Függetlenség és Nagy Bíborosok

Tartalomjegyzék:

Függetlenség és Nagy Bíborosok
Függetlenség és Nagy Bíborosok
Anonim

Belépés navigáció

  • Nevezés tartalma
  • Bibliográfia
  • Tudományos eszközök
  • Barátok PDF előnézete
  • Szerző és idéző információ
  • Vissza a tetejére

Függetlenség és nagy bíborosok

Első kiadása: 2010. április 20., kedd

A függetlenség eredményeként számtani és halmazelmélet eredményezi a matematikai rendszerek elterjedését. A lehetséges matematikai rendszerek térének egyik nagyon általános módja az értelmezhetőség viszonya. Ebben a kapcsolatban a lehetséges matematikai rendszerek tere az egyre erősebb rendszerek bonyolult hierarchiáját képezi. A nagy bíboros axiómák kanonikus módon biztosítják ezt a hierarchiát, és központi szerepet játszanak a fogalmakban megkülönböztetett területek rendszerek összehasonlításában.

Ez a cikk bevezetést nyújt a függetlenséghez, az értelmezhetőséghez, a nagy bíborosokhoz és azok összefüggéseibe. Az 1. fejezet a klasszikus függetlenség eredményeit számtani és halmazelméletben vizsgálja. A 2. szakasz bemutatja az értelmezhetőség hierarchiáját, és leírja annak néhány alapvető jellemzőjét. A 3. szakasz bemutatja a nagy bíboros axióma fogalmát, és néhány központi példát tárgyal. A 4. szakasz összefoglalja az előző témákat azzal, hogy megvitatja, hogy a nagy bíboros axiómák milyen kanonikus eszközként szolgálnak az értelmezhetőség hierarchiáján való feljutáshoz, és közvetítői szerepet játszanak a rendszerek fogalmi szempontból különálló területektől való összehasonlításában. Az 5. szakasz röviden néhány filozófiai megfontolást tárgyal.

  • 1. Függetlenség
  • 2. Az értelmezési hierarchia
  • 3. Nagy bíboros axiómák
  • 4. Nagy bíboros axiómák és az értelmezési hierarchia
  • 5. Néhány filozófiai megfontolás
  • Bibliográfia
  • Tudományos eszközök
  • Egyéb internetes források
  • Kapcsolódó bejegyzések

1. Függetlenség

Kezdjük az axiómarendszer fogalmával. Ennek az elgondolásnak a motiválása érdekében mérlegelje azt, hogy az igazolás hogyan folytatódik hagyományosan a matematikában. A matematika egy adott területére (vagy valójában bármely területre) érvelve az igazolás kérdését egymást követõen tolják tovább és tovább, míg végül elvekre kerülnek, amelyek nem engedik meg az alapvetõbb igazolást. A terminális szakaszban szereplő állításokat axiómákként választják meg, majd a témát az axiómák alapjából való származtathatóság szempontjából rendezik. Az aritmetika esetében ez a PA axióma rendszerhez vezetett (Peano aritmetika), és a halmazelmélet esetében a ZFC axióma rendszerhez vezetett (Zermelo-Frankel halmazelmélet a választás axiómájával).

Két természetes kérdés merül fel: (1) Ha az axiómák nem fogadják el az alapvetıbb igazolást, akkor hogyan lehet azokat igazolni? (2) Az axiómák bázisa elég gazdag-e ahhoz, hogy ezen az alapon minden mondat elrendeződhessen?

Az axiómák epistemológiai státusáról két hagyományos vélemény van. Az első nézetben az axiómák nem adnak további igazolást, mivel azok egyértelműek. Második szempontból az axiómák nem adnak további igazolást, mivel a tárgy szempontjából véglegesek. Az első kérdésünkkel kapcsolatos ezen nézetek mindegyike társított optimista nézethez vezet a második kérdésünkkel kapcsolatban - az első optimista nézet szerint az összes matematikai igazság (elsőrendű logikában) magától értetődő igazságokból származtatható, míg a második optimista szerint nézet szerint az összes matematikai igazság (elsőrendű logikában) a tárgy tárgyát képező állításokból származtatható (elsőrendű logika). Ha ezen optimista nézetek bármelyike helyesnek bizonyul, akkor a matematika igazolásának kérdése különösen egyszerű formába kerül:Vagy egy állítás axióma lenne (ebben az esetben magától értetődik vagy egyértelmű a tárgyról (a vizsgált nézetetől függően)), vagy pedig elsőrendű logikából származtatható bizonyos ilyen állításokból.

Sajnos ezeket az optimista nézeteket 1931-ben megkérdőjelezték Gödel hiányossági tételei. Itt van a második hiányos tétel egyik verziója:

1.1. Tétel (Gödel, 1931). Tegyük fel, hogy a PA következetes. Akkor a PA nem bizonyítja Con (PA) -ot.

Itt a Con (PA) számtani állítás, amely kifejezi az informális kijelentést, miszerint a PA konzisztencia. [1] Kissé erősebb feltevések alapján (például, hogy a PA -01 hangos [2]) megerősíthetjük a következtetést azzal, hogy hozzátesszük, hogy a PA nem bizonyítja a ¬Kon (PA) értéket; más szóval, ezen erősebb feltételezés alapján Con (PA) független a PA-tól. Tehát itt van egy számtani kijelentés (és valójában egy nagyon egyszerû) állítása, amelyet a standard axiómák alapján nem lehet megoldani. Sőt, a tétel teljesen általános - nemcsak a PA-ra vonatkozik, hanem a kellően erős T formális rendszerekre is.

Ez kihívást jelent a két, a matematikai igazság természetével kapcsolatos optimista nézet számára. Először is azt mutatja, hogy nem tudunk működni rögzített T axiómás rendszerrel. Mindig új axiómákat kell bevezetnünk. Ennél is fontosabb, felmerül a kérdés, hogy miként lehet igazolni ezeket az új axiómákat, mivel mivel az erősebb és erősebb axiómák továbbra is hozzáadódnak, az állítás, hogy vagy nyilvánvalóak, vagy a tárgy meghatározása egyre nehezebbé válik.

Gödel már 1931-ben rámutatott az új axiómák igazolásának természetes módjára. Rámutatott, hogy ha az ember elmozdul a természetes számokon és felkapaszkodik a hierarchián (a természetes számok halmazai, a természetes számok halmazai stb.), Akkor axiómákhoz jutunk (a másodrendű aritmetikai PA 2 axiómái), a harmadik rendű aritmetikai PA 3 stb. axiómái), amelyek rendezik az általa felfedezett döntés nélküli állításokat. A második szint, a PA 2 axiómarendszere rendezi az első szinten meg nem határozott állítást, nevezetesen a Con (PA) -ot; Valójában a PA 2 Con (PA) -ot bizonyítja, ami a kívánt eredmény. De most van egy második szintű probléma. A második hiányosságra vonatkozó tétel azt mutatja, hogy (a fentiekhez hasonló háttér-feltételezések mellett) PAA 2. ábra nem rendezi Con-t (PA 2). Szerencsére a harmadik szint, a PA 3 axiómás rendszere rendezi a második szinten meg nem határozott állítást, nevezetesen a Con-t (PA 2). Ez a minta folytatódik. Minden problémára van megoldás, és minden megoldásra van egy új probléma. Ilyen módon a típustípus hierarchiáján átjutva olyan rendszerekhez jut, amelyek egymás után rendezik az út mentén felmerülő konzisztencia-állításokat.

A fenti hierarchiát a halmazelmélet egységes beállításánál át lehet dolgozni. A halmazelméleti hierarchiát induktív módon határozzuk meg az emptysettel kezdve, az α + 1 utódfázisokban a poweret vételével és az λ határértéknél az unió megvételével:

V 0 = ∅
V α + 1 = P (V α)
V λ = ∪ α <λ V α

A V halmazok univerzuma az összes ilyen szakasz egyesülése: V = ∪ α∈On V α, ahol On az ordinálok osztálya. Az első végtelen szintű V ω áll az összes örökletesen véges halmazok [3], és ezen a szinten kielégíti ZFC-végtelen. Az ezen a szinten lévő halmazok természetes számokkal kódolhatók, és így megmutathatjuk, hogy a PA és a ZFC-Infinity kölcsönösen értelmezhető. [4] A második V V + 1 végtelen szint lényegében P (ℕ) (vagy azzal egyenértékűen ℝ), és ez a szint kielégíti (az elmélet kölcsönösen értelmezhető) PA 2-t. A harmadik végtelen szint V ω + 2lényegében P (P (ℕ)) (vagy azzal megegyezően, mint a valós számok függvénye) és ezt a szintet kielégíti (az elmélet értelmezhető kölcsönösen) PA 3- mal. Az első három végtelen szint tehát magában foglalja a számtani, az elemzést és a funkcionális elemzést, és ezzel a szokásos matematika legtöbbjét. Ilyen módon a halmazok és a hozzájuk tartozó halmazelméleti rendszerek hierarchiája magában foglalja a standard matematika tárgyait és rendszereit.

Ha kiderül, hogy a konzisztenciamondatok (és a Gödel által 1931-ben felfedezett egyéb kapcsolódó mondatok) voltak az egyetlen meg nem határozható kijelentés, akkor a fenti hierarchiában a rendszerek sorrendje minden felmerülő problémát fel fog fedezni.. És bár soha nem lenne egyetlen olyan rendszer, amely a matematikai igazság teljes axiomatizálását eredményezné, egy sorozat rendszerünk lenne, amely együttesen lefedi a matematikai igazságok összességét.

Sajnos a dolgok nem voltak annyira egyszerűek. A probléma az, hogy amikor az ember a halmazainak hierarchiájára lép fel, a rendelkezésre álló nagyobb kifejező erőforrások megcáfolhatatlanságokhoz vezetik a meghatározhatatlan mondatokat, és ez igaz már a második és a harmadik végtelen szintre is. Például a második végtelen szintnél megfogalmazható a PM állítás (hogy az összes projektív halmaz Lebesgue mérhető), a harmadik végtelen szintnél pedig a CH (Cantor kontinuumhipotézise). [5] Ezeket az állításokat intenzíven vizsgálták a set elmélet korai korszakában, ám kevés előrelépés történt. A magyarázatot végül Gödel és Cohen későbbi függetlenségi technikái adták.

Gödel (1938-ban) feltalálta a belső modellek módszerét az L minimális belső modell meghatározásával. Ezt a modellt ugyanúgy definiálják, mint a V meghatározást, azzal a különbséggel, hogy az utóbbi szakaszokban az előző szakasz teljes poweretjének elvétele helyett az előző szakasz definiálható poweretét veszi, ahol egy adott X halmazra az X definiálható poweret (X) az X összes részhalmaza, amely X-en keresztül definiálható X paraméterekkel:

L 0 = ∅
L α + 1 = Def (L α)
L λ = ∪ α <λ L α

Az L belső modell az összes ilyen szakasz egyesülése: L = ∪ α∈On L α. Gödel kimutatta, hogy L kielégíti (önkényesen nagy részei) a ZFC-t a CH-val együtt. Ebből következik, hogy a ZFC nem cáfolja a CH-t. Cohen kiegészítette ezt az eredményt azzal, hogy (1963-ban) kitalálta a kényszerítési módszert (vagy a külső modelleket). Mivel a teljes logikai algebra B definiálta a modell V B és megmutatta, hogy ¬CH tart V B. [6] Ennek következménye volt, hogy a ZFC nem tudta bizonyítani a CH-t. Így ezek az eredmények együttesen azt mutatták, hogy a CH független a ZFC-től. Hasonló eredmények vonatkoznak a PM-re és számos további kérdésre a készletelméletben.

Ezek a függetlenségi példák megnehezíthetetlenek abban az értelemben, hogy a típusok hierarchiájának egyszerű megismétlése nem vezet azok feloldásához. Új axiómák mélyebb keresésére vezettek.

Gödel ismét megtette az első lépéseket az új axiómák keresésében. 1946-ban új axiómákká javasolta a nagy bíboros axiómákat - a végtelenség axiómáit, amelyek azt állítják, hogy a típusok hierarchiája nagyon magas szintű -, és elérte az ilyen axiómák általánosított teljességének tételét, amely szerint a A halmazelméletet az ilyen axiómákkal meg lehet oldani (Gödel 1946, 151).

A bejegyzés hátralévő részének célja a függetlenség természetének (az értelmezhetőség hierarchiájával együtt), valamint a függetlenség és a nagy bíboros axiómák közötti kapcsolat leírása.

További olvasmány: A hiányos tételekről bővebben Smoryński (1977), Buss (1998a) és Lindström (2003) című cikkben olvashat. A meghatározott elmélet függetlenségi technikáiról bővebben lásd Jech (2003) és Kunen (1980).

2. Az értelmezési hierarchia

Célunk a matematikai elméletek (a rekurzív módon felszámolható axiómarendszerként értelmezett tér) vizsgálata. Az ilyen elméletek térbeli sorrendje, amelyeket figyelembe fogunk venni, az értelmezhetőség sorrendje. Az értelmezhetőség informális fogalma mindenütt jelen van a matematikában; Például Poincaré értelmezte a kétdimenziós hiperbolikus geometriát az egységkör euklideszi geometriájában; Dedekind értelmezte az elemzést a meghatározott elméletben; és Gödel értelmezte a számtani formai szintaxis elméletét.

Ennek az informális fogalomnak a pontos formális rendjét kell használnunk. Legyen T 1 és T 2 rekurzívan számolható axióma rendszerek. Azt mondjuk, hogy a T 1 értelmezhető T 2-ben (T 1 ≤ T 2), ha durván szólva van egy τ fordítás a T 1 nyelvről a T 2 nyelvre, oly módon, hogy a T 1, ha T 1 ⊢φ, akkor T 2 ⊢τ (φ). [7] T 1 <T 2 -et kell írni, ha T 1 ≤ T 2 és T 2≰ T 1 és írok T 1 ≡ T 2, ha mind a T- 1 ≤ T 2 és T 2 ≤ T 1. Az utóbbi esetben, a T 1 és T 2 azt mondják, hogy kölcsönösen értelmezhető. Az összes T-vel kölcsönösen értelmezhető elmélet ekvivalencia osztályát T értelmezési fokának nevezzük.

A leírás megkönnyítése érdekében három egyszerűsítő feltevést fogunk tenni a vizsgált elméletekkel kapcsolatban. Először azt feltételezzük, hogy minden elméletünk a meghatározott elmélet nyelvén van kialakítva. Ez a feltételezés nem veszíti el az általános jelleget, mivel minden elmélet kölcsönösen értelmezhető az ezen nyelv elméletével. Például, amint korábban megjegyeztük, a PA és a ZFC-Infinity kölcsönösen értelmezhető. Másodszor, azt feltételezzük, hogy minden elméletünk tartalmaz ZFC-Infinity-t. Harmadszor, azt feltételezzük, hogy minden elméletünk Σ01-alapú.

Az értelmezhetőségi hierarchia az összes elmélet (amely kielégíti a három egyszerűsítő feltételezést) ≤ összefüggésben rendezett összegyűjtése. Most a hierarchia felépítését tárgyaljuk.

Először is egy ≤ kapcsolat hasznos jellemzése található. Írjunk T 1Π01 T 2, hogy jelezzük, hogy a T 1 -ben igazolható minden -01 állítás a T 2-ben is bizonyítható. Az értelmezhetőség elméletének központi eredménye, hogy (egyszerűsítő feltételezéseink megadásával) T 1 ≤ T 2, ha T 1Π01 T 2. Ebből a jellemzésből és a második hiányossági tételből következik, hogy bármely T elméletnél a T + Con (T) elmélet szigorúan erősebb, mint a T, azaz T <T + Con (T). Ezen túlmenően az aritmetizált teljesség tételből következik, hogy a T + ¬Con (T) elmélet T-ben értelmezhető, tehát T ≡ T + ¬Con (T).

Az értelmezhetőség szempontjából három lehetséges módszer létezik, amelyekkel a φ állítás független lehet a T elmélettől.

  1. Egyetlen ugrás. Φ vagy ¬φ közül csak az egyik vezet az erő ugrásához, vagyis

    T + φ> T és T + ¬φ ≡ T

    (vagy hasonlóan φ és ¬φ cseréjével).

  2. Nincs ugrás. Sem φ, sem ¬φ nem vezet az erő ugrásához, vagyis

    T + φ ≡ T és T + ¬ φ T.

  3. Dupla ugrás. Mind φ, mind ¬φ az erő ugrásához vezet, azaz

    T + φ> T és T + ¬φ> T.

Kiderül, hogy ezen lehetőségek mindegyike megvalósult. Az elsőnek elegendő a (01 mondatot Con (T) venni. Másodszor könnyű belátni, hogy nincs olyan példa, amely Π01; egy ilyen mondat lehető legegyszerűbb összetettsége Δ02, és kiderül, hogy vannak ilyen példák; az ilyen típusú függetlenség példáit Orey-mondatoknak nevezzük. A harmadik típusú függetlenséghez Π01 eset létezik. (Ez a 14. Lemma következménye, Lindström (2003) 128–129. Oldalán.)

Ez mind metamatematikai példa, az a példa, amelyet csak a logikus készít. Természetes azt kérdezni, léteznek-e „természetes” példák, nagyjából az a példa, amely a matematika normál folyamatában fordul elő. A meghatározott elméleti esetben az első két esetre bőven vannak ilyen példák. Például a PM a függetlenség első fajtája, a CH a második függetlenség egyik példája. A függetlenség harmadik fajtájáról nincsenek ismert „természetes” példák. A aritmetikai esetben az ilyen példák ritkák. Vannak példák az első típusú függetlenségre (amelyek közül a leghíresebb klasszikus példa Párizs és Harrington miatt), a második és harmadik típusú függetlenségnek azonban nincs.

Vegye figyelembe, hogy a harmadik példa esetében a T fenti két elmélet összehasonlíthatatlan az értelmezhetőség sorrendjében. Az ilyen Π01-állítások párjának felépítéséhez az átlós lemma kölcsönös formáját használjuk két another01-állítás összeállítására, amelyek egymásra utalnak. Az ilyen technikák használata megmutathatja, hogy az értelmezési sorrend meglehetősen bonyolult. Például, bármely két elmélet T 1 és T 2 oly módon, hogy a T 1 <T 2 van egy harmadik T elmélet olyan, hogy T 1 <T <T 2. Így az értelmezhetőség fokának sorrendje nem lineárisan rendezett, sem megalapozott. (Lásd Feferman (1960).)

Figyelemre méltó módon kiderül, hogy amikor azokra az elméletekre korlátozódik, amelyek „a természetben felmerülnek”, az értelmezhetőség megrendelése meglehetősen egyszerű: nincsenek csökkenő láncok és nincsenek összehasonlíthatatlan elemek - az „elméletekben megjelenő értelmezhetőség megrendelés, amely„ a természetben felmerül”, egy wellordering. Különösen annak ellenére, hogy vannak természetes példák az első és a második típusú függetlenségre (pl. PM és CH, valami, amire visszatérünk alább), a harmadik típusú függetlenségről nem ismertek természetes példák.

Tehát a „természetben felmerülő” elméletekhez jól értelmezhető hierarchia van az értelmezési sorrend alatt. A megrendelés alapja az a fok, amelyet a minimális elméletünk, a ZFC-Infinity képvisel, és csak egy módon lehet továbblépni, nevezetesen az erősség szempontjából felfelé.

Már láttuk az értelmezhetőség fokának hierarchiáján való átjutás egyik módját, nevezetesen a konzisztencia-állítások hozzáadásával. Ennek a megközelítésnek két hátránya van. Először: ha egy olyan elmélettel indul, amely „a természetben felmerül”, és hozzáteszi a konzisztencia-megállapítást, akkor olyan fokon landol, amelynek nincs ismert képviselője, amely „a természetben felmerül”. Másodszor, a konzisztencia-megállapítás nem jut túl messzire a hierarchiába. Mindkét hátrányt az axiómák nagyon természetes osztálya - a nagy bíboros axióma - oldja meg.

További olvasmány: Az értelmezhetőség hierarchiájának struktúrájáról bővebben lásd Lindström (2003) 6–8. Fejezetét.

3. Nagy bíboros axiómák

Legyen Z 0 az ZFC-Infinity-Replacement elmélet. (Ez az elmélet logikailag egyenértékű a bázis elmélet ZFC-Infinity.) Fogjuk egymást erősítik Z 0 által megfontoltan hozzátéve axiómák, hogy azt állítják, bizonyos szinten az univerzum halmazok létezik.

A Z 0 standard modellje V ω. A végtelenség axióma (egy összetételben) egyszerűen azt állítja, hogy ez a halmaz létezik. Tehát, ha ehhez hozzátesszük az Axiom of Infinity, a kapott elmélet Z 1 (más néven Zermelo halmazelmélet a Choice) nem csak azt bizonyítja, az összhang a Z 0; ez bizonyítja, hogy létezik egy szabványos Z 0 modell. Most a Z 1 standard modellje V ω + ω. A csere axióma azt sugallja, hogy ez a készlet létezik. Tehát, ha hozzáadjuk a helyettesítés axiómáját, a kapott Z 2 elmélet (ZFC néven ismert) nem csak a Z 1 konzisztenciáját bizonyítja; bizonyítja, hogy létezik a Z 1 standard modellje.

A Z 2 standard modellje V κ formájú, ahol κ olyan szabályos bíboros, hogy minden α <κ, 2 α <κ esetén. Egy ilyen bíborosat (erősen) elérhetetlen bíborosnak hívják. A vizsgált hierarchia következő axiómája az az állítás, miszerint létezik ilyen bíboros. Az így kapott ZFC + elmélet „Van egy erősen megközelíthetetlen bíboros” azt bizonyítja, hogy létezik egy olyan univerzum szint, amely kielégíti a ZFC-t. Ilyen módon folytatva erősebb és erősebb axiómákat érünk el, amelyek állítják a halmazok univerzumának nagyobb és nagyobb szintjeit. Mielőtt folytatnánk az ilyen axiómák körvonalait, először vonjuk le a kapcsolatot az értelmezhetőség hierarchiájával.

Emlékezzünk a függetlenség három típusának besorolására. Megfigyeltük, hogy a függetlenség harmadik fajtájára nem ismertek természetes példák, de vannak természetes példák az első és a második típusú függetlenségre.

A függetlenség második fajtájának természetes példáit a belső és a külső modellek kettős módszere biztosítja. Például ezek a módszerek azt mutatják, hogy a ZFC + CH és a ZFC + ¬CH elméletek kölcsönösen értelmezhetők a ZFC-vel, vagyis mindhárom elmélet azonos mértékben fekszik. Más szavakkal, a CH egy Orey mondat a ZFC vonatkozásában. Mi a helyzet azzal a másik mondattal, amelyet bevezetünk: PM?

A belső modellek módszerével Gödel megmutatta, hogy a ¬PM tartja L-ben. Ebből következik, hogy a ZFC + ¬PM kölcsönösen értelmezhető a ZFC-vel. De mi van a miniszterelnökkel? Annak bizonyítása érdekében, hogy a ZFC + PM kölcsönösen értelmezhető a ZFC-vel, természetes megközelítés az lenne, ha követnénk a CH-ra alkalmazott megközelítést, és felépítenénk a ZFC külső modelljét, amely kielégíti a PM-t. Ismert azonban, hogy ezt nem lehet csak a ZFC-vel kezdve megtenni. Mert kiderül (Shelah (1984) eredménye), hogy a ZFC + PM magában foglalja a ZFC konzisztenciáját, és ez a második hiányos tételre utal, hogy a ZFC + PM nem értelmezhető a ZFC-ben. Bizonyos értelemben itt van a függetlenség függetlenségének esete. Pontosabban, még ha feltételezzük is, hogy a ZFC konzisztens, nem tudjuk igazolni (a CH esetével ellentétben), hogy a PM független a ZFC-től. A PM függetlenségének a ZFC-től való függetlenségének megteremtéséhez feltételezni kell egy erősebb elmélet konzisztenciáját, nevezetesen a ZFC + elméletét: „Van egy erősen megközelíthetetlen bíboros”. Mert kiderül, hogy a ZFC + PM nem a ZFC értelmezhetőségi fokában rejlik, hanem inkább a ZFC + értékében rejlik: „Van egy erősen elérhetetlen bíboros”. Összefoglalva: Míg a CH a második típusú függetlenség esete, addig a PM az első típusú függetlenség esete; hasonló a Con-hoz (ZFC), mivel olyan φ mondat, hogy φ vagy ¬φ közül csak az egyik vezet az erõsség ugrásához, csak most két különbség van; az ugrás sokkal erősebb fokon landol, és azt egy természetes elmélet képviseli. Mert kiderül, hogy a ZFC + PM nem a ZFC értelmezhetőségi fokában rejlik, hanem inkább a ZFC + értékében rejlik: „Van egy erősen elérhetetlen bíboros”. Összefoglalva: Míg a CH a második típusú függetlenség esete, addig a PM az első típusú függetlenség esete; hasonló a Con-hoz (ZFC), mivel olyan φ mondat, hogy φ vagy ¬φ közül csak az egyik vezet az erõsség ugrásához, csak most két különbség van; az ugrás sokkal erősebb fokon landol, és azt egy természetes elmélet képviseli. Mert kiderül, hogy a ZFC + PM nem a ZFC értelmezhetőségi fokában rejlik, hanem inkább a ZFC + értékében rejlik: „Van egy erősen elérhetetlen bíboros”. Összefoglalva: Míg a CH a második típusú függetlenség esete, addig a PM az első típusú függetlenség esete; hasonló a Con-hoz (ZFC), mivel olyan φ mondat, hogy φ vagy ¬φ közül csak az egyik vezet az erõsség ugrásához, csak most két különbség van; az ugrás sokkal erősebb fokon landol, és azt egy természetes elmélet képviseli.az ugrás sokkal erősebb fokon landol, és azt egy természetes elmélet képviseli.az ugrás sokkal erősebb fokon landol, és azt egy természetes elmélet képviseli.

Általánosságban a halmazelmélet (ismert) mondatai CH-hez vagy PM-hez hasonlóak. Egyesek olyanok, mint a CH, mivel a ZFC + φ és a ZFC + ¬φ egyaránt a ZFC fokában fekszik. Mások olyanok, mint a PM, mivel az egyik ZFC + φ és ZFC + ¬φ a ZFC fokában fekszik, míg a másik a ZFC kiterjesztésének a mértékében rejlik egy nagy kardinális axiómán keresztül.

Térjünk vissza a nagy bíboros axiómák áttekintéséhez. Az erősen megközelíthetetlen bíborosok után vannak Mahlo bíborosok, leírhatatlan bíborosok és leírhatatlan bíborosok. Mindezek a nagy bíboros axiómák egységes módon származtathatók a reflexiós elvek hagyományos változatosságának felhasználásával (lásd Tait 2005), de vannak korlátozások arra, hogy a reflexió alapelveinek ez a változatossága mennyire képes eltartani. Az ilyen alapelvek nagyon általános jellemzése alapján ismert, hogy nem adják meg az Erdős bíborosot κ (ω). Lásd Koellner (2009).

Az eddig figyelembe vett nagy bíborosokat (beleértve a κ (ω) -ot) kicsi nagy bíborosoknak is nevezik. Egy nagy bíboros kicsi, ha a hozzá kapcsolódó nagy bíboros axióma képes megtartani Gödel L összehúzódó univerzumában, vagyis ha „V ⊨ κ φ kardinális” konzisztens, akkor „L ⊨ κ φ kardinális” következetes. Ellenkező esetben a nagy bíboros nagy.

Van egy egyszerű sablon a (nagy) nagy bíboros axiómák megfogalmazására, az elemi beágyazások szempontjából. Általában egy ilyen axióma azt állítja, hogy létezik egy tranzitív M osztály és egy nem triviális elemi beágyazódás

j: V → M.

Ha azt szeretnénk mondani, hogy a beágyazás nem triviális, azt jelenti, hogy nem az identitás, és ebben az esetben a legkevesebb rendnek kell lennie. Ezt az ordinálisot j kritikus pontjának nevezik, és crit (j) -nek jelöljük. A kritikus pont (általában) a beágyazással kapcsolatos nagy bíboros. A κ bíborosról azt mondják, hogy mérhető, ha ez egy ilyen beágyazás kritikus pontja. [8]

Könnyű belátni, hogy bármilyen ilyen beágyazáshoz V κ + 1 ⊆ M, ahol κ = crit (j). Ez a sok megállapodás lehetővé teszi annak bemutatását, hogy κ erősen elérhetetlen, Mahlo, leírhatatlan, alkalmazhatatlan stb. Ennek illusztrálására tegyük fel, hogy megmutattuk, hogy κ erősen elérhetetlen, és mutassuk meg, hogy κ sokkal erősebb nagy bíboros tulajdonságokkal rendelkezik. Mivel κ erősen megközelíthetetlen V-ben és mivel (V κ + 1) M = V κ + 1, M úgy gondolja, hogy a κ erősen elérhetetlen. Pontosabban, M úgy gondolja, hogy j (κ) alatt van egy erősen megközelíthetetlen bíboros (nevezetesen κ). De akkor a j elemi eleme alapján V-nek ugyanazt kell gondolni a j (κ) képét illetően, nevezetesen κ-nek, vagyis V-nek azt kell gondolnia, hogy κ alatt erősen megközelíthetetlen van. Tehát κ nem lehet a legkevésbé hozzáférhetetlen bíboros. Ilyen módon folytatva megmutathatjuk, hogy a κ alatt sok erősen akadálymentesség érhető el, és valójában, hogy κ Mahlo, leírhatatlan, leírhatatlan stb. Tehát a mérhető bíborosok aláveszik a kicsi nagy bíborosokat.

Valójában Scott megmutatta, hogy (a kicsi nagy bíborosokkal ellentétben) a mérhető bíborosok nem létezhetnek Gödel konstruktív univerzumában. Legyen pontos ez. Legyen V = L az a kijelentés, amely azt állítja, hogy minden halmaz szerkeszthető. Ezután minden kicsi nagy kardinális axiómához (pontosabban a fent felsoroltakhoz), ha a ZFC + φ elmélet konzisztens, akkor ez a ZFC + φ + V = L elmélet. Ezzel szemben a ZFC + elmélet „Van egy mérhető bíboros” bizonyítja ¬ V = L. Ez kissé ellentétesnek tűnhet, mivel L tartalmazza az összes szertartást, és tehát ha κ mérhető bíboros, akkor κ az ordinális L-ben. A lényeg az, hogy L nem tudja „felismerni”, hogy κ mérhető bíboros, mivel túl „vékony” ahhoz, hogy az ultraszűrőt tartalmazzon, amely szemlélteti κ mérhetőségét.

A nagy bíboros axióma megerősítésének egyik módja a fenti sablon alapján az M és V közötti nagyobb megegyezés megkövetelése. Például, ha valaki megköveteli, hogy V κ + 2 ⊆ M, akkor az M felismerje azt a tényt, hogy κ mérhetõ (valami P (κ) részhalmazán tanúi lehet). Tehát pontosan ugyanazzal az érveléssel, amelyet fent használtunk, κ alatt kell lennie egy mérhető bíborosnak.

Ez az egyre erősebb nagy bíboros axiómák progressziójához vezet. Hasznos lesz megvitatni ennek a hierarchianak a legfontosabb lépéseit.

Ha κ bíboros és η> κ ordinális, akkor κ η- erős, ha van egy tranzitív M osztály és egy nem-triviális elemet beágyazó j: V → M oly módon, hogy krit (j) = κ, j (κ) > η és V η ⊆ M. A κ bíboros erős, ha η-erős minden η-nél κ. Azt is megkövetelhetjük, hogy a beágyazás bizonyos osztályokat megőrizze: Ha A egy osztály, κ egy bíboros, és η> κ egy ordinális, akkor κ η-A - erős, ha létezik aj: V → M, amely tanúja annak, hogy κ η-erős és azzal a további jellemzővel rendelkezik, hogy j (A ∩ V κ) ∩ V η = A ∩ V η. Az alábbi nagy bíboros fogalom központi szerepet játszik az új axiómák keresésében.

3.1. Meghatározás A κ bíboros Woodin bíboros, ha κ erősen elérhetetlen, és minden A ⊆ V κ esetén olyan κ A <κ bíboros van, hogy

κ A η- A-erős,

mindegyik η-re úgy, hogy κ A <η <κ. [9]

Erõsebb nagy kardinális axiómákat kaphatunk, ha kapcsolatot létesítünk a j beágyazódás és az M és V közötti hasonlóság nagysága között. Például, a κ bíboros akkor felel meg, ha van egy tranzitív M osztály és egy nem-triviális elemet beágyazó j: V → M oly módon, hogy krit (j) = κ és V j (κ) ⊆ M. Ha κ szuperstrong, akkor κ Woodin bíboros, és κ alatt tetszőlegesen nagy Woodin bíborosok vannak.

Erõs nagy bíboros axiómákat is elérhetünk azáltal, hogy zárási feltételeket helyezünk el az M célmodellre. Például, ha γ ≥ κ bíboros b bíboros, akkor γ-szuperkompakt, ha létezik egy tranzitív M osztály és egy nem-triviális elemet beágyazó j: V → M oly módon, hogy krit (j) = κ és γ M ⊆ M, vagyis M az γ-szekvenciák alatt zárva van. (Magától értetődik, hogy ha M zárva van-e a γ-szekvenciák alatt, akkor H (γ +) ⊆ M; tehát ez a megközelítés helyettesíti az előző megközelítést.) κ bíboros szuperkompakt, ha γ-szuperkompakt az összes γ ≥ κ esetében. Most, csakúgy, mint az előző megközelítésben, megerősíthetjük ezeket az axiómákat úgy, hogy kapcsolatot létesítünk a j beágyazódás és a célmodell zárási feltételei között. A κ bíboros hatalmas, ha van egy tranzitív M osztály és egy nem triviális elemet beágyazó j: V → M oly módon, hogy j   n (κ) M ⊆ M, ahol κ = crit (j) és j   i +1 (κ) jelentése j (j   i (κ)).

Folytathatjuk ebben az irányban, és nagyobb megállapodásra van szükség az M és V között. A végső axióma ezen irányba természetesen megköveteli, hogy M = V. Ezt az axiómát Reinhardt javasolta, majd röviddel ezután Kunen következetlennek bizonyította (a ZFC-ben). Valójában Kunen megmutatta, hogy feltételezve a ZFC-t, létezhet egy tranzitív M osztály és egy nem-triviális elemi beágyazódás j: V → M oly módon, hogy j '' λ ∈ M, ahol λ = sup n <ω   j   n (κ). és κ = crit (j). Különösen nem létezhet olyan M és j, hogy V λ + 1 ⊆ M. Ez korlátozta a célmodell bezárásának mértékét (a beágyazással kapcsolatban). [10]

Ennek ellenére nagyon sok hely van a fenti felső határ alatt. Például egy nagyon erős axióma az a kijelentés, hogy nem-triviális elemi beágyazódás létezik: V λ + 1 → V λ + 1. A jelen irodalom legerősebb nagy kardinális axiómája az axióma, amely azt állítja, hogy létezik egy nem triviális elemi j beágyazódás: L (V λ + 1) → L (V λ + 1) oly módon, hogy krit (j) <λ. A legutóbbi munkában a Woodin ennél sokkal erősebb axiómákat fedezett fel.

További olvasmány: A nagy bíboros axiómákról bővebben Kanamori (2003) című cikkben olvashat.

4. Nagy bíboros axiómák és az értelmezési hierarchia

A fentebb tárgyalt nagy bíboros axiómák az erő szempontjából természetesen jól meg vannak rendezve. [11] Ez természetes módja annak, hogy felmássuk az értelmezhetőség hierarchiáját. Az elején a ZFC-Infinity elmélettel kezdjük, majd felmegyünk a ZFC-re és felfelé a ZFC + -on keresztül a különféle nagy bíboros axiómákhoz. Ne feledje, hogy két nagy Ψ és card kardinális axióma esetén, ha Ψ erősebb, mint Φ, akkor Ψ azt jelenti, hogy létezik a standard modellje, tehát a ZFC + Φ természetes értelmezése van a ZFC + Ψ-ban.

Már megjegyeztük, hogy a ZFC + ¬PM kölcsönösen értelmezhető a ZFC + LC-vel, ahol az LC a nagy bíboros axióma: „Van egy erősen elérhetetlen bíboros”, és ezt a belső és a külső modellelmélet kettős technikáival mutatjuk be. Figyelemre méltó empirikus tény, hogy a meghatározott elmélet nyelvén alkalmazott „természetes” állításokhoz a általában meg lehet találni egy nagy kardinális axiómát Φ, így a ZFC + φ és a ZFC + Φ kölcsönösen értelmezhetők. Ezt ismét a belső és a külső modellelmélet kettős technikáival állapítják meg, csak most a nagy bíborosok lépnek be a keverékbe. Annak megállapításához, hogy a ZFC + Φ értelmezi a ZFC + φ-t, az általában a ZFC + Φ modelljével kezdődik, és arra kényszeríti a ZFC + φ modell felépítését. Sok esetben a kényszerépítés magában foglalja a Φ-vel bíró nagy bíboros „összeomlását”, és az összeomlás oly módon történő elrendezését, hogy φ a „törmelékben” tartson. A másik irányban az egyik általában a ZFC + φ modelljével kezdődik, majd felépít egy belső modellt (egy olyan modellre emlékeztet, de képes nagy kardinális axiómák befogadására), amely tartalmazza a nagy bíborosot, amely állítólag exist létezik. A belső modellelméletnek nevezett set-elméletnek az ilyen „L-szerű” modellek felépítésére szenteli az erősebb és erősebb nagy bíboros axiómákat. A belső modellelméletnek nevezett set-elméletnek az ilyen „L-szerű” modellek felépítésére szenteli az erősebb és erősebb nagy bíboros axiómákat. A belső modellelméletnek nevezett set-elméletnek az ilyen „L-szerű” modellek felépítésére szenteli az erősebb és erősebb nagy bíboros axiómákat.

Ily módon a ZFC + LC forma elméletei, ahol az LC nagy kardinális axióma, mérföldkőként szolgálnak az elméletek erősségének méréséhez. Közvetítő szerepet játszanak az elméleteknek a fogalmi szempontból különálló területektől való összehasonlításában is: Tekintettel a ZFC + φ és a ZFC + ψ -ra, olyan nagy kardinális axiómákat találunk Φ és Ψ, amelyek (a belső és a külső modellek felhasználásával) a ZFC + φ és ZFC + Φ kölcsönösen értelmezhető, a ZFC + ψ és a ZFC + Ψ kölcsönösen értelmezhető. Ezután összehasonlítják a ZFC + φ és a ZFC + ψ-t (az értelmezhetőség szempontjából) a ZFC + Φ és a ZFC + Ψ közötti természetes értelmezési kapcsolat közvetítésével. Annyira nagy bíboros axiómák (a belső és a külső modellek kettős módszerével összefüggésben) a figyelemre méltó empirikus tény középpontjában állnak, hogy a teljesen különálló területek természetes elméletei összehasonlíthatók az értelmezhetőség szempontjából.

5. Néhány filozófiai megfontolás

A függetlenségi eredmények fényében felmerülő fő kérdés az, hogy meg lehet-e igazolni az új axiómákat, amelyek rendezik a standard axiómák által meg nem határozott állításokat. Két nézet létezik. Az első nézetben a válasz negatívnak tekinthető, és magában foglalja a pluralizmus radikális formáját, amelyben sok a standard axiómák ugyanolyan legitim kiterjesztéseivel. A második nézetben a választ (legalábbis részben) igenlőnek tekintik, és az eredmények egyszerűen csak azt jelzik, hogy a ZFC túl gyenge a matematikai igazságok begyűjtéséhez. Ez a téma nagyon érdekelt és nem tartozik a jelen cikk hatálya alá.

De vannak más filozófiai kérdések is, amelyek közvetlenül kapcsolódnak a cikk témájához. Először: mi a jelentősége annak az empirikus ténynek, hogy a nagy bíboros axiómák jól értelmezhetőnek tűnnek? Másodszor, mi a jelentősége annak az empirikus ténynek, hogy a nagy bíboros axiómák központi szerepet játszanak a fogalmi szempontból különálló területek sok elméletének összehasonlításában? Nézzük meg egymás után ezt a két kérdést.

Meg lehet próbálni azzal érvelni, hogy az a tény, hogy a nagy bíboros axiómákat jól értelmezhetõ módon rendezik, kedvük szempontja. Ez azonban gyenge érv lenne. Mert, amint már fentebb megjegyeztük, az összes „természetes” elmélet jól értelmezhetőnek tűnik, és ez magában foglalja az egymással összeegyeztethetetlen elméleteket is. Például egyértelmű a „természetes” elméletek kiválasztása a jól rendezett sorrendben szereplő, magasabb és magasabb szintű elméletek közül, amelyek összeegyeztethetetlenek egymással. Ebből következik, hogy az értelmezhetőség alatt megrendelhető tulajdonság, bár figyelemre méltó, nem jelenthet pontot az igazság mellett.

A nagy bíboros axiómáknak azonban vannak további tulajdonságai, amelyek különböztetik meg őket a természeti elméletek osztályából, a fokok rendezett sorrendjében. Először is a legtermészetesebb módot nyújtják az értelmezhetőség hierarchiájának felmászására - a tiszta matematikai erő legegyszerűbb és legtermészetesebb megnyilvánulása. Ennél is fontosabb a fent említett második elem, nevezetesen, hogy a nagy bíboros axiómák közvetítőként járnak elméletek összehasonlításában a fogalmi szempontból különálló területekről. Emlékezzünk arra, hogy ez hogyan működik: Tekintettel a ZFC + φ és ZFC + ψ -re, olyan nagy kardinális axiómákat találunk Φ és Ψ, amelyek (a belső és a külső modellek módszerét használva) a ZFC + Z és a ZFC + Φ kölcsönösen értelmezhetők, a ZFC + ψ és ZFC + Ψ kölcsönösen értelmezhetők. Ezután összehasonlítják a ZFC + φ és a ZFC + ψ-t (az értelmezhetőség szempontjából) a ZFC + Φ és a ZFC + Ψ közötti természetes értelmezési kapcsolat közvetítésével.

Kiderült, hogy sok esetben ez az egyetlen ismert módszer a ZFC + φ és a ZFC + ψ összehasonlítására, vagyis sok esetben nincs közvetlen értelmezés egyik irányba sem, inkább át kell menni a nagy bíboros axiómákon. Használható ez a kiegészítő szolgáltatás a nagy bíboros axiómák esetére? A válasz nem egyértelmű. Az azonban nyilvánvaló, hogy a nagy bíboros axiómák abszolút központi helyzete a meghatározott elméletben.

Bibliográfia

  • Ackermann, Wilhelm, 1937, „Die Widerspruchsfreiheit der allgemeinen Mengenlehre”, Mathematische Annalen, 114: 305–315.
  • Barwise, Jon K., 1977, Matematikai logika kézikönyve (Tanulmányok a logika és a matematika alapjai: 90), Amszterdam: Észak-Holland.
  • Buss, Samuel R., 1998a, „Az aritmetika elsőrendű bizonyítéka”, Buss, 1998b, 79–147.
  • –––, 1998b, Bizonyításelmélet kézikönyve (Tanulmányok a logika és a matematika alapjai: 137), Amszterdam: Észak-Holland.
  • Feferman, Salamon, 1960, „A metamatmatika aritmetizálása általános környezetben”, Fundamenta Mathematicae, 49: 35–92.
  • Foreman, Matthew és Kanamori, Akihiro, 2009, Set Theory kézikönyve, Berlin: Springer-Verlag.
  • Gödel, Kurt, 1946, „Megjegyzések a Princeton kétévenkénti konferenciája elõtt a matematika problémáiról”, Gödel 1990, 150–153.
  • –––, 1986, I. gyűjtött mű: Publikációk 1929–1936, S. Feferman, J. Dawson, S. Kleene, G. Moore, R. Solovay és J. van Heijenoort (szerk.), Oxford: Oxford University Press.
  • –––, 1990, II. Gyűjtött mű: Publikációk 1938–1974, S. Feferman, J. Dawson, S. Kleene, G. Moore, R. Solovay és J. van Heijenoort (szerk.), Oxford: Oxford University Press.
  • Jech, Thomas J., 2003, Set Theory (Harmadik millenniumi kiadás, átdolgozott és kibővített), Berlin: Springer-Verlag.
  • Kanamori, Akihiro, 2003, A Magasabb Végtelen: Nagy bíborosok az elméletben a kezdetektől (Springer-monográfiák a matematikában), 2. kiadás, Berlin: Springer.
  • Koellner, Peter, 2009, „A reflexió alapelveiről”, Annals of Pure and Applied Logic, 157: 206–219.
  • Kunen, Kenneth, 1980, Set elmélet: Bevezetés a függetlenségi bizonyítékokba (Logikai tanulmányok és a matematika alapjai: 102), Amszterdam: Észak-Holland.
  • Lindström, Per, 2003, A hiányosság szemszögéből (Előadások a logikában: 10), 2. kiadás, CITY: A Szimbolikus Logika Egyesülete.
  • Shelah, Saharon, 1984: „El tudod vinni Solovay elérhetetlenségét?”, Israel Journal of Mathematics, 48 (1): 1–47.
  • Smoryński, Craig A., 1977, „A hiányos tételek”, Barwise, 1977, 821–865.
  • Tait, William W., 2005a, „Kardinálok építése alulról”, Tait, 2005b, 133-154.
  • –––, 2005b, A tiszta okok előfordulása: esszé a matematika és annak története filozófiájában, Oxford: Oxford University Press.

Tudományos eszközök

sep ember ikonra
sep ember ikonra
Hogyan idézhetem ezt a bejegyzést.
sep ember ikonra
sep ember ikonra
A bejegyzés PDF-verziójának előnézete a SEP Barátok társaságában.
inpho ikonra
inpho ikonra
Nézze meg ezt a belépési témát az Internet Filozófia Ontológiai Projektben (InPhO).
phil papírok ikonra
phil papírok ikonra
Továbbfejlesztett bibliográfia erre a bejegyzésre a PhilPapersnél, az adatbázisához kapcsolódó hivatkozásokkal.

Egyéb internetes források

[Javaslatokkal lépjen kapcsolatba a szerzővel.]

Ajánlott: