A Szentpétervári Paradoxon

Tartalomjegyzék:

A Szentpétervári Paradoxon
A Szentpétervári Paradoxon

Videó: A Szentpétervári Paradoxon

Videó: A Szentpétervári Paradoxon
Videó: 10 Megoldhatatlan paradoxon, amire sosem kapunk választ 2024, Március
Anonim

Belépés navigáció

  • Nevezés tartalma
  • Bibliográfia
  • Tudományos eszközök
  • Barátok PDF előnézete
  • Szerző és idéző információ
  • Vissza a tetejére

A szentpétervári paradoxon

Elsőként publikálták 2019. július 30-án, kedden

A szentpétervári paradoxont Nicolaus Bernoulli vezette be 1713-ban. Ez továbbra is megbízható forrás az új rejtvények és bepillantások számára a döntéselméletben.

A szentpétervári paradoxon standard változata a szentpétervári játékból származik, amelyet az alábbiak szerint játszanak: A tisztességes érmét addig tolják, amíg az először fel nem fejeződik. Ezen a ponton a játékos nyeri ($ 2 ^ n,) ahol n az érme hányszor történő megfordítása. Mennyit kell fizetnie azért, hogy ezt a játékot játssza? A döntéselméleti szakemberek azt javasolják, hogy alkalmazzuk a várt érték maximalizálásának elvét. Ezen elv szerint a bizonytalan kilátás értéke az a teljes összeg, amelyet úgy kapunk, hogy minden lehetséges eredmény értékét megszorozzuk annak valószínűségével, majd összeadjuk az összes kifejezést (lásd a racionális választás normatív elméletei: várható hasznosság című cikket). A szentpétervári játékban az eredmények monetáris értékeit és valószínűségét könnyű meghatározni. Ha az érme az első flippel leereszkedik, akkor 2 dollárt nyer,Ha a második flip-en fekszik, akkor 4 dollárt nyer, és ha ez történik a harmadik flipnél, akkor 8 dollárt nyer, és így tovább. Az eredmények valószínűsége (frac {1} {2}), (frac {1} {4}), (frac {1} {8}),…. Ezért a szentpétervári játék várható pénzértéke:

) kezdődik {igazítás} frac {1} {2} cdot 2 + / frac {1} {4} cdot 4 + / frac {1} {8} cdot 8 + / cdots & = 1 + 1 +1+ / cdots \& = / sum_ {n = 1} ^ { infty} balra (frac {1} {2} jobbra) ^ n / cdot 2 ^ n \& = / infty. / End {align})

(Egyesek azt állítják, hogy az összeg a végtelenhez közelít, nem pedig annak, hogy végtelen. Ezt a megkülönböztetést a 2. részben tárgyaljuk.)

A „paradoxon” abban áll, hogy a racionális választás legjobb elméletének úgy tűnik, hogy ésszerű lenne bármilyen véges díjat fizetni a szentpétervári meccs egyetlen játékáért, bár szinte biztos, hogy a játékos nyerj egy nagyon szerény összeget. A (frac {1} {2}) valószínűsége, hogy a játékos legfeljebb 2 dollárt nyer, és (frac {3} {4}), hogy legfeljebb 4 dollárt nyer.

Szigorúan logikus értelemben a szentpétervári paradoxon nem paradoxon, mivel formális ellentmondás nem merül fel. Abszurdnak tűnik azonban azt állítani, hogy egy racionális ügynöknek milliókat, vagy akár milliárdokat kell fizetnie a játékért. Tehát úgy tűnik, hogy a várt érték maximalizálása elvére legalább példa van. Ha a racionalitás arra kényszerít bennünket, hogy minden eszközt felszámoljunk egy szentpétervári játékhoz való egyetlen lehetőségért, akkor ésszerűtlennek tűnik.

  • 1. A szentpétervári paradoxon története
  • 2. A modern szentpétervári paradoxon
  • 3. irreális feltételezések?
  • 4. Korlátozott használati funkció?
  • 5. Figyelmen kívül hagyja a kis valószínűségeket?
  • 6. Relatív várható hasznossági elmélet
  • 7. A Pasadena játék
  • Bibliográfia
  • Tudományos eszközök
  • Egyéb internetes források
  • Kapcsolódó bejegyzések

1. A szentpétervári paradoxon története

A szentpétervári paradoxont a tizennyolcadik század egyik vezető tudományos folyóirata, a Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (a pétervári császári tudományos akadémia tanulmányai) elnevezése kapta, amelyben Daniel Bernoulli (1700–1782) „ Minta Theoriae Novae de Mensura Sortis”[„ A kockázatmérés új elméletének ismertetése”] 1738-ban. Daniel Bernoulli a testvérről megtudta testvérétől, Nicolaus II-től (1695–1726), aki korai, de szükségtelenül összetett változatot javasolt. a paradoxonról Pierre Rémond de Montmortnak címzett, 1713. szeptember 9-i levélben (erről és a kapcsolódó levelekről lásd J. Bernoulli, 1975). Nicolaus kérte de Montmortot, hogy képzeljen el egy példát, amelyben egy közönséges kockát gördítenek mindaddig, amíg egy 6 meg nem jelenik:

A [W] kalap B elvárása, ha A megígéri B-nek, hogy ad neki némi érmét ebben az 1., 2., 4., 8., 16. stb. Lépésben vagy 1, 3, 9, 27 stb., Vagy 1, 4, 9, 16, 25 stb. Vagy 1, 8, 27, 64, az 1, 2, 3, 4, 5 stb. Helyett. Noha ezek a problémák nagyrészt nem nehézek, talál valami leginkább kíváncsi. (N. Bernoulli Montmorthoz, 1713. szeptember 9.)

Úgy tűnik, hogy Montmort nem kapott azonnal Nicolaus pontját. Montmort válaszolt ezekre a problémákra

nincs nehézség, az egyetlen gond az, hogy megtalálják a sorozatok összegét, amelyekben a számlálók négyzetek, kockák stb. előrehaladásában vannak, az nevezők geometriai progresszióban vannak. (Montmort - N. Bernoulli, 1713. november 15.)

Soha nem végzett semmilyen számítást. Ha lett volna, felfedezte volna, hogy az első sorozat (1, 2, 4, 8, 16 stb.) Várható értéke:

) sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {5 ^ {n-1}} {6 ^ n} cdot 2 ^ {n-1}.)

Ez a sorozat ezt tartja

) lim_ {n / to / infty} balra | / frac {a_ {n + 1}} {a_n} jobbra | / gt 1,)

tehát az arányteszt alkalmazásával könnyű ellenőrizni, hogy a sorozat eltérő-e. (Ezt a tesztet d'Alembert fedezte fel 1768-ban, tehát igazságtalan lehet Montmortot kritizálni, mert nem látta ezt.) Ugyanakkor maga Nicolaus matematikai érvelése is kissé vázlatos volt, és nem lenne hatással a mai matematikusokra. A jó hír az, hogy a következtetése helyes volt:

ebből következik, hogy B a végtelen összeget és még a végtelennél is többet ad (ha ez így szólhat), hogy előnyt élvezhessen azzal, hogy ad neki némi érmét ebben az 1., 2., 4. szakaszban., 8, 16 stb. (N. Bernoulli Montmorthoz, 1714. február 20.)

A vitának következő fontos hozzájárulását Cramér 1728-ban nyújtott be. Nicolaus eredeti problémájáról olvasott egy Montmort által kiadott könyvben, és egy egyszerűbb és elegánsabb megfogalmazást javasolt Nicolausnak címzett levélben:

Annak érdekében, hogy az esetet egyszerűbbé tegyem, feltételezem, hogy ha egy darab pénzt levegőbe dob, B vállalja, hogy ad neki érmét, ha a Fej oldal az első dobáshoz esik, 2, ha csak a második, A 4. ábra, ha ez a 3. dobás, 8., ha a 4. dobás, stb. A paradoxon abban áll, hogy a számítás az A ekvivalensnek ad egy végtelen összeget, amelyet A-nak B-nek kell adnia, ami abszurdnak tűnik. (Cramér - N. Bernoulli, 1728. május 21.)

Ugyanebben a levélben Cramér olyan megoldást javasolt, amely forradalmasította a felmerülő döntéselméleti területet. Cramér rámutatott, hogy a racionális ügynök választását nem a várható monetáris értéknek kell irányítania, hanem az a „felhasználás”, amelyet a „józan érzésű emberek” pénzt kereshetnek. Cramér szerint a húszmillió nem több, mint tízmillió, mert tízmillió elegendő minden olyan vágy kielégítéséhez, amelyet az ügynök ésszerűen megtehet:

a matematikusok a pénzt a mennyiségük arányában értékelik, a józan ész férfiak pedig a felhasználás arányában. Amit a matematikai elvárások végtelenné teszik, az a fantasztikus összeg, amelyet kapok, ha a fejek nagyon későn esnek, a 100. vagy az 1000. dobás. Ez az összeg, ha okos embernek érzem magam, nem inkább a számomra szól, nem okoz több örömet nekem, inkább nem vonzza be a játék elfogadását, mintha csak 10 vagy 20 millió érme lenne. (1728. május 21.)

Cramér ebben a részben tett állítása általánosítható. Tegyük fel, hogy az eredmény felső határa (2 ^ m.) Ha igen, akkor ezt az eredményt akkor kapják meg, ha az érme fejei a m fordulópontra esnek. Ez azt jelenti, hogy az összes olyan végtelenül sok kimenetel várható értéke, amelyben az érmét több mint m-szer megfordítják, véges: (2 ^ m) -szor nagyobb a valószínűsége, hogy ez megtörténjen, tehát nem haladhatja meg a (2) -ot. ^ m). Ehhez hozzá kell adnunk az első m lehetséges eredmények összesített értékét, amely nyilvánvalóan véges. Mivel a két véges szám összege véges, a Cramér szentpétervári játékának várt értéke véges.

Cramér tisztában volt azzal, hogy ellentmondásos lenne azt állítani, hogy létezik egy felső határ, amelyen túl a további gazdagság nem számít. Hangsúlyozta azonban, hogy megoldása akkor is működik, ha a pénz értéke szigorúan növekszik, de a relatív növekedés egyre kisebb lesz (1728. május 21.):

Ha azt akarjuk feltételezni, hogy az áruk erkölcsi értéke a matematikai mennyiségek négyzetgyöke volt, akkor erkölcsi elvárásom

) frac {1} {2} cdot / sqrt {1} + / frac {1} {4} cdot / sqrt {2} + / frac {1} {8} cdot / sqrt {4} + / frac {1} {16} cdot / sqrt {8} ldots)

Ez az első egyértelmű kijelentés arról, hogy a kortárs döntéshozók és közgazdászok a csökkenő határhaszonnak nevezik: A több pénz további haszna soha nem nulla, de minél gazdagabb vagy, annál kevesebbet kap a vagyonának további növelésével. Cramér helyesen kiszámította a szentpétervári játék várható hasznosságát („erkölcsi értékét”), amely körülbelül 2,9 egység lenne egy olyan ügynök számára, amelynek a pénz hasznosságát a gyökérfüggvény adja.

Daniel Bernoulli egy nagyon hasonló gondolatot javasolt a híres, 1738-as cikkben, amelyet e szakasz elején említettek. Daniel azt állította, hogy az ügynök vagyonának hasznossága megegyezik a monetáris összeg logaritmusával, ami azt jelenti, hogy az valószínűtlen, de nagy pénzbeli nyeremények kevésbé járulnak hozzá a játék várható hasznosságához, mint a valószínűbb, de kisebb pénzösszegek. Mivel a cikket közzétették, Nicolaus Daniel testvére megemlítette neki, hogy Cramér 1728-ban nagyon hasonló ötletet javasolt (a fent idézett levélben). A szöveg végleges változatában Daniel nyíltan elismerte ezt:

Valójában úgy találtam, hogy a [Cramér] elmélete olyan hasonló, mint az enyém, és csodának tűnik, hogy függetlenül ilyen szoros megállapodásra jutottunk ilyen jellegű témában. (Daniel Bernoulli 1738 [1954: 33])

2. A modern szentpétervári paradoxon

Cramér észrevétele az ügynök csökkenő pénzhatékonyságáról megoldja a szentpétervári paradoxon eredeti változatát. A modern döntéshozók azonban egyetértenek abban, hogy ez a megoldás túl szűk. A paradoxont úgy lehet helyreállítani, hogy az eredmények értékét addig növelik, amíg az ügynöknek teljes mértékben kompenzálják a pénz csökkenő marginális hasznosságát (lásd Menger 1934 [1979]). A szentpétervári paradoxonnak a modern irodalomban tárgyalt változata így a következőképpen fogalmazható meg:

Egy tisztességes érméket addig csapnak le, amíg a fejeik fel nem merülnek. Ezen a ponton a játékos nyer egy (2 ^ n) hasznos egységnyi nyereményt a játékos személyes hasznossági skáláján, ahol n az érme hányszor történő megfordítása.

Vegye figyelembe, hogy ennek a játéknak a várható hasznossága végtelen, még akkor is, ha az ügynök pénz haszonkulcsa csökken. Pontosan nyitva hagyhatjuk, amiben a díjak állnak. Nem kell pénznek lennie.

Érdemes hangsúlyozni, hogy a szentpétervári játék egyik nyereménye sem rendelkezik végtelen értékkel. Nem számít, hogy hányszor dobják fel az érmét, a játékos mindig nyer valamilyen véges hasznot. A szentpétervári játék várható hasznossága nem véges, de a tényleges eredmény mindig véges. Így tévedés lenne, ha elutasítanánk a paradoxont azzal, hogy azt állítanánk, hogy egyetlen tényleges díj sem lehet végtelen hasznosságú. A paradoxon felépítéséhez nincs szükség tényleges végtelenségre, csak a potenciálisokra. (A tényleges és a lehetséges végtelenség közötti különbségtételt lásd: Linnebo és Shapiro 2019.) A szentpétervári paradoxon megbeszéléseiben gyakran hasznos értelmezni a „végtelen hasznosság” kifejezést „nem végesnek”, de hagyni a filozófusok számára. a matematika feladata annak meghatározására, hogy ez a végtelenséghez közeledik-e vagy csak.

Egyes szerzők pontosan megvitatták, hogy mi a problematikus azzal az állítással, hogy a módosított szentpétervári játék várható hasznossága végtelen (olvassa: nem véges). Csak az a tény, hogy a tét tisztességes ára „túl magas”, vagy vajon van-e valami más, ami aggodalomra ad okot? James M. Joyce ezt megjegyzi

a végtelen haszonra való szétválasztást szigorúan részesítik előnyben, mint bármelyik kifizetésében, mivel ez utóbbiak mind végesek. Ez abszurd, mivel a figyelmünket azokra a fogadókra korlátozjuk, akik a fogadásokat csak a vagyonuk növekedésének végső eszközeként értékelik. (Joyce 1999: 37)

Úgy tűnik, hogy Joyce szerint az ügynök, aki kifizeti a tét tisztességes árát, biztosan tudja, hogy valójában rosszabb helyzetben lesz - miután megfizette a díjat. Úgy tűnik azonban, hogy ez feltételezi, hogy léteznek valódi végtelenségek. Ha csak lehetséges végtelenség létezik, akkor a játékos nem fizethet végtelen díjat a játékért. Ha igen, akkor talán úgy értelmezhetjük Joyce-t, hogy emlékezteti bennünket, hogy bármi véges összeget is ténylegesen nyer a játékos, a várható hasznosság mindig magasabb lesz, ami azt jelenti, hogy ésszerű lett volna még többet fizetni. A döntéselmélet elemzői a racionalitás eszköztől függő fogalmát elemzik, amely szerint ésszerű mindent megtenni, ami a legmegfelelőbb. A játékos tehát tudja, hogy ha ténylegesen többet fizet, nem lehet a legjobb eszköz a maximális hasznosság elérése érdekében. Ez a megfigyelés lehetővé teszi számunkra, hogy az eredeti „paradoxont” (amelyben formális ellentmondás nem merül fel) egy erősebb változatba, amely három összeegyeztethetetlen állításból áll:

  1. A szentpétervári játékért ésszerűen fizetendő hasznosság összege nem véges.
  2. A játékos tudja, hogy a nyereség tényleges összege véges.
  3. Nem ésszerű tudatosan többet fizetni a játékért, mint amennyit nyer.

A szentpétervári paradoxon sok megbeszélése a következőkre összpontosított (1). Mint látni fogjuk a következő néhány szakaszban, sok tudós azt állítja, hogy a szentpétervári játék értéke valamilyen okból véges. Ritka kivétel a Hájek és a Soha. A következő érvelést nyújtják be az elfogadáshoz (1):

A szentpétervári játék tekinthető a csonkított szentpétervári játékok sorozatának korlátjának, egymást követően magasabb véges csonkítási pontokkal - például a játékot lehívják, ha a tizedik dobás nem éri el a fejeket; a tizenegyedik dobálással; a tizenkettedik dobás által; Ha elfogadjuk a dominancia érvelését, ezek az egymást követő csonkítások vezethetik a szentpétervári játék értékének becslését: az alábbiakban minden egyes értékük határain keresztül áll, ezek a határok monotonikusan növekednek. Ezért alapos okunk van annak elfogadására, hogy érdemes minden véges összeget fizetni a szentpétervári játékhoz. (Hájek és Nover 2006: 706)

Habár kifejezetten nem mondják ezt, Hájek és Nover valószínűleg elutasítanák (3). Talán a legkevésbé ellentmondásos állítás (2). Természetesen logikusan lehetséges, hogy az érme minden egyes elfordításkor megtartja a farkát, annak ellenére, hogy egy végtelen farok-sorozat 0. valószínűséggel rendelkezik (erről a lehetőségről bővebben lásd Williamson 2007.) Egyes események, amelyek valószínűsége 0 valóban előfordulnak, és a kiszámíthatatlan valószínűségi terekben nem lehetséges, hogy minden eredmény valószínűsége meghaladja a 0-t. Ha ez még nem érinti az érmet, akkor az ügynök 0 egység hasznosságot nyer, ha az érme minden alkalommal megáll a farok leszállásánál. Tehát (2) továbbra is igaz.

3. irreális feltételezések?

Egyes szerzők szerint a szentpétervári játékot el kell utasítani, mert olyan feltételezésekre támaszkodik, amelyeket soha nem lehet teljesíteni. Jeffrey (1983: 154) például azt állítja, hogy „bárki, aki megengedi, hogy az ügynök játsszon a szentpétervári szerencsejátékot, hazug, mert úgy állít, mintha határozatlanul nagy bank lenne”. Hasonló kifogásokat a tizennyolcadik században Buffon és Fontaine vettek fel (lásd Dutka 1988).

Nem világos azonban, hogy Jeffrey miért lenne releváns a valós korlátokkal kapcsolatban. Mi a baj egy nagyon idealizált játék értékelésével, amelynek alig van oka azt hinni, hogy valaha is játszunk? Hájek és Smithson (2012) rámutatnak, hogy a szentpétervári paradoxon fertőző a következő értelemben: Mindaddig, amíg a hipotézisnek valamilyen nem nulla valószínűséget tulajdonítana annak, hogy a bank ígérete hiteles, a várt hasznosság végtelen lesz, függetlenül attól, hogy mennyire alacsony a megbízhatóság. a hipotézisben van. Bármely nem nulla valószínűségi szorzat a végtelenséggel megegyezik a végtelenséggel, tehát minden olyan lehetőségnek, amelyben a szentpétervári játékot nullátlan valószínűséggel játsszuk, végtelennek számít a várt hasznosság.

Azt is érdemes szem előtt tartani, hogy a szentpétervári játék nem lehet annyira irreális, mint Jeffrey állítja. Nem okozhat problémát az a tény, hogy a banknak határozatlan mennyiségű pénz (vagy egyéb eszköz) nem áll rendelkezésre az érme lefordítása előtt. A lényeg az, hogy a bank hiteles ígéretet tehet a játékos számára, hogy a helyes összeget ésszerű időn belül elérhetővé teszik a flipping befejezése után. Nem számít, mennyi pénz van a bankban a boltozatban, amikor a játékos játszik. Ez azért fontos, mert amint azt a 2. szakaszban megjegyezzük, az az összeg, amelyet a játékos ténylegesen nyer, mindig véges lesz. Elképzelhetjük tehát, hogy a játék a következőképpen működik: Először eldobjuk az érmét, és ha tudjuk, hogy milyen véges összeget fizet a bank a játékosnak, az ügyvezető igazgatja, hogy a bank elegendő pénzt gyűjtsön el.

Ha ez nem meggyőzi a játékost, elképzelhetjük, hogy a központi bank kiállít egy üres csekket, amelyben a játékosnak meg kell töltenie a helyes összeget, miután az érmét lefordították. Mivel a csekket a központi bank bocsátja ki, nem tud visszapattanni. Az új pénz automatikusan létrejön, amikor a központi bank által kibocsátott csekkeket bevezetik a gazdaságba. Jeffrey a következő érveléssel utasítja el a szentpétervári játék ezen verzióját:

[Képzelje el, hogy] A Kincstári Osztály aprólékos új milliárd dolláros számlát bocsát ki a nyertes számára. Az ebből eredő infláció miatt az ilyen magas kifizetések marginális kívánalma valószínűleg elég alacsony lenne ahhoz, hogy a játék valószínűsége végesen elvárható legyen [hasznosság]. (Jeffrey 1983: 155)

Jeffrey-nek valószínűleg igaza van, hogy az „éles új milliárd milliárd dolláros számla” némi inflációt vált ki, de úgy tűnik, hogy ezt valami figyelembe vehetjük a játék felépítésekor. Nem számít, hogy a kifizetési rendszerben a közművek lineárisak.

Azok az olvasók, akik nem érzik magukat ezzel az érveléssel, elképzelhetik, hogy elképzeljék a szentpétervári játék olyan verzióját, amelyben a játékos hozzá van kapcsolva a Nozick élménygépéhez (lásd a hedonizmusról szóló bejegyzés 2.3 szakaszát). Építésével ez a gép bármilyen kellemes élményt nyújthat, amelyet az ügynök kíván. Tehát miután az érmét n-szer megfordítottuk, a Experience Machine élvezetes élményt fog generálni, amelynek értéke (2 ^ n) egységnyi hasznossági egységet jelent a játékos személyes segédprogramjában. Aumann (1977) a tapasztalati gép kifejezett említése nélkül megjegyzi, hogy:

A kifizetéseknek nem kell kifejezetten határozottan nagyszámú áru vonatkozásában, vagy az áruk szempontjából egyáltalán […] a lottójegy […] valamilyen nyílt végű tevékenység lehet - ami érzéshez vezethet, amely eddig még nem tapasztalt. Példák lehetnek vallási, esztétikai vagy érzelmi tapasztalatok, például belépés egy kolostorba, hegymászás vagy esetleg látványos eredményekkel járó kutatás. (Aumann 1977: 444)

Az Aumann szem előtt tartott tapasztalatainak egyik lehetséges példája a mennyországban töltött napok száma. Nem világos, hogy a mennyországban töltött időnek miért kell csökkennie a marginális hasznosságát.

Egy másik típusú gyakorlati aggodalom a szentpétervári játék időbeli dimenzióját érinti. Brito (1975) szerint az érme átfordítása egyszerűen túl sok időt vehet igénybe. Ha minden egyes átfordítás n másodpercet vesz igénybe, akkor ellenőriznünk kell, hogy lehetséges-e elég sokszor megfordítani, mielőtt a játékos meghal. Nyilvánvaló, hogy ha létezik egy felső határ, hogy hányszor lehet az érmét megfordítani, akkor az elvárt hasznosság szintén véges lenne.

E aggodalomra való egyértelmű válasz az, hogy elképzeljük, hogy a csapkodás tegnap történt, és videofelvételre került. Az első flip 11 órakor éles volt, a második flip (frac {60} {2}) perccel később, a harmadik (frac {60} {4}) perccel a második után, és így tovább. A videót még nem tették közzé senki számára, de amint a játékos megfizette a játékért fizetendő díjat, a videót közvéleményben teszik közzé. Vegye figyelembe, hogy az érmét elvileg sokszor egy órán belül végtelenül is megfordíthatták. (Ez egy „supertask” példája; lásd a supertasks bejegyzést.)

Igaz, hogy ez a véletlenszerű kísérlet az érme gyorsabb és gyorsabb átfordítását igényli. Egy ponton gyorsabban meg kellene forgatnia az érmét, mint a fény sebessége. Ez logikusan nem lehetetlen, bár ez a feltételezés sérti a függő természetvédelmi törvényt. Ha úgy találja, hogy ez problémás, akkor elképzelhetjük, hogy valaki egy dartot dob a 0 és 1 közötti valós vonalra. Valószínűsége, hogy a dart eléri az intervallum első felét, (balra [0, / frac {1} { 2} jobbra \,) (frac {1} {2}.) És annak valószínűsége, hogy a dart eléri a következő negyedévet, (balra) frac {1} {2}, / frac { 3} {4} jobbra),) (frac {1} {4}), és így tovább. Ha így készülnek „érmecsúszók”, akkor a véletlenszerű kísérlet egyáltalán nem ér véget. Annak elkerülése érdekében, hogy egyik valós dart sem legyen végtelenül éles, az alábbiak szerint definiálhatjuk azt a pontot, amelyen a dart eléri az igazi vonalat: Legyen a dart területe. Az a pont, amelyen a dart eléri a [0,1] intervallumot, úgy van meghatározva, hogy az a területének fele egy függőleges vonaltól jobbra van az a-n át, a másik fele balra a függőleges vonaltól. Az a pont, ahol a függőleges vonal keresztezi a [0,1] intervallumot, a véletlenszerű kísérlet eredménye.

A szentpétervári paradoxonról szóló kortárs irodalomban a gyakorlati aggodalmakat gyakran figyelmen kívül hagyják, akár azért, mert elképzelni lehet azokat a forgatókönyveket, amelyekben nem merülnek fel, akár azért, mert a korlátlan közszolgáltatásokkal és a végtelen állami terekkel kapcsolatos, nagyon idealizált döntési problémákat érdekesnek tekintik a a saját joguk.

4. Korlátozott használati funkció?

Arrow (1970: 92) azt sugallja, hogy egy racionális ágens hasznos funkcióját "korlátozott funkciónak kell tekinteni. … mivel ilyen feltételezésre van szükség a [szentpétervári] paradoxon elkerüléséhez". Basset (1987) hasonló állítást mutat; lásd még Samuelson (1977) és McClennen (1994).

Arrow álláspontja szerint a közszolgáltatásokat korlátozni kell a szentpétervári paradoxon elkerülése érdekében, és a várható közüzemi elv axiomatikus beszámolói garantálják ezt. Például a Ramsey (1926), von Neumann és Morgenstern (1947), valamint a Savage (1954) által javasolt axiomatizációk mindegyike azt jelenti, hogy a döntéshozó hasznos funkciója korlátozott. (Von Neumann és Morgenstern axiomatizációjának áttekintését lásd a döntéselmélet bejegyzésének 2.3 szakaszában.)

Ha a hasznossági funkció korlátozott, akkor a szentpétervári játék várható hasznossága természetesen véges lesz. De miért garantálják a várható hasznossági elmélet axiómái a hasznossági funkció korlátozását? A döntő feltételezés az, hogy a lottókkal szembeni racionálisan megengedett preferenciák folyamatosak. Az axióma jelentőségének magyarázata érdekében hasznos néhány szimbólum bevezetése. Legyen ({pA, (1-p) B }) a lottó, amely A valószínűséggel p valószínűséggel és B valószínűséggel (1-p). A (A / preceq B) kifejezés azt jelenti, hogy az ügynök B-t legalább olyan jónak tekint, mint A, azaz gyengén részesíti előnyben B-t, mint A-t. Ezenkívül (A / sim B) azt jelenti, hogy A és B egyenlően előnyösek, és (A / prec B) azt jelenti, hogy B előnyösebb, mint A. Fontolgat:

A folytonossági axióma: Tegyük fel, hogy (A / preceq B / preceq C). Ekkor létezik olyan (p / in [0,1]) valószínűség, hogy ({pA, (1-p) C } sim B)

Annak magyarázata érdekében, hogy miért jelent ez az axióma, hogy egyetlen objektumnak sem lehet végtelen értéke, tegyük fel, hogy az redukció szempontjából A egy $ 1 értékű nyereménycsekk, B egy 2 USD értékű csekk, C pedig egy olyan díj, amelyhez az ügynök végtelen hasznosságot rendel. A döntéshozó preferenciája a (A / prec B / prec C), de nincs olyan p valószínűség, hogy ({pA, (1-p) C / sim B). Ha p nulla nulla, akkor a döntéshozó szigorúan inkább ({pA, (1-p) C }) helyett B-t részesíti előnyben, és ha p 0, akkor a döntéshozó szigorúan B-t részesíti előnyben. Mivel egyetlen objektumnak (lottónak vagy eredménynek) sem lehet végtelen értéke, és a hasznos funkciót az ezeknek az objektumoknak hozzárendelt segédprogramok határozzák meg (sorsolás vagy eredmény), a közmű funkciót meg kell határolni.

Megoldja-e ez a szentpétervári paradoxont? A válasz attól függ, hogy gondoljuk-e egy szentpétervári játékot felajánlott racionális ügynöknek a folytonosság axiómáját. Lehetséges vélemény, hogy bárkinek, akit felkínálnak a szentpétervári játékra, indokolni kell a folytonosság axiómáját. Mivel a szentpétervári játék végtelen hasznosságú, az ügynöknek nincs oka a sorsolás értékelésére az ezen axióma által előírt módon. Amint azt a 3. szakaszban kifejtettük, határtalanul értékes kifizetéseket tudunk elképzelni.

Egyesek kifoghatják, hogy a folytonossági axióma, valamint a von Neumann és Morgenstern (és Ramsey és Savage) által javasolt többi axióma elengedhetetlen a hasznosság matematikailag pontos meghatározásához. Ezért értelmetlen lenne a haszonról beszélni, ha elutasítanánk a folytonosság axiómáját. Ez az axióma része annak, hogy azt kell mondani, hogy valami magasabb hasznosságú, mint valami más. Jó válasz lehet a hasznosság elméletének kidolgozása, amelyben a lottókkal szembeni preferenciákat nem használják a fogalom jelentésének meghatározására; ilyen elmélet korai példáját lásd Luce (1959). Egy másik válasz a hasznosság elméletének kidolgozása lehet, amelyben a folytonossági axiómát kifejezetten elutasítják; lásd Skala (1975).

5. Figyelmen kívül hagyja a kis valószínűségeket?

Buffon 1777-ben azt állította, hogy egy ésszerű döntéshozónak figyelmen kívül kell hagynia a sok pénz elnyerésének lehetõségét a szentpétervári játékban, mivel ennek valószínûsége nagyon alacsony. Buffon szerint néhány kellően valószínűtlen eredmény „erkölcsileg lehetetlen”, ezért ezeket figyelmen kívül kell hagyni. Technikai szempontból ez a megoldás nagyon egyszerű: A szentpétervári paradoxon azért merül fel, mert a döntéshozó hajlandó végtelenül sok rendkívül értékes, de rendkívül valószínűtlen eredményt összesíteni, tehát ha korlátoznánk a „lehetséges” eredmények sorozatát azáltal, hogy megfelelő mértékben kizárnánk valószínűtlenek esetén a várt hasznosság természetesen véges lesz.

De miért nem szabad figyelmen kívül hagyni a kis valószínűségeket? És hogyan lehet meghúzni a vonalat a kicsi valószínűségek között, amelyek nem érintik az aggodalmat, és mások között, amelyek nem? Dutka a következőképpen foglalja össze Buffon hosszú válaszát:

A megfelelő küszöbérték eléréséhez [Buffon] megjegyzi, hogy egy ötvenhat éves férfi, jó egészségének vélekedve, figyelmen kívül hagyja annak a valószínűségét, hogy huszonnégy órán belül meghal, bár a halálozási táblázatok azt mutatják, hogy haldoklása ebben az időszakban csak 10189 és 1 között van. Buffon tehát 1/10 000 vagy annál kisebb valószínűséggel bír egy eseménynél olyan valószínűségként, amelyet figyelmen kívül lehet hagyni. (Dutka 1988: 33)

Ez egy meggyőző érv? Buffon szerint nem szabad figyelmen kívül hagynunk néhány apró valószínűséget, mert az emberek, mint ő (56 éves férfi) valójában figyelmen kívül hagyják őket. Buffont tehát azzal vádolhatják, hogy megpróbál egy „szükség” -et „egy” -ből származtatni. Annak elkerülése érdekében, hogy Hume-tól kifogást kell-e tenni, Buffonnak ki kellene egészítenie azt az előfeltételt, hogy az emberek mindennapi kockázati reakciói mindig ésszerűek. De miért kellene elfogadnunk egy ilyen feltételezést?

Egy másik kifogás az, hogy ha figyelmen kívül hagyjuk a kis valószínűségeket, akkor néha figyelmen kívül kell hagyni az esemény összes lehetséges eredményét. Vegyük figyelembe a következő példát: A rendszeres kártyacsomagban 52 kártya van, tehát pontosan 52-ben lehet elrendezni! különböző utak. Az adott elrendezés valószínűsége tehát körülbelül 1 (8 / cdot 10 ^ {67}) -ben. Ez egy nagyon kicsi valószínűség. (Ha hat kártyát adnának a paklihoz, akkor a lehetséges rendezések száma meghaladná az atomok számát az ismert, megfigyelhető univerzumban.) Azonban minden alkalommal, amikor egy kartonpapírt pakolunk, tudjuk, hogy pontosan az egyik a lehetséges eredmények megvalósulnak, miért ne hagyjuk figyelmen kívül az ilyen nagyon valószínűtlen eredményeket?

Nicholas JJ Smith (2014) Buffon megoldásának modern változatát védi. Érvelését a következő elvre alapozza:

Racionálisan elhanyagolható valószínűségek (RNP): Minden olyan lottón, amely bármely ügynökkel szemben felmerülő döntési problémákkal rendelkezik, van egy (epsilon> 0) olyan tényező, hogy az ügynöknek nem kell a valószínűségi lottó kimeneteleit (epsilon-nál kevesebbnek tekintenie.) egy teljesen ésszerű döntés meghozatala. (Smith 2014: 472)

Smith rámutat, hogy az RNP-ben a számszerűsítők rendje döntő fontosságú. Az állítás szerint minden lottónál van valamilyen valószínűségi küszöb (epsilon), amely alatt minden valószínűséget figyelmen kívül kell hagyni, de hibás lenne azt gondolni, hogy ugyanaz (epsilon) alkalmazható minden lottón.. Ez azért fontos, mert egyébként azt állíthatjuk, hogy az RNP lehetővé teszi számunkra, hogy több ezer vagy millió külön eseményt kombináljunk (epsilon.) Valószínűséggel. Nyilvánvalóan nincs értelme figyelmen kívül hagyni, mondjuk, félmillió egyben. -millió esemény. Ha figyelembe vesszük, hogy a megfelelő (epsilon) esetről esetre eltérő lehet, ezt a gondot el lehet utasítani.

Smith rámutat arra is, hogy ha figyelmen kívül hagyjuk a (epsilon,) -nál kisebb valószínűségeket, akkor további más valószínűségeket is növelnünk kell annak biztosítása érdekében, hogy minden valószínűség egyben legyen, ahogyan azt a valószínűségi axiómák megkövetelik (lásd az 1. szakaszot a a valószínűség értelmezése). Smith egy alapelvet javasol ennek szisztematikus végrehajtására.

De miért kellene elfogadnunk az RNP-t? Mi érvel ennek az ellentmondásos elvnek az elfogadására, kivéve azt a tényt, hogy az megoldaná a szentpétervári paradoxont? Smith érve a következő:

Végtelen pontosságot nem lehet megkövetelni: inkább bármilyen körülmények között kell lennie valamilyen véges toleranciának - valamilyen pozitív küszöbértéknek, amely minden olyan eredményt figyelmen kívül hagy, amelynek valószínűsége ezen küszöb alatt van, a normát teljesíti. Van egy döntéselméleti norma, amely szerint figyelmen kívül hagyja azokat a kimeneteleket, amelyek valószínűsége nulla. Mivel ez a norma egy konkrét valószínűségi értéket (nulla) említ, ezért az a norma, amelynél értelme van tűrést előírni: nulla plusz vagy mínusz (epsilon) (amely nullával plusz (epsilon,) adott) hogy a valószínűségek mind 0 és 1 között vannak) … a mögöttes gondolat (RNP) az, hogy bármilyen tényleges környezetben, amelyben döntést kell hozni, soha nem kell végtelenül pontosan ilyen módon lennie - ez soha nem számít. Van (minden döntési problémára, minden egyes lottóra,és mindegyik ügynök) olyan küszöböt, amely miatt az ügynök nem lenne irracionális, ha egyszerűen figyelmen kívül hagyná azokat a kimeneteleket, amelyek valószínűsége e küszöb alatt van. (Smith 2014: 472–474)

Tegyük fel, hogy elfogadjuk azt az állítást, miszerint a döntéselméletben nincs szükség végtelen pontosságra. Ez Smith érvelése szerint azt vonná maga után, hogy ésszerűen megengedett a (epsilon)nél kisebb valószínűségek figyelmen kívül hagyása. Annak biztosítása érdekében, hogy a döntéshozó soha ne fizessen vagyont a szentpétervári játékért, úgy tűnik, Smithnek meg kellene védenie az erősebb állítást, miszerint a döntéshozóknak ésszerűen kötelesek figyelmen kívül hagyni a kis valószínűségeket, azaz hogy nem megengedett, hogy nem ne törődj velük. A döntéshozók, akik egyetértenek Smith álláspontjával, fennáll annak a kockázata, hogy nagyon nagy összeget fizetnek a szentpétervári játékért, anélkül, hogy az RNP irracionálisnak tartanák. Ez a pont fontos, mivel vitathatatlanul nehezebb bebizonyítani, hogy a döntéshozóknak ésszerűen el kell kerülniük a „végtelen pontosságot” azokban a döntésekben, amelyekben ez elérhető és teljesen reális cél, például a szentpétervári játék. Az RNP kritikájáért és néhány kapcsolódó kérdés megvitatásáért lásd Hájek (2014).

Az RNP elleni másik kifogást Yoaav Isaacs (2016) javasolta. Megmutatja, hogy az RNP és a Smith által elfogadott kiegészítő elv (gyenge konzisztencia) azzal jár, hogy a döntéshozó esetenként önkényesen nagy kockázatot vállal az önkényesen alacsony jutalomért.

Lara Buchak (2013) javasolja e megoldás vitathatatlanul elegánsabb változatát. Javaslata szerint az opció értékének kiszámításakor exponenciálisan kisebb súlyt kell tulajdonítanunk a kis valószínűségeknek. Egy lehetséges r súlyozási függvény, amelyet Buchak tárgyalt: (r (p) = p ^ 2.) Javaslata tehát az, hogy ha a valószínűsége (frac {1} {8}), akkor nyerjen 8 dollárt a már meglévők mellett, és a pénz haszonképessége lineárisan növekszik, akkor ahelyett, hogy a közhasznú nyereségét megszorozzuk (frac {1} {8},) -val, szorozzuk meg ((frac {1} {8}) ^ 2 = / frac {1} {64}.) Ezen túlmenően, ha valószínűsége (frac {1} {16}), hogy 16 dollárt nyer a már meglévőkön kívül, akkor szorozza meg nyereségét (frac {1} {256},) és így tovább. Ez azt jelenti, hogy a kis valószínűségek nagyon kevés hozzájárulnak a kockázattal súlyozott várható hasznossághoz.

Buchak javaslata homályosan hasonlít a megszokott gondolathoz, miszerint csökken a pénz marginális hasznossága. Amint azt Cramér és Daniel Bernoulli hangsúlyozták, több pénz mindig jobb, mint kevesebb, de az egyes kiegészítő dollárok haszna csökken. Buchak szerint az eredmény valószínűségének tulajdonítandó súly szintén nemlineáris: A kis valószínűségek számítanak, annál kisebbek, és relatív fontosságuk exponenciálisan csökken:

A kockázatkerülés csökkenő marginális hasznossági elemzésének mögött meghúzódó intuíció az volt, hogy a pénz hozzáadásához egy eredmény egy kevésbé értékű, annál több pénzt tartalmaz az eredmény. A jelenlegi kockázatkerülési elemzés mögött meghúzódó intuíció az, hogy a valószínűség hozzáadása az eredményhez annál nagyobb értéket jelent, annál valószínűbb, hogy az eredmény már meg lesz. (Buchak 2014: 1099.)

Buchak megjegyzi, hogy ez a lépés önmagában nem oldja meg a szentpétervári paradoxont. A Menger (1934 [1979]) által Bernoulli megoldására vonatkozó kommentárjában említettekhez hasonló okokból a paradoxont vissza lehet vezetni az eredmények olyan hozzáigazításával, hogy az összeg lineárisan növekszik (részletekért lásd Buchak 2013: 73–74). Buchak ezért is elkötelezett az RNP mellett, azaz az ellentmondásos feltételezés, miszerint valamilyen valószínűséggel lesz olyan kicsi, hogy ez nem befolyásolja a szerencsejáték összértékét.

További aggodalomra ad okot, hogy mivel Buchak elutasítja a várható hasznosság maximalizálásának elvét, és felváltja azt a kockázattal súlyozott várható hasznosság maximalizálásának elvével, a tőzsdei kifogásokra vonatkozó döntéstudományi szakemberek közül számos, a várt hasznosság elvének megsértése miatt felvetett döntés vehető fel az ő elvével szemben, jól. Például, ha elfogadja a várható hasznosság maximalizálásának a kockázattal súlyozott elvét, el kell utasítania a függetlenségi axiómát. Ez azt jelenti, hogy kihasználhatóak valamilyen okosan megtervezett pragmatikus érvben. Lásd Briggs (2015) a Buchak elméletével kapcsolatos néhány kifogás tárgyalását.

6. Relatív várható hasznossági elmélet

A Colyvan (2008) által bevezetett petrogradi játékban a játékos 1 dollárral többet nyer, mint a szentpétervári játékban, függetlenül attól, hogy hányszor dobják le az érmét. Tehát ahelyett, hogy 2 hasznos egységet nyert volna, ha az érme az első dobáshoz érkezik, a játékos 3-at nyer; stb. Lásd az 1. táblázatot.

Asztal 1

Valószínűség (Frac {1} {2}) (Frac {1} {4}) (Frac {1} {8})
Szentpétervár 2 4 8
pétervári (2 + 1) (4 + 1) (8 + 1)

Nyilvánvalónak tűnik, hogy a petrogradi játék többet ér, mint a szentpétervári játék. Ugyanakkor nem könnyű megmagyarázni, miért. Mindkét játéknak végtelen várható hasznossága van, tehát a várható hasznosság elve helytelen választ ad. Nem igaz, hogy a petrogradi játék többet ér, mint a szentpétervári játék, mert várhatóan nagyobb hasznosságot jelent; a két játéknak pontosan ugyanaz a várható hasznossága. Ez azt mutatja, hogy a várható hasznossági elv nem egyetemesen alkalmazható minden kockázatos döntésre, ami önmagában érdekes megfigyelés.

Érdemesebb-e a petrogradi játék, mint a szentpétervári játéknak, mert a petrogradi játék eredményei dominálnak a szentpétervári játékban? Ebben az összefüggésben a dominancia azt jelenti, hogy a játékos mindig 1 dollárval többet nyer, függetlenül attól, hogy melyik világ állapota valódi államnak, azaz függetlenül attól, hogy hányszor dobják le az érmét. A probléma az, hogy könnyű elképzelni a petrogradi játék olyan verzióit, amelyekre a dominancia elve nem lenne alkalmazható. Képzeljük el például, egy változata a pétervári, hogy a játék pontosan olyan, mint az egyik az 1. táblázatban, kivéve, hogy néhány nagyon valószínűtlen eredmény (mondjuk, ha az érme földet fej először a 100 thflip) a játékos 1 egységgel kevesebbet nyer, mint a szentpétervári játékban. Ez a játék, a Petrogradskij játék nem uralja a szentpétervári játékot. Mivel azonban szinte biztos, hogy a Petrogradskij játékkal jobban lesz a játékos, a valószínű döntéselméletnek meg kell magyaráznia, hogy a Petrogradskij játék miért ér többet, mint a szentpétervári játék.

Colyvan azt állítja, hogy ezt a rejtvényt úgy oldhatjuk meg, hogy a várható hasznossági elmélet Relatív várható hasznossági elmélet (REUT) új verzióját vezetjük be. A REUT szerint minden lehetséges eredményre kiszámolnunk kell a két lehetőség közötti várható hasznossági különbséget. Formálisan az act (A_k) várható relatív hasznossága ((reu)) (A_l) felett

) reu (A_k, A_l) = / sum_ {i = 1} ^ n p_i (u_ {ki} - u_ {li}).)

Colyvan szerint ésszerű, ha (A_k) (A_l) felett választja, ha és csak akkor, ha (reu (A_k, A_l) gt 0).

Colyvan REUT szépen elmagyarázza, hogy a Petrograd játék miért ér többet, mint a szentpétervári játék, mivel a relatív várható hasznosság 1. A REUT azt is megmagyarázza, hogy a Petrogradskij játék miért ér többet, mint a szentpétervári játék: a várható hasznosság különbsége (1 - (frac {1} {2}) ^ {100}), amely> 0.

Peterson (2013) azonban megjegyzi, hogy a REUT nem tudja megmagyarázni, hogy a Leningradskij játék miért ér többet, mint a Leningrád játék (lásd a 2. táblázatot). A Leningradskij játék a petrogradi játék verziója, amelyben a játékos a véges számú hasznos egység megszerzése mellett a Szentpétervári játékot (SP) is játssza, ha az érme fölé kerül a második fordulóban. A leningrádi játékban a játékos megkezdi a szentpétervári játékot (SP), ha az érme a harmadik fordulóban fekszik.

2. táblázat

Valószínűség (Frac {1} {2}) (Frac {1} {4}) (Frac {1} {8}) (Frac {1} {16})
Leningrad 2 4 (8+ / textrm {SP}) 16
Leningradskij 2 (4+ / textrm {SP}) 8 16

Nyilvánvaló, hogy a Leningradskij játék többet ér, mint a Leningrád játék, mert nagyobb annak a valószínűsége, hogy a játékos bónuszként játszik SP-t (amelynek végtelen várható hasznossága van). A REUT azonban nem tudja megmagyarázni, miért. A 2. táblázatban szereplő (frac {1} {4}) valószínűséggel előforduló állapot várható hasznossági különbsége (- / infty), és (+ / infty) az előforduló állapothoz képest. valószínűséggel (frac {1} {8}.) Ezért, mivel (p / cdot / infty = / infty) minden pozitív valószínűségre (p), és „(infty - / infty)”Nincs meghatározva a standard elemzés során, a REUT nem alkalmazható ezekre a játékokra.

Bartha (2016) Colyvan elméletének bonyolultabb változatát javasolja a fent vázolt aggodalom kezelésére. Javaslata az, hogy kérje meg az ügynököt, hogy hasonlítsa össze a „problémás” játékot a másik két játék lottójával. Ha például a Petrograd + az a játék, amelyben a játékos mindig 2 egységgel többet nyer, mint a szentpétervári játékban, függetlenül attól, hogy hányszor dobják fel az érmét, akkor a játékos összehasonlíthatja a Petrograd játékot egy Petrograd + közötti lottóval. és a szentpétervári játék. Annak meghatározásával, hogy milyen valószínűséggel vesz részt lottón, amelyben Petrograd + játszikp valószínűséggel és a szentpétervári játék valószínűséggel (1-p) jobb, mint a petrogradi játék, az biztos, hogy meg lehet határozni a Petrograd relatív értékét, összehasonlítva a Petrograd + vagy Szentpétervárral. (A részleteket lásd a 2016. évi Bartha 5. szakaszában. Lásd még Colyvan és Hájek Bartha elméletének 2016. évi megbeszélését.)

Említsünk még egy, az eredeti szentpétervári játék egy meglehetősen egyszerű variációját, amelyet a következőképpen játsszunk (lásd Peterson 2015: 87): Egy manipulált érme 0,4 valószínűséggel fekszik fel és a játékos nyer egy (2 ^ n) hasznossági egységek, ahol n az érme dobásának száma. Ez a játék, a moszkvai játék valószínűleg hosszú flip sorozatot eredményez, ezért többet ér, mint a szentpétervári játék, de mindkét játék várható hasznossága megegyezik, mivel mindkét játék végtelen elvárása. Csábító lehet azt mondani, hogy a moszkvai játék vonzóbb, mert a moszkvai játék sztochasztikusan uralja a szentpétervári játékot. (Az, hogy egy játék sztochasztikusan uralja a másik játékot, azt jelenti, hogy minden lehetséges eredményre,az első játéknak legalább annyira nagy a valószínűsége, hogy legalább egy hasznos egységnyi nyereményt nyer, mint a második játékban; és néhány u esetében az első játék nagyobb valószínűséggel ad u-t, mint a második.) A sztochasztikus dominancia elv azonban nem alkalmazható azokra a játékokra, amelyekben kis a kockázata annak, hogy a játékos valamivel kevesebb értékű nyereményt nyer, mint a másik játékban.. Elképzelhetjük például, hogy ha az érme a 100-ra emelkedika flippelő moszkvai játék egy egységgel kevesebbet fizet, mint a szentpétervári játék; ebben a forgatókönyvben egyik játék sem sztochasztikusan uralja a másikot. Ennek ellenére továbbra is ésszerűnek tűnik ragaszkodni ahhoz, hogy a játék, amely szinte biztosan jobb eredményt hoz (a fentebb kifejtett értelemben vett), többet ér. A kihívás az, hogy robusztus és önkényes módon magyarázzuk meg.

7. A Pasadena játék

A Nover és Hájek (2004) által bevezetett Pasadena paradoxont a szentpétervári játék ihlette, ám a kifizetési ütemterv eltérő. Mint általában, egy tisztességes érmét n-szer átfordítanak, amíg először elő nem áll. Ha n páratlan, akkor a játékos nyeri ((2 ^ n) / n) egységnyi hasznosságot; azonban ha n is egyenlő, akkor a játékosnak fizetnie kell ((2 ^ n) / n) egységeket. Mennyit kell fizetnie azért, hogy ezt a játékot játssza?

Ha összegezzük a kifejezéseket az eredmények időbeli sorrendjében, és a szokásos módon kiszámoljuk a várható hasznosságot, akkor azt találjuk, hogy a Pasadena játék érdemes:

) kezdődik {igazítás} frac {1} {2} cdot / frac {2} {1} - / frac {1} {4} cdot / frac {4} {2} + / frac {1} {8} cdot / frac {8} {3} & - / frac {1} {16} cdot / frac {16} {4} + / frac {1} {32} cdot / frac {16} { 5} - / cdots \& = 1 - / frac {1} {2} + / frac {1} {3} - / frac {1} {4} + / frac {1} {5} - / cdots & = / sum_n / frac {(- 1) ^ {n-1}} {n} end {igazítás})

Ez a végtelen összeg konvergál ln 2-re (körülbelül 0,69 egység haszon). Nover és Hájek azonban rámutatnak, hogy nagyon eltérő eredményt kapnánk, ha átrendeznénk az azonos számok összegzésének sorrendjét. Itt található a matematikai tény sok lehetséges példája:

) kezdődik {igazítás} 1 - / frac {1} {2} - / frac {1} {4} + / frac {1} {3} - / frac {1} {6} - / frac {1} {8} + / frac {1} {5} - / frac {1} {10} & - / frac {1} {12} + / frac {1} {7} - / frac {1} {14} - / frac {1} {16} cdots \& = / frac {1} {2} (ln 2). / End {align})

Ez természetesen nem újdonság a matematikusok számára. A Pasadena játék által termelt végtelen összeget váltakozó harmonikus sorozatnak nevezik, amely feltételesen konvergens sorozat. (A (a_n) sorozat feltételesen konvergens, ha (sum_ {j = 1} ^ { infty} a_n) konvergál, de (sum_ {j = 1} ^ { infty} lvert a_n / rvert) eltérnek.) A Riemann-átrendezési tétel néven ismert tétel miatt tudjuk, hogy ha egy végtelen sorozat feltételesen konvergens, akkor kifejezéseit mindig át lehet rendezni úgy, hogy az összeg bármilyen véges számra, vagy (+ / infty-ra konvergál) vagy a ((- / infty) mappába.

Soha és Hájek állítása szerint önkényesnek tűnik a Pasadena játék kifejezéseinek összegzése az érme átfordításának időrendi sorrendjében. Hogy miért lássa, hasznos elképzelni a játék kissé módosított változatát. Eredeti cikkükben Nover és Hájek azt kérdezik tőlünk, hogy gondolja:

Dobunk egy tisztességes érmét, amíg az első alkalommal nem érkezik a fejére. Egymást követő kártyákra írtuk a kifizetést minden lehetséges eredményért. A kártyák szövege a következő: (Felső kártya) Ha az első = fejek az 1. dobáson vannak, akkor 2 dollárt fizetünk neked. […] Véletlenül ledobjuk a kártyákat, és miután felvette őket, és az asztalra rakják őket, azt találjuk, hogy átrendezték őket. Nem számít, mondod - nyilvánvalóan a játék nem változott, mivel a kifizetési ütemterv változatlan marad. A játékot végül helyesen és teljes mértékben meghatározzák a kártyákra írt feltételek, és mi csak megváltoztattuk a feltételek bemutatásának sorrendjét. (Nover és Hájek 2004: 237–239)

Az itt ismertetett körülmények között úgy tűnik, hogy nincs okunk annak érdekében, hogy egy bizonyos sorrendet részesítsünk előnyben a végtelen sorozat feltételeinek összegzésekor. Tehát a Pasadena játék várható értéke (ln 2) vagy (frac {1} {2} (ln 2)) vagy (frac {1} {3}) vagy (- / infty) vagy 345,68? Ezek a javaslatok ugyanolyan önkényesnek tűnnek. Sőt, ugyanez vonatkozik az Altadena játékra is, amelyben minden kifizetést egy dollár növeli. Az Altadena játék egyértelműen jobb, mint a Pasadena játék, de a várható hasznosságelmélet támogatói látszólag nem tudják megmagyarázni, miért.

A Pasadena játék irodalma széleskörű. Lásd például Hájek és Nover (2006), Fine (2008), Smith (2014) és Bartha (2016). Különösen befolyásoló megoldást jelent Easwaran (2008). Bemutatja a várható hasznosság elvének erõs és gyenge változata közötti különbséget, amelyet a nagy számú törvény erõs és gyenge változata közismert megkülönböztetése ihlette. A nagy számok szigorú törvénye szerint a játék átlagos hasznossága valószínűséggel konvergál a várt hasznosságra, mivel az iterációk száma a végtelenségig megy. A nagy szám gyenge törvénye szerint egy kellõen nagy számú kísérletnél tetszés szerint kicsi lehet annak a valószínûsége, hogy az átlagos hasznosság nem különbözik a várt hasznosságtól valamivel kisebb, mint egy elõre meghatározott összegnél. Tehát a gyenge várható hasznossági elv szerint

Ha elegendő számú n játékot rögzítünk, garantálható, hogy az átlagos játékonkénti nyereség tetszőlegesen közel esik az ln 2-hez,

míg az alapelv erőteljes változata ehhez jár

Ha az egyik játékos eldönti, hogy játssza újra, vagy kilép-e, akkor szinte biztosan garantálhat annyi nyereséget, amennyit csak akar, függetlenül a játék állandó (állandó) árától. (Easwaran 2008: 635)

Easwaran véleménye szerint az ügynök választását a gyenge elvárt hasznosság elvének kell vezetnie, és a tisztességes fizetendő ár 2 ln.

Az Easwaran megoldása azonban nem általánosítható más játékokat illetően, amelyek kissé eltérnek a kifizetési rendszerekből. Bartha (2016: 805) a Pasadena játék olyan verzióját írja le, amelynek nincs várt értéke. Ebben az Arroyo játékban a játékos (- 1 ^ {n + 1} (n + 1)) valószínűséggel nyer (p_n = / frac {1} / {(n + 1)}). Ha az elvárt hasznosságot az eredmények előállítási sorrendjében számoljuk, ugyanazt az eredményt kapjuk, mint a Pasadena játék esetében: (1 - / frac {1} {2} + / frac {1} {3} - / frac {1} {4} cdots) Bartha által kifejtett (és bebizonyított) okok miatt az Arroyo játéknak nincs gyenge várt hasznossága.

Azt is érdemes szem előtt tartani, hogy a Pasadena-szerű forgatókönyvek nem valószínűségi összefüggésekben is felmerülhetnek (lásd Peterson 2013). Képzelje el például egy végtelen populációt, amelyben a j egyedi szám hasznossága (frac {(- 1) ^ {j-1}} {j}). Mi a teljes haszna ennek a lakosságnak? Vagy képzelje el, hogy Ön egy Jackson Pollock festmény büszke tulajdonosa. Egy művészeti kereskedő elmondja, hogy a festmény általános esztétikai értéke egyes részei összege. A festmény pontjait tetszőleges számokkal 1, 2, 3,… számozza (esetleg úgy, hogy felírja a számokat a kártyákra, majd ledobja az összes kártyát a földre); minden j pont esztétikai értéke (frac {(- 1) ^ {j-1}} {j}). Mi a festmény teljes esztétikai értéke? Ezek a példák a Pasadena probléma valószínűtlen változatai,amelyre a várt hasznossági elv nem alkalmazható. A természet állapotával kapcsolatban nincs bizonyosság; a döntéshozó biztosan tudja, milyen a világ. Ez azt jelenti, hogy az Easwaran közötti különbségtétel a gyenge és az erős elvárások között nem alkalmazható.

Bár ezek a problémák némileg ezoterikusnak tűnhetnek, nem utasíthatjuk őket. Az összes Pasadena-szerű probléma ugyanolyan fertőzési problémát érinti, mint a szentpétervári játék (lásd a 2. részt). Hájek és Smithson a következő színes ábrát mutatják be:

Választhat a pizza és a kínai között vacsorára. Mindegyik lehetőség igényessége attól függ, hogyan valószínűsíthetően mérlegeli a különböző forgatókönyveket (égetett pizza, tökéletesen főtt pizza,… túlzottan fűszeres kínai, tökéletesen fűszerezett kínai…) és az általuk alkalmazott közművek. Tegyük fel, hogy egyik választás sem uralja a másikot, ám döntésednek teljesen egyértelműnek kell lennie. De nem akkor, ha a pizza és a kínai elvárásokat még egy apró [sic] megbízhatóság-hozzárendelés is szennyezi a Pasadena játéknak. Ha az ajtót csak repedés nyílik rá, lerúgja az ajtót, és eláraszt minden várható hasznossági számítást. Még a pizza és a kínai között sem választhat. (Hájek és Smithson 2012: 42, hangsúlyozva.)

Colyvan (2006) azt javasolja, hogy harapjuk meg a Pasadena játék golyóját, és fogadjuk el, hogy nincs várható hasznossága. A fertőzési probléma azt mutatja, hogy ha ezt tennénk, akkor be kellene ismernünk, hogy a várható hasznosság maximalizálásának elve szinte egyetlen döntésnél sem alkalmazható. Sőt, mivel a fertőzési probléma ugyanúgy alkalmazható az ebben a bejegyzésben tárgyalt összes játékra (Szentpétervár, Pasadena, Arroyo stb.), Úgy tűnik, hogy ezek a problémák egységes megoldást igényelhetnek.

A döntéselméleti szakemberek évszázadokon át megállapodtak abban, hogy a racionális ügynököknek maximalizálniuk kell a várható hasznosságot. A vita elsősorban arra a kérdésre összpontosult, hogy ezt az elvet hogyan lehet értelmezni, különösen olyan döntéseknél, amelyekben a világ okozati szerkezete szokatlan. A közelmúltig azonban senki sem kérdőjelezte meg, hogy a várható hasznosság maximalizálásának elve a helyes elv-e. A szentpétervári paradoxon ihlette sok rejtvényre vonatkozó gazdag és növekvő irodalom azt jelzi, hogy ez tévedés lehet. Lehet, hogy a várható hasznosság maximalizálásának elvét egy teljesen más elvvel kell felváltani?

Bibliográfia

  • Alexander, JM, 2011, “Várakozások és választhatóság”, Mind, 120 (479): 803–817. doi: 10,1093 / elme / fzr049
  • Arrow, Kenneth J., 1970, esszék a kockázatviselés elméletében, Amszterdam: Észak-Holland.
  • Aumann, Robert J., 1977, „A szentpétervári paradoxon: Néhány legutóbbi megjegyzés vita”, Journal of Economic Theory, 14 (2): 443–445. doi: 10.1016 / 0022-0531 (77) 90143-0
  • Bartha, Paul FA, 2016, “Várások nélkül tehetünk”, Mind, 125 (499): 799–827. doi: 10,1093 / elme / fzv152
  • Bassett, Gilbert W., 1987, „A szentpétervári paradoxon és korlátozott haszon”, Politikai gazdaság története, 19 (4): 517–523. doi: 10,1215 / 00182702-19-4-517
  • Bernoulli, Daniel, 1738, [1954], „Specimen Theoriae Novae de Mensura Sortis”, Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, 5: 175–192. Angol fordítás, 1954, „Új kockázatmérési elmélet ismertetése”, Econometrica, 22 (1): 23–36. doi: 10,2307 / 1909829
  • Bernoulli, Jakob, 1975, Die Werke von Jakob Bernoulli, III. Együttes, Bázel: Birkhäuser. Nicolas Bernoulli, a szentpétervári játékra vonatkozó leveleinek Richard J. Pulskamp általi fordítása elérhető online.
  • Briggs, Rachael, 2015, „A biztos dolog elvének megtagadásának költségei”, Canadian Journal of Philosophy, 45 (5–6): 827–840. doi: 10,1080 / 00455091.2015.1122387
  • Brito, DL, 1975, „Becker elmélete az időelosztásról és a szentpétervári paradoxonról”, Journal of Economic Theory, 10 (1): 123–126. doi: 10.1016 / 0022-0531 (75) 90067-8
  • Buchak, Lara, 2013, Kockázat és racionalitás, New York: Oxford University Press. doi: 10,1093 / acprof: OSO / 9780199672165.001.0001
  • –––, 2014, „Kockázat és kompromisszumok”, Erkenntnis, 79 (S6): 1091–1117. doi: 10,1007 / s10670-013-9542-4
  • Buffon, GLL, 1777, „Essai d'Arithmdéétique Motale”, a Histoire Naturelle kiegészítőkben. Újra nyomtatva az Oeuvres Philosophiques de Buffon-ban, Párizs, 1954.
  • Chalmers, David J., 2002, „A szentpétervári két boríték paradoxona”, elemzés, 62 (2): 155–157. doi: 10,1093 / Analys / 62.2.155
  • Chen, Eddy Keming és Daniel Rubio, előadó: „Szürreális döntések”, filozófia és fenomenológiai kutatások, első online: 2018. június 5., doi: 10.1111 / phpr.12510
  • Colyvan, Mark, 2006, “Nincs elvárás”, Mind, 115 (459): 695–702. doi: 10,1093 / elme / fzl695
  • –––, 2008, „Relatív elváráselmélet”:, Journal of Philosophy, 105 (1): 37–44. doi: 10,5840 / jphil200810519
  • Colyvan, Mark és Alan Hájek, 2016, “Adó készítése elvárások nélkül”: Mind, 125 (499): 829–857. doi: 10,1093 / elme / fzv160
  • Cowen, Tyler és Jack High, 1988, “Idő, korlátozott haszon és a szentpétervári paradoxon”, elmélet és döntés, 25 (3): 219–223. doi: 10,1007 / BF00133163
  • Dutka, Jacques, 1988, „A szentpétervári paradoxonról”, a Pontos Tudományok Története Archívuma, 39 (1): 13–39. doi: 10,1007 / BF00329984
  • Easwaran, Kenny, 2008, „Erős és gyenge elvárások”, Mind, 117 (467): 633–641. doi: 10,1093 / elme / fzn053
  • Fine, Terrence L., 2008, „A Pasadena, Altadena és St Petersburg peremjeinek értékelése”, Mind, 117 (467): 613–632. doi: 10,1093 / elme / fzn037
  • Hájek, Alan, 2014, „Váratlan elvárások”, Mind, 123 (490): 533–567. doi: 10,1093 / elme / fzu076
  • Hájek, Alan és Harris Nover, 2006, „Megdöbbentő elvárások”, Mind, 115 (459): 703–720. doi: 10,1093 / elme / fzl703
  • –––, 2008, „Komplex elvárások”, Mind, 117 (467): 643–664. doi: 10,1093 / elme / fzn086
  • Hájek, Alan és Michael Smithson, 2012, „Racionalitás és meghatározhatatlan valószínűségek”, Synthese, 187 (1): 33–48. doi: 10,1007 / s11229-011-0033-3
  • Isaacs, Yoaav, 2016, „A valószínűségeket nem lehet racionálisan elhanyagolni”, Mind, 125 (499): 759–762. doi: 10,1093 / elme / fzv151
  • Jeffrey, Richard C., 1983, A döntés logika, 2. kiadás, Chicago: University of Chicago Press.
  • Jordánia, Jeff, 1994, „A szentpétervári paradoxon és Pascal-munkálkodó”, Filozófia, 23 (1–4): 207–222. doi: 10,1007 / BF02379856
  • Joyce, James M., 1999, Az okozati döntés elméletének alapjai, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Lauwers, Luc és Peter Vallentyne, 2016, „Döntéselmélet a végleges, várható érték nélkül”, Közgazdaságtan és filozófia, 32 (3): 383–407. doi: 10,1017 / S0266267115000334
  • Linnebo, Øystein és Stewart Shapiro, 2019, „Tényleges és potenciális végtelenség: tényleges és potenciális végtelenség”, Noûs, 53 (1): 160–191. doi: 10.1111 / nous.12208
  • Luce, R. Duncan, 1959, „A lehetséges pszichofizikai törvényekről”, pszichológiai áttekintés, 66 (2): 81–95. doi: 10,1037 / h0043178
  • McClennen, Edward F., 1994, „Pascal Wager és véges döntéselmélet”, az Istenről való szerencsejáték: Esszék Pascal Wagerről, Jeff Jordan (szerk.), Boston: Rowman & Littlefield, 115–138.
  • Menger, Karl, 1934, [1979], „Das Unsicherheitsmoment in der Wertlehre: Betrachtungen im Anschluß an das sogenannte Petersburger Spiel”, Zeitschrift für Nationalökonomie, 5 (4): 459–485. 1979-ben fordítva: „A bizonytalanság szerepe a közgazdaságban”, Menger logikájának és alapjainak kiválasztott cikkeiben, didaktika, közgazdaságtan, Dordrecht: Springer Hollandia, 259–278. doi: 10.1007 / BF01311578 (de) doi: 10.1007 / 978-94-009-9347-1_25 (en)
  • Nover, Harris és Alan Hájek, 2004, “Vexing Expectations”, Mind, 113 (450): 237–249. doi: 10,1093 / elme / 113.450.237
  • Peterson, Martin, 2011, „Új csavar a szentpétervári paradoxonhoz”:, Journal of Philosophy, 108 (12): 697–699. doi: 10,5840 / jphil20111081239
  • ––– 2013, „A Pasadena rejtvény általánosítása: A Pasadena rejtvény általánosítása”, Dialectica, 67 (4): 597–603. doi: 10.1111 / 1746-8.361,12046
  • –––, 2009 [2017], Bevezetés a döntéselméletbe, Cambridge: Cambridge University Press; második kiadás: 2017. doi: 10.1017 / CBO9780511800917 doi: 10.1017 / 9781316585061
  • –––, 2019, „Intervallási értékek és racionális választás”, Közgazdaságtan és filozófia, 35 (1): 159–166. doi: 10,1017 / S0266267118000147
  • Ramsey, Frank Plumpton, 1926 [1931], „Igazság és valószínűség”, a Matematika és más logikai esszék alapjaiban nyomtatva, RB Braithwaite (szerk.), London: Kegan Paul, Trench, Trubner és Co., 156–198. Újra nyomtatva a Valószínűség Filozófiájában: Kortárs olvasmányok, Antony Eagle (szerk.), New York: Routledge, 2011: 52–94. [Ramsey 1926 [1931] elérhető online]
  • Samuelson, Paul A., 1977, „St. Petersburg-paradoxonok: megfertőzve, boncolva és történelmileg leírva”, Journal of Economic Literature, 15 (1): 24–55.
  • Savage, Leonard J., 1954, A statisztikák alapjai (Wiley Publications in Statistics), New York: Wiley. Második kiadás, Courier Corporation, 1974.
  • Skala, Heinz J., 1975, Nem archimédiai hasznosságelmélet, Dordrecht: D. Reidel.
  • Smith, Nicholas JJ, 2014, „Az értékelő összetétel racionalitás követelménye?”, Mind, 123 (490): 457–502. doi: 10,1093 / elme / fzu072
  • von Neumann, John és Oskar Morgenstern, 1947, Játékok és gazdasági magatartás elmélete, második átdolgozott kiadás, Princeton, NJ: Princeton University Press.
  • Weirich, Paul, 1984, „A szentpétervári játék és kockázat”, elmélet és döntés, 17. (2): 193–202. doi: 10,1007 / BF00160983
  • Williamson, Timothy, 2007, „Mennyire valószínű a fejek végtelen szekvenciája?”, Elemzés, 67 (295): 173–180. doi: 10.1111 / j.1467-8284.2007.00671.x

Tudományos eszközök

sep ember ikonra
sep ember ikonra
Hogyan idézhetem ezt a bejegyzést.
sep ember ikonra
sep ember ikonra
A bejegyzés PDF-verziójának előnézete a SEP Barátok társaságában.
inpho ikonra
inpho ikonra
Nézze meg ezt a belépési témát az Internet Filozófia Ontológiai Projektben (InPhO).
phil papírok ikonra
phil papírok ikonra
Továbbfejlesztett bibliográfia erre a bejegyzésre a PhilPapersnél, az adatbázisához kapcsolódó hivatkozásokkal.

Egyéb internetes források

[Javaslatokkal lépjen kapcsolatba a szerzővel.]

Ajánlott: