟨G, R, E, V⟩, az X képlet igazságát a lehetséges world világon M, Γ ⊩ X jelöli, és a következő szabvány feltételeknek kell megfelelnie:

Minden Γ ∈ G esetében:

M, i i P iff Γ ∈ V (P) P-re egy javaslati betű;

nem ez a helyzet M, Γ ⊩ ⊥;

M, Γ ⊩ X → Y, ha nem ez a helyzet M, Γ ⊩ X vagy M, Γ ⊩ Y.

Ezek csak azt mondják, hogy az atomi igazságot önkényesen határozzák meg, és az alkotmányos kötőelemek igazság-funkcionálisan viselkednek minden világban. A legfontosabb elem a következő.

M, Γ ⊩ (t: X) akkor és csak akkor, ha Γ ∈ E (t, X), és minden Δ ∈ G esetén, ahol, R Δ, akkor M, Δ ⊩ X

Ez a feltétel két részre oszlik. Az a záradék, amely megköveteli, hogy M, Δ ⊩ X minden Δ ∈ G-re olyan legyen, hogy R Δ az ismerős Hintikka / Kripke feltétel, hogy X-nek hitele legyen vagy hiteles at. Az Γ ∈ E (t, X) megkövetelő záradék hozzáteszi, hogy t releváns bizonyíték lehet X számára X-nál. Ezután informálisan: t: X igaz egy lehetséges világon, ha X hiteles abban a világban az episztatikus logika szokásos értelmében, és t releváns bizonyíték az X számára abban a világban.

Fontos felismerni, hogy ebben a szemantikában valószínűleg valami bizonyos okból nem hisznek egy világban sem azért, mert egyszerűen nem hihető, vagy mert van, de az ok nem megfelelő.

Bizonyos feltételeket továbbra is a bizonyítási funkciókra kell helyezni, és a folyamatos specifikációt szintén be kell vonni a képbe. Tegyük fel, hogy az egyiknek indoklása van s és t. Ezeket kétféle módon lehet kombinálni: mindkettőből származó információkat egyszerre lehet felhasználni; vagy csak egyikük adatait használja fel, de először válassza ki az egyiket. Mindegyik indokolja az operation és + igazolási szempontból történő alapműveletet, amelyet axiomatikusan vezetnek be a 2.2. Szakaszban.

Tegyük fel, hogy s egy releváns bizonyíték egy implikációra, és t releváns bizonyíték az előzményre. Ezután s és t együttesen releváns bizonyítékokat szolgáltatnak a következményre. A bizonyítási funkciókra a következő feltételt kell feltételezni:

E (s, X → Y) ∩E (t, X) ⊆ E (s ⋅ t, Y)

E feltétel hozzáadásával a

s:(X → Y) → (t: X → [s ⋅ t]: Y)

biztosított.

Ha s és t bizonyíték, akkor azt mondhatjuk, hogy valamit igazolja valamelyik s vagy t egyikével, anélkül, hogy megkísérelnénk meghatározni, melyik, és ez továbbra is bizonyíték lesz. A következő követelmény vonatkozik a bizonyítási funkciókra.

E (s, X) ∪ E (t, X) ⊆ E (s + t, X)

Nem meglepő, hogy mindkettő

s: X → [s + t]: X

és

t: X → [s + t]: X

most tartsd.

Végül, az állandó specifikációs CS-t figyelembe kell venni. Emlékezzünk arra, hogy az állandók célja az egyértelműen elfogadott alapvető feltevések okának bemutatása. Az M = ⟨G, R, E, V⟩ modell megfelel az állandó CS-specifikációnak, feltéve, hogy ha c: X ∈ CS, akkor E (c, X) = G.

Lehetséges világindoklási modell A J _CS lehetséges világ-igazolási modellje az M = ⟨G, R, E, V⟩ szerkezet, amely megfelel a fent felsorolt összes feltételnek és megfelel az állandó specifikáció CS-nek.

A hasonlóságok ellenére a lehetséges világ-igazolási modellek lehetővé teszik a finom elemzést, amely a Kripke modellekkel nem lehetséges. További részletekért lásd a Kiegészítő dokumentum 3. szakaszát.

3.2 Gyenge és erős teljesség

Az X képlet érvényes egy adott modellnél a J _{CS esetében,} ha igaz a modell minden lehetséges világában. A J _CS- nek axiomatikáját a 2.2. És a 2.3. Szakaszban adtuk meg. A teljesség tétel most a várt formát öltheti.

2. tétel: Az X képlet akkor bizonyítható J _CS-ben, ha és csak akkor, ha X érvényes minden J _CS modellben.

A teljesség tételet, ahogy az éppen kijelentette, néha gyenge hiányosságnak nevezik. Kicsit meglepő, hogy lényegesen könnyebb bizonyítani, mint teljességét a modális logika K szempontjából. Másrészről ez nagyon általános, minden állandó specifikációra vonatkozik.

(Fitting 2005) a szemantika erősebb változatát is bevezették. Az M = ⟨G, R, E, V⟩ modellt teljesen magyarázónak nevezzük, ha az megfelel a következő feltételnek. Minden Γ ∈ G esetében, ha M, Δ ⊩ X minden Δ ∈ G esetében olyan, hogy Γ R Δ, akkor M, Γ ⊩ t: X valamilyen t igazolási kifejezésnél. Vegye figyelembe, hogy az M, Δ ⊩ X feltétel minden Δ ∈ G esetében, úgy, hogy Γ R Δ, az a szokásos feltétel, hogy X hiteles / Kripke értelemben Γ-n hihető legyen. Tehát a teljes magyarázat azt mondja, hogy ha egy képlet hiteles egy lehetséges világban, akkor ezt meg kell indokolni.

Nem minden gyenge modell teljesíti a teljes magyarázatot. Azokat a modelleket, amelyeket igen, erős modelleknek hívják. Ha az állandó specifikációjú CS annyira gazdag, hogy egy internalizációs tétel fennálljon, akkor a CS-nek megfelelõ erõs modellekhez kell-e illeszkedni. Valójában megfelelő értelemben a teljesség az erős modellekhez képest egyenértékű azzal, hogy bizonyítani tudjuk a internalizációt.

A teljesség igazolása az erős modellekhez szoros hasonlóságot mutat a teljesség bizonyítékával a K modális logika kanonikus modelljeivel. Az erős modellek viszont felhasználhatók a megvalósítási tétel szemantikai igazolására (vö. 4. szakasz)..

3.3 Az egyszemélyes család

Eddig egy igazolási logika lehetséges világszemantikáját tárgyalták, J esetében, K. ellentétében. A dolgok kibővítésre kerülnek, hogy magukba foglalják más ismerős modális logikák igazolási analógjait.

Egyszerűen azáltal, hogy a 3.1. Szakaszban az R akadálymentesség relációjának reflexivitását egy modell feltételeihez adjuk, megkapjuk a t érvényességét: X → X minden t és X esetében, és megkapjuk a JT szemantikáját, a modális logika igazolási logikai analógját. T, a tudás leggyengébb logikája. Valójában, ha M, Γ ⊩ t: X, akkor különösen X igaz minden state-től elérhető állapotban. Mivel az akadálymentesség relációjának reflexióra van szükség, M, Γ ⊩ X. A gyenge és erőteljes teljességgel kapcsolatos tételek ugyanazzal a gépen használhatók, mint a J esetében, és rendelkezésre áll a JT-t és T-t összekötő megvalósítási tétel szemantikai igazolása is. Ugyanez vonatkozik az alább tárgyalt logikára.

A K4 igazolásának analógjaként egy egységes operátor! kiegészül a nyelv kifejezéssel, lásd a 2.5. szakaszt. Emlékezzünk arra, hogy ez az operátor az igazolásokat az igazolásokhoz térképezi fel, ahol az az elképzelés, hogy ha t igazolja X-et, akkor! t indokolást kell adni a t-re: X. Szemantikusan ez hozzáadja az M = ⟨G, R, E, V⟩ modell feltételeit, az alábbiak szerint.

Először is, természetesen, R-nek tranzitívnek kell lennie, de nem feltétlenül reflexiós. Másodszor, a bizonyítási funkciók monotonitásának feltétele:

Ha Γ R Δ és Γ ∈ E (t, X), akkor Δ ∈ E (t, X)

És végül, még egy bizonyítási funkció feltételre van szükség.

E (t, X) ⊆ E (! T, t: X)

Ezek a feltételek együtt járnak a t érvényességével: X →! t: t: X, és állítson elő a J4 szemantikáját, a K4 igazolási analógját, egy realizációs tételgel, amely azokat összeköti. A reflexivitás hozzáadása olyan logikához vezet, amelyet történelmi okokból LP-nek hívnak.

Hozzáadhat egy negatív önmegfigyelési operátort is,??, Lásd a 2.6 fejezetet. Az igazolási logika modelljei, amelyek tartalmazzák ezt az operátort, három feltételt adnak hozzá. Az első R szimmetrikus. Másodszor, hozzáadunk egy feltételt, amelyet erős bizonyítéknak hívunk: M, Γ ⊩ t: X minden Γ ∈ E (t, X) számára. Végül a bizonyítási funkcióra van szükség:

E (t, X) ⊆ E (? T, ¬ t: X)

Ha ezt a gépet hozzáadjuk a J4-hez, akkor a J45 logikát kapjuk, amely a K45 igazolásának megfelelője. Az axiomatikus szilárdság és teljesség bizonyítható. Hasonló módon megfogalmazható a kapcsolódó JD45 és JT45 logika.

Az ezt az operátort figyelembe vevő megvalósítási tétel bemutatásra került (Rubtsova 2006).

3.4 Az egységes világ indoklási modelljei

Az egységes világ igazolásának modelleit már az általánosabb lehetséges világ-igazolási modellek kifejlesztése előtt fejlesztették ki (Mkrtychev 1997). Manapság legegyszerűbben azoknak a lehetséges világ-igazolási modelleknek tekinthetők, amelyeknek egyetlen világ van. A J teljességének bizonyítéka és a fentiekben említett egyéb igazolási logika könnyen módosítható, hogy megállapítsuk a teljességet az egyetlen világot igazoló modellek vonatkozásában, bár ez természetesen nem volt az eredeti érv. A teljesség azt mondja nekünk, hogy az egységes világ igazolási modelljei mennyire teljesítik az igazolási modellek lehetséges világszerkezetét az elfogadható bizonyíték funkcióval, legalábbis az eddig tárgyalt logika vonatkozásában. Mkrtychev az egységes világ indoklási modelljeit alkalmazta az LP dönthetőségének megállapítására,és mások alapvetõen felhasználták ezeket az igazolási logika bonyolultsági kereteinek meghatározására, valamint a meggyõzõdés igazolásának logikájának konzervativitási eredményeinek bemutatására (Kuznets 2000, Kuznets 2008, Milnikel 2007, Milnikel 2009). A komplexitás eredményeit tovább használták a logikai mindentudás problémájának megoldására.

4. Megvalósítási tételek

A t: F bizonyítási állítás természetes modális episztemikus párja: F □ F, x, x: F értékekre vonatkoztatva. Ez a megfigyelés, hogy a fogalom feledékeny kiemelkedése van, amely helyettesíti minden egyes előfordulásakor t: F által □ F és ezáltal átalakítja a Indokolás Logic mondat S egy megfelelő, modális logika mondat S ^o. A feledékeny vetítés természetes módon a mondatoktól a logikáig terjed.

Nyilvánvaló, hogy a különféle Indokolás A logikai mondatok ugyanolyan feledékeny vetülettel rendelkeznek, így S ^o elveszíti bizonyos információkat, amelyeket az S tartalmaz. Könnyen megfigyelhető azonban, hogy a feledékeny vetítés mindig feltünteti az Indokolás Logika érvényes képleteit (pl. J axiómái) a megfelelő Epistemic Logic (ebben az esetben K) érvényes képletekre. Ezzel ellentétben is áll: az episztemikus logika bármely érvényes formulája az indokolás logikájának valamely érvényes formulájának feledékeny vetülete. Ez a 3. levelezési tételből következik.

3. tétel: J ^o = K.

Ez a levelezés vonatkozik más indokolási és episztikus rendszerek párjaira, például a J4 és K4, vagy az LP és az S4, és még sokan másokra. Ilyen kibővített formában a levelezési tétel azt mutatja, hogy a nagyobb modális logikáknak, mint például K, T, K4, S4, K45, S5 és másoknak vannak pontos indoklási logikájuk.

A levelezési tétel lényege a következő Megvalósítási tétel.

4. tétel: Van egy algoritmus, amely minden K-ban levezethető F modalképlethez az F modalitás minden előfordulására bizonyítékszámokat rendel hozzá, hogy az így kapott F ^r képlet levezethető J-ben. Sőt, a megvalósítás bizonyítási változókat rendel hozzá. a modális operátorok negatív előfordulására F-ben, tiszteletben tartva az episztatikus modalitás egzisztenciális leolvasását.

Az ismert megvalósítási algoritmusok, amelyek a modális tételek bizonyítási kifejezéseit visszanyerik, vágás nélküli származtatásokat használnak a megfelelő modális logikában. Alternatív megoldásként a megvalósítási tétel szemantikailag megállapítható Fiting módszerével vagy annak megfelelő módosításaival. Ezek a szemantikai érvek elvben olyan megvalósítási eljárásokat is eredményeznek, amelyek kimerítő keresésen alapulnak.

Hiba lenne azt a következtetést levonni, hogy minden modális logikának ésszerű logikai logikája van. Például a formális bizonyíthatóság logikája, a GL (Boolos 1993) tartalmazza a Löb-alapelvet:

(5) □ (□ F → F) → □ F,

amelynek nem tűnik episztematikusan elfogadható explicit változata. Vegyük például azt az esetet, ahol F a hamis ition állítási konstansja. Ha a 4. tétel analógja lefedi a Löb-alapelvet, akkor az s és t indokolási kifejezések olyanok, hogy x:(s: ⊥ → ⊥) → t: ⊥. De ez intuitív módon hamis a tényleges igazolás szempontjából. Valójában s: ⊥ → ⊥ a funkcionális axióma példája. Alkalmazza az Axiom internalizációt c:(s: ⊥ → ⊥) eléréséhez valamilyen állandó c-re. Ez a c választás c: előzményeit teszi:(s: ⊥ → ⊥) → t: ⊥ intuitívan igaznak és hamis következtetésnek ^[4]. Konkrétan, a Löb-elv (5) nem érvényes a bizonyítékok értelmezésére (vö. (Goris 2007), amelynek teljes ismertetése a GL általános elveinek megvalósítható).

A levelezési tétel friss betekintést nyújt az episztemikus modális logikába. A legfontosabb, hogy új szemantikát biztosít a fő modális logika számára. Az □ F hagyományos Kripke-stílusú „univerzális” leolvasása mellett, amint az F minden lehetséges helyzetben van, az □ F számára szigorú „egzisztenciális” szemantika létezik, amely olvasható, mivel van tanú (bizonyíték, igazolás) F.

Indokolás A szemantika hasonló szerepet játszik a modális logikában, mint a Kleene realizálhatóságának az intuitív logikában játszott szerepe. Mindkét esetben a tervezett szemantika egzisztenciális: az intuíciós logika Brouwer-Heyting-Kolmogorov-értelmezése (Heyting 1934, Troelstra és van Dalen 1988, van Dalen 1986) és Gödel S4 bizonyíthatósági leolvasása (Gödel 1933, Gödel 1938). Mindkét esetben létezik az univerzum lehetséges világszemantikájakarakter, amely rendkívül erős és domináns technikai eszköz. Nem foglalkozik azonban a tervezett szemantika egzisztenciális jellegével. A Kleene realizálhatóságához (Kleene 1945, Troelstra 1998) az intuíciós logika és a bizonyítékok logikájának számítógépes szemantikájának feltárása volt szükséges, hogy az intuitív és a modális logika bizonyítékainak pontos BHK szemantikája szolgáljon.

Az episztemikus kontextusban az Indokolás Logika és a levelezési tétel új „igazolási” komponenst ad a tudás és a vélemény modális logikájához. Ez az új elem valójában egy régi és központi fogalom volt, amelyet a mainstream episztemológusok széles körben megvitattak, de amely a klasszikus episztatikus logika keretein kívül esett. A levelezési tétel azt mondja nekünk, hogy az igazolások összeegyeztethetőek a Hintikka-stílusú rendszerekkel, és ezért biztonságosan beépíthetők az Epistemic Modal Logic alapjába.

Lásd a Végrehajtási tételekkel kapcsolatos további dokumentum, Néhány további műszaki kérdés 4. szakaszát.

5. Általánosítások

Eddig ebben a cikkben csak az egy ügynök igazolási logikáját vették figyelembe, amely analóg a tudás egy ügynök logikájával. Indokolás A logikát úgy lehet értelmezni, mint az explicit tudás logikáját, amely az implicit tudás hagyományosabb logikájához kapcsolódik. Az irodalomban számos olyan rendszert megvizsgáltak, amelyeken kívül a fentiekben tárgyaltunk, amelyek több ágenst tartalmaznak, vagy amelyek mind implicit, mind explicit operátorokkal rendelkeznek, vagy ezek valamilyen kombinációja.

5.1 Az explicit és az implicit tudás keverése

Mivel az indoklási logika kifejezett indokolást nyújt, míg a tudás hagyományos logikája implicit tudáskezelőt nyújt, természetes fontolóra venni a kettő egyetlen rendszerben történő kombinálását. Az explicit és implicit tudás leggyakoribb logikája az S4LP (Artemov és Nogina 2005). Az S4LP nyelve megegyezik az LP nyelvével, de egy implicit tudáskezelővel együtt, K vagy □ írással. Az axiomatika olyan, mint az LP, kombinálva az S4-tel az implicit operátor számára, valamint az összekötő axiómával, t: X → □ X, minden, ami kifejezetten indokolt, ismert.

Szemantikusan, az LP lehetséges világmeghatározó modelljeit nem kell módosítani, mivel már rendelkeznek a Hintikka / Kripke modellek összes gépeivel. Az egyik a szokásos módon modellezi az □ operátort, éppen az akadálymentesség kapcsolatának felhasználásával, és az egyik modellezi a 3.1. Szakaszban leírt indokolási feltételeket, mind az akadálymentesség, mind a bizonyíték függvény felhasználásával. Mivel az □ X világszerte való valódiságának szokásos feltétele a t: X feltétel két záradékának egyike, ez azonnal megmutatja t: X → □ X érvényességét, és a megbízhatóság könnyen követhető. Az axiomatikus teljesség szintén meglehetősen egyértelmű.

Az S4LP-ben az implicit és az explicit ismeretek is képviseltetõk, de a lehetséges világ-igazolási modell szemantikájában mindössze egyetlen elérhetõségi kapcsolat szolgál. Ez nem az egyetlen módja ennek megtételére. Általánosabban fogalmazva: az explicit ismeretekhez való hozzáférés kapcsolata megfelelő kiterjesztése lehet az implicit tudás vonatkozásában. Ez az explicit tudás jövőképét képviseli, amely szerint szigorúbb előírások vonatkoznak az ismert tudományra, mint az implicit tudásé. Különböző hozzáférhetőségi viszonyok használata az explicit és implicit tudáshoz akkor válik szükségessé, ha ezek az episztemikus fogalmak eltérő logikai törvényeket követnek, pl. S5 implicit tudáshoz és LP explicit módon. A többszörös akadálymentesség kapcsolatát az irodalomban Artemov-Fitting modelleknek nevezik, ám itt multi-agent lehetséges világmodellek lesznek. (vö. 5.2. szakasz)

Furcsa módon, bár az S4LP logika nagyon természetesnek tűnik, a megvalósítási tétel problematikus volt számára: nem bizonyíthatjuk ezt a tételt, ha ragaszkodunk a normál megvalósításokhoz (Kuznets 2010). Az S4LP implicit tudásmódjának megvalósítása kifejezett indokolással, amely tiszteletben tartja az episztatikus struktúrát, továbbra is komoly kihívás ezen a területen.

Az implicit és explicit tudás közötti interakciók néha meglehetősen finomak lehetnek. Példaként vegye figyelembe a negatív önmegfigyelés alábbi vegyes elvét (ismét □ implicit episztatikus operátorként kell értelmezni),

(6) ¬ t: X → □ ¬ t: X.

A bizonyíthatóság szempontjából ez a negatív önmegfigyelés megfelelő formája. Valóban, értelmezzük □ F szerint F bizonyítható és t: F, mivel t az F bizonyítéka egy adott T formális elméletben, pl. A Peano Aritmetikai PA-ban. Ezután (6) kimutatható egy elv. Valójában, ha t nem bizonyítja F-et, akkor, mivel ez az állítás eldönthető, megállapítható T-en belül, tehát T-ben ez a mondat bizonyítható. Másrészről, a 't nem F bizonyítéka' bizonyítéka mind t-től, mind F-től függ, p = p (t, F), és nem számítható csak t megadásával. Ebben a tekintetben □ nem helyettesíthető egyetlen, a t-től függő bizonyíték kifejezéssel, és (6) nem mutatható be teljesen explicit indoklási stílusban.

Az explicit / implicit tudásrendszerek első példái a provabilitási logika területén jelentkeztek. (Sidon 1997, Yavorskaya (Sidon) 2001) bevezették egy logikai LPP-t, amely kombinálta a GL bizonyíthatóság logikáját az LP igazolások logikájával, de annak biztosítása érdekében, hogy a kapott rendszer kívánatos logikai tulajdonságokkal rendelkezzen néhány további művelettel az eredeti nyelveken kívül. Hozzáadunk GL és LP elegyet. (Nogina 2006, Nogina 2007) a logikai rendszert, a GLA-t kínálták a bizonyításokhoz és a bizonyíthatósághoz, a GL és az LP eredeti nyelveinek összegeként. Mind az LPP, mind a GLA élvezi a teljességet a számtani modellek osztályához képest, valamint a lehetséges világ igazolási modellek osztályához viszonyítva.

A bizonyíthatóság elvének egy másik példája, amelyet nem lehet teljesen kifejezni, a Löb-elv (5). Az LPP és a GLA mindegyikére könnyű olyan l (x) bizonyítékot találni, hogy

(7) x: (□ F → F) → l (x): F

tart. Nincs olyan megvalósítás, amely kifejezi az (5) mindhárom □ kifejezését. Valójában a megvalósítható bizonyíthatósági elvek összessége a GL és az S4 metszéspontja (Goris 2007).

5.2. Több ügynök lehetséges világindokolási modelljei

A multi-agent lehetséges világ-igazolási modellekben több akadálymentességi viszony kerül alkalmazásra, amelyek között vannak kapcsolatok (Artemov 2006). Az ötlet az, hogy több ügynök létezik, mindegyikük implicit tudáskezelővel rendelkezik, és vannak igazolási kifejezések, amelyeket minden ügynök ért. Szerencsére mindenki érti a kifejezett okokat; ezek bizonyítékokon alapuló közismertséget jelentenek.

Egy n -agent lehetséges világ indoklás modell egy szerkezet ⟨G, R ₁, …, R _n, R, E, V⟩ az alábbi feltételeknek megfelelő. G a lehetséges világok halmaza. Mindegyik R ₁, …, R _n egy kisegítő kapcsolatban, egy-egy minden szer. Ezeknek feltételezhetően reflexív, tranzitív vagy szimmetrikusak lehetnek. Ezeket arra használják, hogy modellezzék az implicit ügynöki ismereteket az ügynökök családjában. Az R akadálymentesség reláció megfelel az LP feltételeknek, a reflexivitásnak és a tranzitivitásnak. Az explicit tudás modellezésében használják. Az E bizonyítási funkció, amely megegyezik a 3.3. Szakaszban szereplő LP-vel megegyező feltételekkel. A V a javasolt betűket a világcsoportokhoz szokásosan ábrázolja. Különleges feltételt írnak elő: mindegyik i = 1,…, n, R _i ⊆ R értékére.

Ha M = ⟨G, R ₁, …, R _n, R, E, V⟩ egy multi-szer lehetséges világ indoklás modell egy igazság-at-a-világ kapcsolatban, M, Γ ⊩ X, definiáljuk a legtöbb a szokásos záradékok. Különösen érdekeltek ezek:

M, Γ ⊩ K _i X akkor és csak akkor, ha minden Δ ∈ G esetén Γ R _i Δ, akkor megvan az M, Δ ⊩ X.
M, Γ ⊩ t: X akkor és csak akkor, ha Γ ∈ E (t, X), és minden Δ ∈ G esetén, ahol Γ R Δ, akkor M, Δ ⊩ X.

Az R _i ⊆ R feltétel a következők érvényességét vonja maga után: X → K _i X, minden i ügynökre. Ha csak egyetlen ügynök létezik, és az ügynök akadálymentességi viszonya reflexív és tranzitív, ez egy másik szemantikát biztosít az S4LP számára. Függetlenül attól, hogy az ügynökök száma mekkora, minden ügynök egyértelmű okokat fogad el, mint tudást alapító tényezőket.

A két ágenssel ellátott LP verzióját bevezették és tanulmányozták (Yavorskaya (Sidon) 2008), bár ez tetszőleges számú ágenst lehet általánosítani. Ebben minden egyes ágensnek megvan a maga igazolási operátora, változója és állandója, ahelyett, hogy mindenkinek egyetlen halmazt tartalmazna, mint fentebb. Ezen felül engedélyezhető bizonyos korlátozott kommunikáció az ügynökök között, új operátor használatával, amely lehetővé teszi az egyik ügynök számára, hogy ellenőrizze a másik ügynök indokolásainak helyességét. A két ügynök logikájához mind az egységes világ, mind az általánosabb magyarázat szemantika változatai készültek. Ez magában foglalja a bizonyítási funkció fogalmának egyértelmű kiterjesztését és a lehetséges világ-igazolási modelleket két akadálymentesség-kapcsolat felhasználásával. A megvalósítási tételeket szintaktikailag igazoltam,bár feltehetően egy szemantikai bizonyíték is működne.

A közelmúltban felfedezték a nyilvános bejelentések szerepét a multi-agent igazolási logikában (Renne 2008, Renne 2009).

A bizonyítékokon alapuló közös ismeretek fogalmát a Néhány további műszaki kérdés kiegészítő dokumentum 5. szakaszában találja meg.

6. Russell-példa: indukált funkció

Van egy módszer az indoklási logika felhasználására ugyanazon tény különféle igazolásainak elemzésére, különösen akkor, ha néhány indokolás tényleges, míg más nem. A technika bemutatásához vegyen figyelembe egy jól ismert példát:

Ha egy férfi úgy véli, hogy a néhai miniszterelnök vezetéknevét kezdődött a „B”, hisz mi is igaz, mert a néhai miniszterelnök Sir Henry Campbell Bannerman ^[5]. De ha úgy gondolja, hogy Balfour úr a késő miniszterelnök volt ^[6], továbbra is azt fogja hinni, hogy a késő miniszterelnök vezetékneve „B” betűvel kezdődött, ám ennek a hitnek, bár igaz, valószínűleg nem tudást képez. (Russell 1912)

Mint a Red Barn példában, amelyet az 1.1. Szakaszban tárgyalunk, itt a valós állítás két indokait kell foglalkoztatni, amelyek közül az egyik helyes, az egyik nem. Legyen B egy mondat (állítólagos atom), w egy megjelölt indoklási változó a B helytelen okához, és ra kijelölt indoklási változó a B jobb (tehát tényleges) indokához. Ezután Russell példája a következő feltevések készítését kéri ^[7]:

R = {w: B, r: B, r: B → B}

Valamivel ellentétes az intuícióval, logikusan levonhatjuk R tényezőjét:

r: B (feltételezés)
r: B → B (feltételezés)
B (Modus Ponens 1-től 2-ig)
B → (w: B → B) (javaslati axióma)
w: B → B (Modus Ponens 3. és 4. oldalán)

Ez a deriváció azonban azt a tényt használja, hogy r tényleges indoklást ad arra, hogy B következtessen w: B → B-re, ami w: B „indukált képességének” esete. A kérdés az, hogyan lehet megkülönböztetni az r: B „valós” tulajdonságát a w: B „indukált tényezőjétől”? Itt valamiféle igazságkövetésre van szükség, és az Indokolás Logika megfelelő eszköz. A természetes megközelítés a feltételezések halmaza r: B nélkül, azaz

S = {w: B, r: B → B}

és állapítsa meg, hogy w tényezője, azaz w: B → B nem származtatható az S-ből. Itt van egy lehetséges M = (G, R, E, V) világ-igazolási modell, amelyben S tart, de w: B → B nem:

G = { 1 },
R = ∅,
V (B) = ∅ (és így nem - 1 ⊩ B),
E (t, F) = { 1 } minden párra (t, F), kivéve (r, B) és
E (r, B) = ∅.

Könnyű belátni, hogy teljesülnek-e a bezárási feltételek és az E összeg. At 1, w: B tart, azaz a

1 ⊩ w: B

mivel w megengedhető bizonyíték a B-nél 1-nél, és nincsenek elérhető világok, amelyek az 1- től elérhetők. Továbbá,

non 1 ⊩ R: B

mivel E szerint az r nem elfogadható bizonyíték B helyzetnél 1-nél. Ennélfogva:

1 ⊩ r: B → B

Másrészről,

non 1 ⊩ w: B → B

mivel B nem tart 1-nél.

7. Az igazolások önreferenciája

A megvalósítási algoritmusok időnként állandó specifikációkat hoznak létre, amelyek c: A (c) önreferenciális igazolási állításokat tartalmaznak, vagyis olyan állításokat, amelyekben az indokolás (itt c) az állított állításban (itt A (c)) fordul elő.

Az igazolások önreferenciája új jelenség, amely a hagyományos modális nyelvben nem létezik. Amellett, hogy érdekes episztatikus tárgyak, ezek az önreferenciális állítások szemantikai szempontból is különleges kihívást jelentenek a beépített ördögi kör miatt. Valójában c értékeléséhez először az A kiértékelését és azt követõen egy igazolási objektum hozzárendelését kell megadni A-hoz. Ezt azonban nem lehet megtenni, mivel A tartalmaz c-t, amelyet még ki kell értékelni. Az a kérdés, hogy a modális logika megvalósítható-e önreferenciális igazolások nélkül, e terület egyik legfontosabb nyitott kérdése.

Kuznets (Brežnev és Kuznets 2006) fő eredménye azt állítja, hogy az igazolások önreferenciája elkerülhetetlen az S4 megvalósításában az LP-ben. A dolgok jelenlegi helyzetét az alábbi tétel adja Kuznets miatt:

5. tétel: Az önreferenciálisság elkerülhető a K és D modális logika megvalósításánál. Az önreferenciális viszony nem kerülhető el a T, K4, D4 és S4 modális logikák megvalósításában.

Ez a tétel megállapítja, hogy az S4 igazolási feltételeinek rendszere szükségszerűen önreferenciális. Ez komoly, bár közvetlenül nem látható korlátozást eredményez a bizonyíthatóság szemantikájára. A számtani bizonyítékok gödeliai kontextusában a problémát egy általános módszerrel oldottuk meg, amely a számtani szemantikát az önreferenciális állításokhoz rendeli: A (c), kijelentve, hogy c az A (c) bizonyítéka. A Proofs LP logikájában egy nem triviális fixpontos konstrukcióval foglalkoztak.

Az önreferencia érdekes perspektívát ad Moore paradoxonjának. A részleteket lásd a Kiegészítő dokumentum 6. szakaszában.

8. Az indokolási logika számszerűsítői

Noha az állítólagos logika vizsgálata messze nem fejeződik be, az első sorrendű változatokon is szórványosan dolgoztak. A Modal Logic számszerűsített változatai már a szokásos elsőrendű logikán túl bonyolult feladatokat is kínálnak. A kvantitatív meghatározásnak még szélesebb területe van, ha az Indokolás Logika van szó. Klasszikusan az „objektumok” felett számszerűsíthető, a modelleket olyan tartománytal látják el, amelyen a mennyiségi meghatározók tartománya van. Modális szempontból az egyik lehetséges, hogy az összes lehetséges világ számára egy közös domain van, vagy lehet, hogy minden domainhez külön domain tartozik. A Barcan-képlet szerepe itt jól ismert. Mind az állandó, mind a változó domain opciók elérhetők az Indokolás Logikához. Ezenkívül van egy olyan lehetőség, amelynek nincs analógja a modális logika számára: számszerűsíteni lehet az igazolásokkal szemben.

A számszerűsített indoklási logikával kapcsolatos kezdeti eredmények különösen kedvezőtlenek voltak. A Logic of Proofs LP számtani bizonyíthatósági szemantikája természetesen általánosodik egy elsőrendű verzióval a szokásos számszerűsítőkkel, és egy olyan verzióval, amely számszerűsítőket tartalmaz a bizonyítékok felett. Mindkét esetben az axiomatizálhatóság kérdésére negatív választ adtak.

6. tétel: A bizonyítások elsőrendű logikája nem rekurzívan számolható (Artemov és Yavorskaya (Sidon) 2001). A bizonyítások kvantitatív bizonyítékok logikája a bizonyítékok felett nem rekurzívan számolható (Yavorsky 2001).

Noha a számtani szemantika nem lehetséges, a (Fitting 2008) során a lehetséges világszemantikát és egy axiomatikus bizonyítási elméletet adták az LP verziójának, amelynek igazolási pontjai túlléptek. Bizonyítást nyert a megalapozottság és a teljesség. Ezen a ponton a lehetséges világszemantika elválasztódik a számtani szemantikától, ami lehet, hogy nem okoz riasztást. Azt is kimutatták, hogy S4 beágyazódik a mennyiségi logikába a □ Z fordításával, mivel „létezik olyan x igazolás, hogy x: Z ^*”, ahol Z ^* a Z fordítása. Noha ez a logika kissé bonyolult, alkalmazásokat talált, például: (Dean és Kurokawa 2009b) a Knower Paradox elemzésére használják, bár ennek az elemzésnek az ellenvetései merültek fel (Arlo-Costa és Kishida 2009).

Dolgoztunk továbbá az Indokolás Logika verzióin, objektumok feletti mennyiségi meghatározókkal, akár a Barcan képlet analógjával, akár anélkül. Ennek egyikét sem tették közzé, és úgy kell tekinteni, hogy még folyamatban van.

9. Történelmi megjegyzések

A kezdeti indoklás logikai rendszert, a Logic of Proofs LP 1995-ben vezették be (Artemov 1995) (vö. Szintén (Artemov 2001)), ahol az alapvetõ tulajdonságokat, például a internalizálást, a megvalósítást, a számtani teljességet elsõként hozták létre. Az LP felajánlotta a Gödel S4 bizonyíthatósági logikájának tervezett szemléltethetõségét, ezáltal a Brouwer-Heyting-Kolmogorov szemantika formalizálását az intuitív javaslati logika számára. Az LP szisztematikus szemantikáját és teljességét (Fitting 2005) először hozták létre. A szimbolikus modellek és az LP dönthetősége Mkrtychevnek köszönhető (Mkrtychev 1997). A komplexitás becslései először (Brežnev és Kuznets 2006, Kuznets 2000, Milnikel 2007) jelentek meg. Az összes eldönthetőség és komplexitás eredménye átfogó áttekintése található (Kuznets 2008). J, J4 rendszerekés JT-t először (Brežnev 2001) különféle néven és kissé eltérõ körülmények között vették figyelembe. A JT45 önállóan jelent meg a (Pacuit 2006) és (Rubtsova 2006), és a JD45 a (Pacuit 2006) kategóriában. Az egységes következtetés igazolásának logikáját megtalálta (Krupski 1997). Az általános tudásnak az indokolt tudáson alapuló általánosabb megközelítését kínálta (Artemov 2006). Az Indokolás Logika és a Dinamikus Episztemikus Logika játék szemantikáját az indokolással együtt tanulmányozták (Renne 2008, Renne 2009). Az Indokolás Logika és a logikai mindentudás problémájának összefüggéseit (Artemov és Kuznets 2009, Wang 2009) vizsgálták. Az Indokolás logika elnevezés bevezetésre került (Artemov 2008), amelyben Kripke, Russell és Gettier példákat formáltak; ezt a formalizálást a paradoxonok megoldására, az ellenőrzésre,rejtett feltételezések elemzése és az elbocsátások kiküszöbölése. (Dean és Kurokawa 2009a), az Indokolás logikáját használta a Knower és a Tudhatóság paradoxonjainak elemzésére.

Bibliográfia

Antonakos, E. (2007). „Indokolt és közismert tudás: korlátozott konzervativitás”, S. Artemov és A. Nerode (szerk.), Computer Science logikai alapjai, Nemzetközi Szimpózium, LFCS 2007, New York, NY, USA, 2007. június 4–7., Proceedings (Informatikai előadások: 4514. kötet), Berlin: Springer, 1–11.
Arlo-Costa, H. és Kishida K. (2009). „Három bizonyíték és a tudó a bizonyítékok számszerűsített logikájában”, a hivatalos episztemológia műhelyben / FEW 2009. Proceedings, Carnegie Mellon University, Pittsburgh, PA, USA.
Artemov, S. (1995). „Operatív modális logika”, MSI 95–29 műszaki jelentés, Cornell University.
---. (2001). „Nyilvánvaló bizonyíthatóság és konstruktív szemantika”, A Symbolic Logic Bulletin, 7 (1): 1–36.
---. (2006). „Indokolt közismeretek”, Elméleti Számítástechnika, 357 (1–3): 4–22.
---. (2008). „Az igazolás logikája”, A szimbolikus logika áttekintése, 1 (4): 477–513.
Artemov, S. és Kuznets R. (2009). „Logikai mindentudás mint számítási komplexitás problémája”, Heifetz A. (szerk.), A racionalitás és tudás elméleti aspektusai, a 12. konferencia folytatásai (TARK 2009), ACM Publishers, 14–23.
Artemov, S. és Nogina E. (2005). „Az igazolás bevezetése az episztemikus logikába”, Journal of Logic and Computation, 15 (6): 1059–1073.
Artemov, S. és Yavorskaya T. (Sidon) (2001). „A bizonyítások elsőrendű logikájáról”, Moscow Mathematical Journal, 1 (4): 475–490.
Boolos, G. (1993). A bizonyosság logikája, Cambridge: Cambridge University Press.
Brežnev, V. (2001). „A bizonyítás logikájáról”, K. Striegnitz (szerk.), Az ESSLLI hatodik hallgatói ülésének, a logika, nyelv és információ 13. nyári iskolája (ESSLLI'01), 35–46.
Brežnev, V. és R. Kuznets (2006). „A tudás egyértelművé tétele: milyen nehéz”, Elméleti Számítástechnika, 357 (1–3): 23–34.
Cubitt, RP és R. Sugden (2003). „Közös ismeretek, látványosság és konvenció: David Lewis játékelméletének rekonstrukciója”, Közgazdaságtan és Filozófia, 19: 175–210.
Dean, W. és H. Kurokawa (2009a). „A tudhatóság paradoxonjától a bizonyítékok létezéséig”, Synthese, 176 (2): 177–225.
---. (2009b). „Tudás, bizonyítás és a tudó”, A. Heifetz (szerk.), A racionalitás és tudás elméleti aspektusai, a 12. konferencia folytatásai (TARK 2009), ACM Publikációk, 81–90.
Dretske, F. (2005). „Lezárták-e a tudást ismert kötelezettségvállalás alatt? A zárás elleni eset”, M. Steup és E. Sosa (szerk.), Kortárs vita az episztemológiában, Oxford: Blackwell, 13–26.
Fagin, R., J. Halpern, Y. Moses és M. Vardi (1995). A tudás érvelése, Cambridge, MA: MIT Press.
Fitting, M. (2005). „A bizonyítások logikája, szemantikailag”, Annals of Pure and Applied Logic, 132 (1): 1–25.
---. (2006). „ LP csere tétel”, TR-2006002 műszaki jelentés, Számítógéptudományi Tanszék, New York City University.
---. (2008). „A bizonyítékok számszerűsített logikája”, Annals of Pure and Applied Logic, 152 (1–3): 67–83.
---. (2009). „Megvalósítások és LP ”, Annals of Pure and Applied Logic, 161 (3): 368–387.
Gettier, E. (1963). „Van igazolható igaz hit ismerete?” Elemzés, 23: 121–123.
Girard, J.-Y., P. Taylor és Y. Lafont (1989). Bizonyítékok és típusok (Cambridge Tracts in Computer Science: 7. kötet), Cambridge: Cambridge University Press.
Gödel, K. (1933). „Eine Interpretation des intuitionistischen Aussagenkalkuls”, Ergebnisse Math. Kolloq., 4: 39–40. Angol fordítás: S. Feferman et al. (szerk.), Kurt Gödel Összegyűjtött művek (1. kötet), Oxford és New York: Oxford University Press és Clarendon Press, 1986, 301–303.
---. (1938). „Vortrag bei Zilsel / Előadás a Zilsel's-ben” (* 1938a), S. Feferman, JJ Dawson, W. Goldfarb, C. Parsons és R. Solovay (szerk.), Nem publikált esszék és előadások (Kurt Gödel összegyűjtött művek: kötet) részeként III), Oxford: Oxford University Press, 1995, 86–113.
Goldman, A. (1967). „A jelentés okozati elmélete”, The Journal of Philosophy, 64: 335–372.
Goodman, N. (1970). „A konstrukció elmélete egyenértékű a számtani módszerrel”, J. Myhill, A. Kino és R. Vesley (szerk.), Intuicionizmus és igazoláselmélet, Amszterdam: Észak-Holland, 101–120.
Goris, E. (2007). „Nyilvánvaló bizonyítékok a formális bizonyíték logikájában”, S. Artemov és A. Nerode (szerk.), Computer Science logikai alapjai, Nemzetközi Szimpózium, LFCS 2007, New York, NY, USA, 2007. június 4–7., Proceedings (ecture Notes in Computer Science: 4514. kötet), Berlin: Springer, 241–253.
Hendricks, V. (2005). Mainstream és formális episztemológia, New York: Cambridge University Press.
Heyting, A. (1934). Mathematische Grundlagenforschung. Intuitionismus. Beweistheorie, Berlin: Springer.
Hintikka, J. (1962). Tudás és hit, Ithaca: Cornell University Press.
Kleene, S. (1945). „Az intuitív számelmélet értelmezéséről”, The Journal of Symbolic Logic, 10 (4): 109–124.
Kolmogorov, A. (1932). „Zur Deutung der Intuitionistischen Logik”, Mathematische Zeitschrift, 35: 58–65. Angol fordítás a VM Tikhomirov-ban (szerk.), AN Kolmogorov válogatott munkái. I. kötet: Matematika és mechanika, Dordrecht: Kluwer, 1991, 151–158.
Kreisel, G. (1962). „Az intuitív logika alapjai”, E. Nagel, P. Suppes és A. Tarski (szerk.), Logika, módszertan és tudományfilozófia. Az 1960. évi Nemzetközi Kongresszus folyóiratai, Stanford: Stanford University Press, 198–210.
---. (1965). „Matematikai logika”, Saaty T. (szerk.), III. Előadás a modern matematikában, New York: Wiley and Sons, 95–195.
Krupski, V. (1997). „A bizonyítások működési logikája a funkcionális feltétellel a bizonyíték predikátumán”, S. Adian és A. Nerode (szerk.), Computer Science logikai alapjai, 4. Nemzetközi Szimpózium, LFCS'97, Jaroszlavl, Oroszország, 1997. július 6–12., Proceedings (Előadások a számítógépes tudományból: 1234. kötet), Berlin: Springer, 167–177.
Kurokawa, H. (2009). „Tableaux és hiperszekvenciák az indoklási logikához”, S. Artemov és A. Nerode (szerk.), Computer Science logikai alapjai, Nemzetközi Szimpózium, LFCS 2009, Deerfield Beach, FL, USA, 2009. január 3–6., Proceedings (Előadások a számítástechnikából: 5407. kötet), Berlin: Springer, 295–308.
Kuznets, R. (2000). „Az explicit modális logika komplexitásáról”, P. Clote és H. Schwichtenberg (szerk.), Computer Science Logic, 14. Nemzetközi Műhely, CSL 2000, az EACSL éves konferenciája, Fischbachau, Németország, 2000. augusztus 21–26., Proceedings (Előadások a számítógépes tudományból: 1862. évfolyam), Berlin: Springer, 371–383.
---. (2008). Komplexitás az logikában, Ph. D. értekezés, Ph. D. disszertáció, Számítástechnikai Tanszék, a New York-i New York City University University Graduate Center.
---. (2010). „Megjegyzés az S4LP megvalósításának rendellenességeiről”, K. Brünnler és T. Studer (szerk.), Bizonyítás, Számítás, Komplexitás PCC 2010, Nemzetközi Műhely, Proceedings, IAM műszaki jelentések IAM-10-001, Computer Institute Tudományos és Alkalmazott matematika, Berni Egyetem.
McCarthy, J., Sato M., Hayashi T. és S. Igarishi (1978). „A tudás modellelméletéről”, STAN-CS-78-667 műszaki jelentés, Számítástudományi Tanszék, Stanford Egyetem.
Milnikel, R. (2007). „A bizonyítékok logikájának egyes alrendszereiben a deriválhatóság Π ₂ ^p- komplett”, Annals of Pure and Applied Logic, 145 (3): 223–239.
---. (2009). „A megalapozott hit logikájának megőrzése”, S. Artemov és A. Nerode (szerk.), Számítástechnika logikai alapjai, Nemzetközi Szimpózium, LFCS 2009, Deerfield Beach, FL, USA, 2009. január 3–6., Proceedings (Előadások a számítástechnikából: 5407. kötet), Berlin: Springer, 354–364.
Mkrtychev, A. (1997). „A bizonyítás logikájának modellei”, S. Adian és A. Nerode (szerk.), Számítástechnika logikai alapjai, 4. Nemzetközi Szimpózium, LFCS'97, Jaroszlavl, Oroszország, 1997. július 6–12., Előadások (előadás) Megjegyzések a számítástechnikában: 1234. kötet), Berlin: Springer, 266–275.
Nogina, E. (2006). „A bizonyítékok és a bizonyíthatóság logikájáról”, a Szimbolikus Logika Egyesület 2005. évi nyári találkozója, Logic Colloquium'05, Athén, Görögország (2005. július 28. – augusztus 3.), A Symbolic Logic Bulletin, 12 (2): 356.
---. (2007). „A GLA episztematikus teljessége”, a Szimbolikus Logikai Szövetség 2007. évi éves ülésén, Floridai Gainesville, Florida (2007. március 10–13.), A Szimbolikus Logika Közleménye, 13 (3): 407.
Pacuit, E. (2006). „Megjegyzés néhány explicit modális logikáról”, PP – 2006–29. Sz. Műszaki jelentés, Logikai, Nyelvi és Számítástechnikai Intézet, Amszterdami Egyetem.
Plaza, J. (2007). „Nyilvános kommunikáció logikája”, Synthese, 158 (2): 165–179.
Renne, B. (2008). Dinamikus episztemikus logika indoklással, Ph. D értekezés, Számítástechnikai Tanszék, CUNY Graduate Center, New York, NY, USA.
---. (2009). „Bizonyítékok kiküszöbölése a multi-agent logikában”, Heifetz (szerk.), A racionalitás és tudás elméleti aspektusai, a 12. konferencia folytatásai (TARK 2009), ACM Publikációk, 227–236.
Rose, G. (1953). „Propozicionális számítás és megvalósíthatóság”, az American Mathematical Society tranzakciói, 75: 1–19.
Rubtsova, N. (2006). “Az S5- modális megvalósításáról bizonyítékok alapján”, Journal of Logic and Computation, 16 (5): 671–684.
Russell, B. (1912). A filozófia problémái, Oxford: Oxford University Press.
Sidon, T. (1997). „Bizonyíthatósági logika bizonyítékokkal végzett műveletekkel”, S. Adian és A. Nerode (szerk.), Computer Science Logical Foundations of Computer Science, 4. Nemzetközi Szimpózium, LFCS'97, Jaroszlavl, Oroszország, 1997. július 6–12., Előadások (előadás) Megjegyzések a számítástechnikában: 1234. kötet), Berlin: Springer, 342–353.
Troelstra, A. (1998). „Realizálhatóság”, S. Buss (szerk.), Proof Theory Handbook, Amszterdam: Elsevier, 407–474.
Troelstra, A. és H. Schwichtenberg (1996). Alapvető bizonyításelmélet, Amszterdam: Cambridge University Press.
Troelstra, A. és D. van Dalen (1988). Konstruktivizmus a matematikában (1., 2. kötet), Amszterdam: Észak-Holland.
van Dalen, D. (1986). „Intuicionista logika”, D. Gabbay és F. Guenther (szerk.), Filozófiai logika kézikönyve (3. kötet), Bordrecht: Reidel, 225–340.
van Ditmarsch, H., W. van der Hoek és B. Kooi (szerk.) (2007). Dynamic Epistemic Logic (Synthese Library, 337. kötet), Berlin: Springer..
von Wright, G. (1951). Esszé a modális logikában, Amszterdam: Észak-Holland.
Wang, R.-J. (2009). „Tudás, idő és logikus mindentudás”, H. Ono, M. Kanazawa és R. de Queiroz (szerk.), Logika, nyelv, információ és számítás, 16. nemzetközi műhely, WoLLIC 2009, Tokió, Japán, június 21. -24, 2009, Proceedings (Előadások jegyzetei a mesterséges intelligenciában: 5514. kötet), Berlin: Springer, 394–407.
Yavorskaya (Sidon), T. (2001). „A bizonyítás és a bizonyíthatóság logikája”, Annals of Pure and Applied Logic, 113 (1–3): 345–372.
---. (2008). „Kifejező bizonyító rendszerek kölcsönhatása”, Theory of Computing Systems, 43 (2): 272–293.
Yavorsky, R. (2001). „Bizonyíthatósági logika a bizonyítékok számszerzőivel”, Annals of Pure and Applied Logic, 113 (1–3): 373–387.

Tudományos eszközök

sep ember ikonra

Hogyan idézhetem ezt a bejegyzést.

sep ember ikonra

A bejegyzés PDF-verziójának előnézete a SEP Barátok társaságában.

inpho ikonra

Nézze meg ezt a belépési témát az indiai filozófiai ontológiai projektben (InPhO).

phil papírok ikonra

Továbbfejlesztett bibliográfia erre a bejegyzésre a PhilPapersnél, az adatbázisához kapcsolódó hivatkozásokkal.

Egyéb internetes források