Modellelmélet

Tartalomjegyzék:

Modellelmélet
Modellelmélet
Anonim

Belépés navigáció

  • Nevezés tartalma
  • Bibliográfia
  • Tudományos eszközök
  • Barátok PDF előnézete
  • Szerző és idéző információ
  • Vissza a tetejére

Modellelmélet

Elsőként jelent meg 2001. szeptember 10-én; érdemi felülvizsgálat, 2013. július 17., kedd

A modellelmélet a formális nyelvek és értelmezéseik, valamint az osztályozás fajtáinak kezdésével kezdődött, amelyeket egy adott formális nyelv megtehet. A mainstream elmélet ma már a matematika kifinomult ága (lásd az elsőrendű modellelmélet bejegyzését). De tágabb értelemben a modellelmélet bármely formális vagy természetes nyelv értelmezésének tanulmányozása set-elméleti struktúrák segítségével, Alfred Tarski igazságmeghatározásának mint paradigmának. Ebben a tágabb értelemben a modellelmélet több ponton megfelel a filozófiának, például a logikai következtetés elméletében és a természetes nyelvek szemantikájában.

  • 1. A modellelmélet alapelvei
  • 2. Modell-elméleti meghatározás
  • 3. Modell-elméleti következmény
  • 4. Kifejező erő
  • 5. Modellek és modellezés
  • Bibliográfia
  • Tudományos eszközök
  • Egyéb internetes források
  • Kapcsolódó bejegyzések

1. A modellelmélet alapelvei

Időnként olyan mondatot írunk vagy beszélünk, amelyben sem a valóságnak, sem a hamisnak nem adnak kifejezést, mert hiányzik néhány lényeges információ arról, hogy mit jelent a szó. Ha tovább adjuk ezeket az információkat, hogy (S) valódi vagy hamis állítást fejezzen ki, akkor azt mondják, hogy értelmezzük (S), és a hozzáadott információt hívjuk a (S) értelmezésének.. Ha az értelmezés (I) valamivel igaznak tekinti (S), akkor azt mondjuk, hogy (I) a (S) modellje, vagy hogy (I) kielégíti (S), az '(I / vDash S) szimbólumokkal. Egy másik módszer annak kijelentésére, hogy (I) a (S) modellje, azt jelenti, hogy (S) igaz (I) -ben, és így van a modell-elméleti igazság fogalmára, amely az igazság egy adott értelmezésben. De nem szabad megfeledkeznünk arról, hogy az '(S) igaz (I) -ben' áll, csak az '(S) parafázisa, ha úgy értelmezzük, mint (I), igaz'tehát a modell-elméleti igazság parazita a sima közönséges igazságon, és ezt mindig újrafogalmazhatjuk.

Például mondhatnám

Megöli mindet,

és felajánlja azt az értelmezést, hogy „ő” Alfonso Arblaster, a The Crescent, Beetleford, és hogy „ők” a galambjai galambjai. Ez az értelmezés magyarázza (a) milyen objektumokra vonatkoznak egyes kifejezések és (b) milyen osztályokba esnek át néhány mennyiségi meghatározó. (Ebben a példában van egy számszerűsítő: „mindegyik”). Az a) és b) elemből álló értelmezések nagyon gyakran jelennek meg a modellelméletben, és struktúrákként ismertek. A modellezés bizonyos fajtái bizonyos típusú struktúrákat használnak; például a matematikai modellelmélet hajlamos úgynevezett elsőrendű struktúrákat használni, a modális logika modellelmélete pedig Kripke struktúrákat használ stb.

Az előző bekezdésben szereplő struktúra (I) egy rögzített objektumot és egy rögzített osztályt foglal magában. Mivel ma leírtuk a szerkezetet, az osztály a galambok osztálya az Alfonso manapság tetején, nem pedig azok, amelyek holnap jönnek helyettesíteni őket. Ha Alfonso Arblaster ma megöli az összes galambot a tetőtérben, akkor (I) ma teljesíti az idézett mondatot, de holnap nem fogja kielégíteni, mert Alfonso nem tudja ugyanazokat a galambokat kétszer megölni. Attól függően, hogy mit kíván használni a modellelmélethez, örömmel értékelheti a mai mondatokat (az alapértelmezett idő), vagy rögzítheti, hogy ezek miként teljesülnek egyszerre, a másik pedig nem. Ez utóbbi esetben újra modellezheti a modell fogalmát, és írhatja az '(I / vDash_t S)' kifejezést, hogy azt jelenti, hogy (I) (S) modellje (t) időben. Ugyanez vonatkozik a helyekre,vagy bármi másra, amelyet a mondat más implicit index jellemzői vehetnek fel. Például, ha hiszel a lehetséges világokban, indexelheti a (vDash) lehetséges világot, ahol a mondatot ki kell értékelni. A modellelmélet a set elmélet felhasználása mellett teljesen agnosztikus attól, hogy milyen dolgok léteznek.

Vegye figyelembe, hogy az objektumok és osztályok egy struktúrában olyan címkéket hordoznak, amelyek a mondatban a megfelelő kifejezésekhez irányítják őket. Ezek a címkék a szerkezet nélkülözhetetlen részét képezik.

Ha ugyanazt az osztályt használjuk az összes mennyiségi mutató értelmezésére, akkor az osztályt a struktúra tartományának vagy univerzumának nevezzük. De néha vannak olyan osztályozók is, amelyek különböző osztályokonként változnak. Például, ha mondom

Az egyik ilyen furcsa betegség az összes madár megölése.

olyan értelmezést fog keresni, amely a betegségek osztályát az „ezekre a furcsa betegségekre”, a madarak osztályát pedig a „madarak” -ra rendeli. Az értelmezések, amelyek két vagy több osztályt adnak a különféle mennyiségi meghatározók között, sokrétűek, és ezeket az osztályokat néha sorrendnek nevezik.

A fenti ötletek továbbra is hasznosak lehetnek, ha egy (S) mondattal kezdjük, amely igaz vagy hamis mondatot ad, anélkül, hogy további értelmezésre lenne szükség. (A modellelméleti szakemberek szerint egy ilyen mondat teljesen értelmezhető.) Például tekinthetjük a teljesen értelmezett mondat téves értelmezését (I) (S). Az (S) téves értelmezése, amely valóra vált, az (S) nem szabványos vagy nem szándékos modellje. A matematika nem szabványos elemzésnek nevezett ága a matematikai állítások nem szabványos modelljein alapszik a valós vagy komplex számrendszerekről; lásd az alábbi 4. szakaszt.

Beszélünk a természetes nyelvek modell-elméleti szemantikájáról is, amely a természetes nyelvi mondatok jelentésének leírására szolgál, nem pedig a jelentések megadására. A szemantika és a modellelmélet közötti kapcsolat kissé közvetett. A Tarski 1933-os igazságmeghatározásában rejlik. További részletekért lásd Tarski igazságmeghatározásainak bejegyzését.

2. Modell-elméleti meghatározás

Egy (S) mondat minden lehetséges értelmezését két osztályba osztja: azok, amelyek modellezik, és azok, amelyek nem. Ilyen módon határozza meg az osztályt, nevezetesen az összes modelljének osztályát, írta: (Mod (S)). Jogi példának tekintve a mondatot

Az első személy az ingatlanot a második személyre ruházta át, aki ezzel a vagyont a harmadik személy javára birtokolja.

meghatározza a szerkezetek osztályát, amelyek például felcímkézett négyzet alakúak lehetnek, például (a címke írása a bal oldalon):

  • az első személy = Alfonso Arblaster;
  • ingatlan = az elhagyott föld Alfonso ház mögött;
  • a második személy = John Doe;
  • a harmadik személy = Richard Roe.

Ez egy tipikus modell-elméleti meghatározás, amely meghatározza a struktúrák osztályát (ebben az esetben azt az osztályt, amelyet az ügyvédek bizalmi vagyonként ismertek).

A modell-elméleti meghatározás ötletét kiterjeszthetjük egyetlen (S) mondatról egy mondat (T) mondatra; (Mod (T)) az összes értelmezés osztálya, amely a ((T)) összes mondatának egyidejű modellje. Ha a mondatok halmazát (T) ilyen módon határozzák meg, akkor a matematikusok azt mondják, hogy a (T) elmélet vagy axiómák halmaza, és hogy (T) axiomatizálja az osztályt (mod (T)).

Vegyük például a következő elsőrendű mondatokat:

) kezdje el {igazítani *} & / forall x / forall y / forall z (x + (y + z) = (x + y) + z). \& / forall x (x + 0 = x). \& / forall x (x + (-x) = 0). \& / forall x / forall y (x + y = y + x). / End {align *})

A címkék itt a „+” kiegészítő szimbólum, a „(-)” mínusz szimbólum és a „0” állandó szimbólum. Az értelmezésnek meg kell határoznia a mennyiségi meghatározók tartományát is. Egy kikötéssel a mondatmodellek pontosan azok a struktúrák, amelyeket a matematikusok abeli csoportokként ismernek. Feltétel az, hogy egy abeliai csoportban (A) a tartománynak tartalmaznia kell a 0 szimbólum értelmezését, és bezárva kell lennie a + és (-) szimbólumok értelmezése alatt. A matematikai modell elméletben ezt a feltételt (vagy más függvény és állandó szimbólumok megfelelő feltételeit) épít egy struktúra meghatározásába.

Minden matematikai struktúra egy adott elsőrendű nyelvhez van kötve. Egy struktúra bizonyos predátum, függvény és állandó szimbólumok értelmezését tartalmazza; minden predátum vagy függvényszimbólum fix aritással rendelkezik. Ezen szimbólumok gyűjteményét (K) a struktúra aláírásának nevezzük. Az aláírásban szereplő szimbólumokat gyakran nem logikai állandóknak nevezik, és régebbi nevek primitívjeik. Az aláírás elsőrendű nyelve (K) az elsőrendű nyelv, amely a (K) szimbólumok alapján épül fel, az = egyenlőségjelvel együtt, hogy összeállítsák atomképleteit. (Lásd a klasszikus logika bejegyzését.) Ha (K) egy aláírás, (S) az aláírás nyelvének mondata (K) és (A) olyan struktúra, amelynek aláírása (K), azért, mert a szimbólumok megegyeznek, tudjuk, hogy (A) igaz (hamis) vagy hamis (). Tehát az abeli csoportok osztályát úgy definiáljuk, hogy az aláírás összes struktúrájának osztálya legyen az ((+), (-), ((0)), amelyek a fenti mondatok modelljei. Eltekintve attól, hogy formális elsőrendű nyelvet használ, ez pontosan az algebrai szavak szokásos meghatározása az abeliai csoportok osztályáról; A modellelmélet egyfajta meghatározást formalizál, amely rendkívül általános a matematikában.

Most az abeliai csoportok meghatározó axiómáinak háromféle szimbóluma van (az írásjelektől eltekintve). Először egy = logikai szimbólum van, egy rögzített jelentéssel. Másodszor, vannak a nem logikai állandók, amelyek értelmezésüket azáltal kapják meg, hogy egy adott struktúrára alkalmazzák; az azonosító szimbólumokat össze kell csoportosítani velük, mivel a struktúra meghatározza azt a tartományt is, amelyen a mennyiségi meghatározók tartománya található. Harmadszor pedig a (x, y) változók stb. A szimbólumok háromszintű mintája lehetővé teszi az osztályok második módon történő meghatározását. A nem logikus állandók értelmezésének keresése helyett, amely valósítja meg a mondatot, rögzítjük a nem logikai állandók értelmezését egy adott (A) szerkezet kiválasztásával, és az ((A) elemek eleminek hozzárendelését keressük olyan változók, amelyek egy adott képletet valóra tesznek (A) -ben.

Például legyen (mathbb {Z}) egész számok additív csoportja. Elemei az egész számok (pozitív, negatív és 0), a (+), (-), (0) szimbólumok szokásos jelentéssel bírnak. Vegye figyelembe a képletet

[v_1 + v_1 = v_2.)

Ha a (- 3) számot (v_1), a (- 6) számot (v_2) -hez rendeli, akkor a képlet igaznak bizonyul (mathbb {Z}) -ben. Kifejezzük ezt azzal, hogy a ((- 3, -6)) pár megfelel a következő képletnek: (mathbf {Z}). Hasonlóképpen (15,30) és (0,0) kielégítik, de ((2, -4)) és (3,3) nem. Így a képlet meghatározza az egész számok bináris relációját, nevezetesen az egész párok halmazát, amely kielégíti azt. Az így definiált relációt (A) struktúrában elsőrendű definiálható relációnak nevezzük (A) -ben. Hasznos általánosítás, ha lehetővé teszi, hogy a definiáló képlet hozzáadott neveket használjon az (A) bizonyos elemekre; ezeket az elemeket paramétereknek nevezzük, majd a kapcsolat paraméterekkel meghatározható.

Ez a második típusú meghatározás, amely a struktúrán belüli viszonyokat határozza meg, nem pedig a szerkezeti osztályokat, szintén formalizálja a közös matematikai gyakorlatot. De ezúttal a gyakorlat inkább a geometriahoz tartozik, mint az algebraihoz. A kapcsolat felismerhető a képlet által meghatározott valós számok mezőjében

[v_1 ^ 2 + v_2 ^ 2 = 1.)

Ez az eredeti sugara köré eső 1 sugarú kör, a valósíkban. Az algebrai geometria tele van ilyen jellegű meghatározásokkal.

Az 1940-es évek során több ember (elsősorban Anatolii Mal'tsev Oroszországban, Alfred Tarski az Egyesült Államokban és Abraham Robinson Nagy-Britanniában) számára tapasztalta, hogy a klasszikus logika metatörténeteit lehet felhasználni az olyan matematikai tételek bizonyítására, amelyek az általunk kétféle módon definiált osztályokról szólnak: csak leírtam. 1950-ben Robinsont és Tarsket egyaránt meghívták, hogy forduljanak a matematikusok nemzetközi kongresszusához Cambridge Mass.-Ban az új tudományágról (amelynek még nem volt neve - Tarski 1954-ben javasolta a „modellek elméletét”). Robinson e kongresszushoz intézett beszédének következtetése érdemes idézni:

A jelen cikkben bemutatott konkrét példák megmutatják, hogy a kortárs szimbolikus logika hasznos eszközöket hozhat - bár nem feltétlenül mindenhatónak - a tényleges matematika fejlesztésére, különösen az algebrai és - úgy tűnik - a algebrai geometria. Ez egy olyan törekvés megvalósítása, amelyet Leibniz már 1679-ben Huyghens-nek címzett levélben fejezte ki.

Valójában Mal'tsev már néhány évvel korábban meglehetősen mélyen alkalmazta a modellelméletet a csoportelméletben, ám akkori politikai körülmények között Oroszországban végzett munkája még nem volt ismert Nyugaton. A huszadik század végére Robinson reményei eleget tettek; lásd az elsőrendű modellelmélet bejegyzését.

A fenti kettő mellett a modellelméletben még legalább kétféle definíció létezik. A harmadik értelmezés értelmezés (az értelmezések sajátos esete, amelyekkel kezdtük). Itt kezdjük egy (A) struktúrával, és felépítünk egy olyan (B) struktúrát, amelynek aláírásának nem kell kapcsolódnia a (A) aláíráshoz, meghatározva a (B) tartomány (X)), valamint a (B) összes felcímkézett kapcsolata és funkciója, hogy a (A) pontban meghatározott paraméterekkel meghatározott képletekben definiálhatók legyenek. További finomítás egy meghatározható ekvivalencia-összefüggés megtalálása a (X) -on, és úgy, hogy a ((B)) tartománya nem magának a ((X)) -nek, hanem ennek a kapcsolatnak az ekvivalencia osztályainak halmaza. Az így felépített (B) struktúrát állítólag a (A) struktúrában kell értelmezni.

Egy egyszerű példa, szintén a szokásos matematikából, a (mathbb {N}) szerkezetben lévő 0 (1, 2, stb.) Természetes számokból álló egész számok csoportjának (mathbb {Z}) értelmezése. 0, 1 és + címkékkel. A (mathbb {Z}) tartomány felépítéséhez először az összes rendezett természetes számok párjának (X) halmazát vesszük (egyértelműen definiálható kapcsolat (mathbb {N}) -ben), majd ezt a halmazot ((X)) az (ek) ekvivalencia relációt definiáljuk

[(a, b) sim (c, d) szöveg {akkor és csak akkor, ha} a + d = b + c)

(újra meghatározható). A (mathbb {Z}) domain ezen kapcsolat ekvivalencia osztályaiból áll. Az összeadást a (z) (mathbb {Z}) oldalon határozza meg

[(a, b) + (c, d) = (e, f) szöveg {akkor és csak akkor, ha} a + c + f = b + d + e.)

A ((a, b)) ekvivalencia osztálya egész szám lesz (a (b - b)).

Ha egy struktúrát (B) egy struktúrában (A) értelmezzük, akkor minden (B) -ről szóló elsőrendű állítás visszafordítható (A) -ról szóló elsőrendű utasításra, és ebben így leolvashatjuk a (B) teljes elméletét a (A) fogalmától. Valójában ha ezt a felépítést nem csak egy struktúrára (A), hanem egy elmélet modellcsaládjára (T) hajtunk végre, mindig ugyanazokat a meghatározó képleteket használva, akkor az így kapott szerkezetek mind egy elmélet (T '), amely leolvasható (T) -ból, és a definiáló képletek. Ez pontosan értelmezte azt az állítást, miszerint a (T ') elméletet a (T) elméletben kell értelmezni. A tudományos filozófusok néha kísérletezték ezt az értelmezés fogalmát, hogy pontosítsák, mit jelent az egyik elmélet redukálhatósága a másikhoz. De a tudományos elméletek közötti redukciók reális példái általában sokkal finomabbnak tűnnek, mint ezt az egyszerű gondolkodású modell-elméleti ötlet megengedi. Lásd az interteróriák közötti kapcsolatok fizikában című bejegyzését.

A definiálhatóság negyedik fajtája egy fogalompár, implicit definiálhatóság és egy elmélet egy adott kapcsolatának explicit definiálhatósága. Lásd az elsőrendű modellelmélet bejegyzésének 3.3 szakaszát.

Sajnos korábban nagyon zavaros elmélet létezett a modell-elméleti axiómákról, amely szintén implicit meghatározás néven szólt. A tizenkilencedik század végére a matematikai geometria általában nem volt a tér tanulmányozása, és olyan szerkezeti osztályok tanulmányává vált, amelyek megfelelnek bizonyos „geometriai” axiómáknak. Az olyan geometriai kifejezések, mint a „pont”, „vonal” és „a” között fennmaradtak, de csak axiómák primitív szimbólumaiként; már nincs értelme velük kapcsolatban. Tehát a régi kérdés, hogy Euclid párhuzamos posztulációja (mint a térről tett állítás) levezethető volt-e Euclid más, a térre vonatkozó feltételezéséből, már nem volt érdekes a geometriai szempontból. Ehelyett a geometriai adatok azt mutatták, hogy ha az ember egy elmélet formájában írja le Euclid többi feltételezésének legfrissebb változatát,akkor sikerült olyan (T) modelleket találni, amelyek nem felelnek meg a párhuzamos posztulátumnak. (Lásd Lobachevski és Klein hozzájárulását a 19. században a geometria bejegyzéséhez.) 1899-ben David Hilbert kiadott egy könyvet, amelyben ilyen modelleket készített, pontosan az általunk leírt értelmezési módszer alkalmazásával.

Problémák merültek fel azzal, hogy Hilbert és mások leírják, amit csinálnak. A történelem bonyolult, de nagyjából a következő történt. A tizenkilencedik század közepe körül például az emberek észrevették, hogy egy abeliai csoportban a mínusz funkció meghatározható 0 és + szerint (nevezetesen: (- a) az (b) elem, hogy (a + b = 0)). Mivel ez a mínusz leírás valóban az abeli csoportokat meghatározó axiómák egyikét képezi, mondhatjuk (JD Gergonne kifejezés felhasználásával, aki nem felelős a későbbi felhasználásért), hogy az abeli csoportok axiómái implicit módon meghatározzák mínusz. Az akkori zsargonban nem azt mondták, hogy az axiómák definiálják a mínusz funkciót, hanem hogy a mínusz fogalmát definiálják. Tegyük fel, hogy váltunk és megpróbáljuk definiálni a pluszt mínusz és 0 szempontjából. Így ezt nem lehet megtenni, mivel lehet két abeliai csoport azonos 0 és mínusz, de eltérő plusz funkcióval. A tizenkilencedik századi matematikusok ahelyett, hogy ezt mondnák, arra a következtetésre jutottak, hogy az axiómák csak részben definiálják a pluszt mínusz és 0 szempontjából. Miután sok mindent lenyeltek, azt mondták, hogy az axiómák együttesen képezik a plusz, mínusz és 0 fogalmak implicit meghatározását. együtt, és hogy ez az implicit meghatározás csak részleges, de pontosan annyit mond ezekről a fogalmakról, amennyire tudnunk kell.azt mondták, hogy az axiómák együttesen képezik a plusz, mínusz és 0 fogalmak implicit meghatározását, és hogy ez az implicit definíció csak részleges, de pontosan annyit mond ezekről a fogalmakról, amennyire tudnunk kell.azt mondták, hogy az axiómák együttesen képezik a plusz, mínusz és 0 fogalmak implicit meghatározását, és hogy ez az implicit definíció csak részleges, de pontosan annyit mond ezekről a fogalmakról, amennyire tudnunk kell.

Azon gondolkodunk, hogy történhet-e olyan, hogy ötven évig senki sem vitatta ezt az ostobaságot. Valójában néhány ember vitatta ezt, nevezetesen Moritz Pasch geométer, aki Vorlesungen über Neuere Geometrie (1882) 12. szakaszában ragaszkodott ahhoz, hogy a geometriai axiómák ne mondjanak semmit a „pont”, „vonal” stb. Jelentéséről. Ehelyett mondta, az axiómák összekapcsolják a fogalmakat. Ha valamelyik struktúrára valamilyen rendezett (n) - halmaz stb. Csoportra gondolunk, akkor a (Mod (T)) osztály (n) - számú relációvá válik, és Pasch-fiókja egyetért a miénkkel. De nem tudta pontosítani a részleteket, és van bizonyíték arra, hogy kortársai (és néhány újabb kommentátor) úgy gondolták, hogy azt állítja, hogy az axiómák nem határozzák meg a „pont” és a „vonal” jelentését,de meghatározzák azokat a relációs kifejezéseket, mint például a "között" és "az esettel"! Frege az implicit definíciós doktrína bontását messzemenően bonyolult volt, de késő volt menteni, hogy Hilbert azt állítsa, hogy Grundlagen der Geometrie kezdetén azt állítja, hogy axiómái a „hazugság” kapcsolatok „pontos és matematikailag megfelelő leírását” adják. a „és egybevágó” között. Szerencsére Hilbert matematika önmagáért beszél, és ezeket a filozófiai hamis passzokat egyszerűen megkerülni lehet. A modell-elméleti beszámoló, amelyet most ennek a munkakörnek a helyes leírásaként veszünk, úgy tűnik, hogy először a Giuseppe Peano körüli csoportban felbukkant az 1890-es években, és Bertrand Russell matematikai alapelveivel 1903-ban érte el az angol nyelvű világot.de késő volt menteni, hogy Hilbert azt állítsa, hogy Grundlagen der Geometrie elején azt állítja, hogy axiómái „pontos és matematikailag megfelelő leírást” adnak a „hazugság”, „a” és a „kongruens” közötti kapcsolatokról. Szerencsére Hilbert matematika önmagáért beszél, és ezeket a filozófiai hamis passzokat egyszerűen megkerülni lehet. A modell-elméleti beszámoló, amelyet most ennek a munkakörnek a helyes leírásaként veszünk, úgy tűnik, hogy először a Giuseppe Peano körüli csoportban felbukkant az 1890-es években, és Bertrand Russell matematikai alapelveivel 1903-ban érte el az angol nyelvű világot.de késő volt menteni, hogy Hilbert azt állítsa, hogy Grundlagen der Geometrie elején azt állítja, hogy axiómái „pontos és matematikailag megfelelő leírást” adnak a „hazugság”, „a” és a „kongruens” közötti kapcsolatokról. Szerencsére Hilbert matematika önmagáért beszél, és ezeket a filozófiai hamis passzokat egyszerűen megkerülni lehet. A modell-elméleti beszámoló, amelyet most ennek a munkakörnek a helyes leírásaként veszünk, úgy tűnik, hogy először a Giuseppe Peano körüli csoportban felbukkant az 1890-es években, és Bertrand Russell matematikai alapelveivel 1903-ban érte el az angol nyelvű világot. Szerencsére Hilbert matematika önmagáért beszél, és ezeket a filozófiai hamis passzokat egyszerűen megkerülni lehet. A modell-elméleti beszámoló, amelyet most ennek a munkakörnek a helyes leírásaként veszünk, úgy tűnik, hogy először a Giuseppe Peano körüli csoportban felbukkant az 1890-es években, és Bertrand Russell matematikai alapelveivel 1903-ban érte el az angol nyelvű világot. Szerencsére Hilbert matematika önmagáért beszél, és ezeket a filozófiai hamis passzokat egyszerűen megkerülni lehet. A modell-elméleti beszámoló, amelyet most ennek a munkakörnek a helyes leírásaként veszünk, úgy tűnik, hogy először a Giuseppe Peano körüli csoportban felbukkant az 1890-es években, és Bertrand Russell matematikai alapelveivel 1903-ban érte el az angol nyelvű világot.

3. Modell-elméleti következmény

Tegyük fel, hogy (L) az aláírás nyelve (K, T) (L) mondatok halmaza, és (phi) (L) mondata. Aztán a kapcsolat

) Mod (T) subseteq / Mod (phi))

kijelenti, hogy az aláírás minden struktúrája, amely a (T) modellje, szintén (phi) modellje. Ezt modell-elméleti következményviszonynak nevezik, és rövidre írják

[T / vDash / phi)

A (vDash) kettős használata baj. De abban az esetben, ha (L) elsőrendű, akkor a teljesség tétel (lásd a klasszikus logika bejegyzését) azt mondja nekünk, hogy '(T / vDash / phi)' akkor és csak akkor áll fenn, ha van bizonyíték. (phi) (T) -tól, egy általánosan írott relációval

[T / vdash / phi)

Mivel ebben az esetben a ((v vDash) és a (v v. Mivel azonban az itt leírtak nem korlátozódnak az elsőrendű nyelvekre, a biztonság azt javasolja, hogy itt tartsuk be a (vDash) szót.

A tizenkilencedik század közepe előtt a logikai tankönyvek általában megtanították a hallgatónak, hogy ellenőrizze egy érv érvényességét (mondjuk angolul), megmutatva, hogy van egy a sok szabványos forma közül, vagy átszervezve egy ilyen formára. A standard formák szintaktikai és / vagy szemantikai érvelési formák voltak angolul. A folyamat veszélyes volt: a szemantikai formák szinte a definíció szerint nem láthatók a felületen, és nincs olyan tisztán szintaktikai forma, amely garantálja az érvek érvényességét. Ez az oka annak, hogy a régi tankönyvek többségében hosszú szakasz volt a „tévedésekről” - az érvénytelen érvek érvényességének módjai.

1847-ben George Boole megváltoztatta ezt az elrendezést. Például az argumentum érvényesítéséhez

Minden uralkodó ember. Egyetlen ember sem tévedhetetlen. Ezért nem tévedhetetlen lények uralkodók.

A Boole a (P, Q, R) szimbólumokat osztályok neveként értelmezi:

(P) az összes uralkodó osztálya.

(Q) minden ember osztálya.

(R) az összes tévedhetetlen lény osztálya.

Aztán rámutat, hogy az eredeti érv halmaz-elméleti következménnyé alakul:

[(P / subseteq Q), (Q / cap R = 0) vDash (R / cap P = 0))

(Ez a példa Stanley Jevons, 1869-ből származik. Boole saját fiókja idioszinkratikus, de azt hiszem, hogy Jevons példája pontosan képviseli Boole szándékait.) Ma a (P forall x (Px / Qar x jobboldali jobboldali)) írnánk, nem pedig a (P / subseteq Q), de ez alapvetõen a (P / subseteq Q) meghatározása, tehát a különbség köztünk és a Boole között csekély.

Amennyiben a Boole-t követik, a modern logikai tankönyvek megállapítják, hogy az angol érvek érvényesek-e, ha modellelméleti következményekre redukálják azokat. Mivel a modell-elméleti következmények osztályának - legalábbis az elsőrendű logikában - nincs a régi érvelési formák homályossága, az ilyen stílusú logika tankönyvei már régen elhagyták a téveszmékről szóló fejezetet.

De van egy figyelmeztetés, amely fennmarad a régi tankönyvekből: Ha az érvelést úgy formázza meg, hogy az nem modell-elméleti következmény, akkor ez nem jelenti azt, hogy az érv nem érvényes. Ez csak azt jelentheti, hogy elmulasztotta elemezni az érv fogalmait mélyen, még mielőtt formalizálta volna. A régi tankönyvek ezt a „témák” elnevezésű rongyzsák-szakaszban tárgyalták (azaz tippeket találtak olyan érvek megtalálására, amelyek esetleg hiányoztak). Íme egy példa Spanyolország Péterének a 13. századi Summulae Logicales-ből:

- Van egy apa. Ezért van egy gyermek. … Honnan származik ez az érv? A kapcsolatról. A maximális érték: Ha egy korrelált pár egyikét pozícionáljuk, akkor a másik pedig a.

Hilbert és Ackermann, esetleg a modern stílus megteremtését segítő tankönyv, a III.3. Szakaszban egy nagyon hasonló példát tárgyalnak: „Ha van egy fiú, akkor van egy apa”. Rámutatnak, hogy ezt bármilyen kísérlet indokolja a szimbolizmus felhasználásával

) létezik xSx / jobbra nyíl / létezik xFx)

kudarcra van ítélve. „Ennek az állításnak a bizonyítása csak akkor lehetséges, ha a két predikátum jelentését fogalmi szempontból elemezzük, amelyek előfordulnak.” És természetesen az elemzés pontosan megtalálja azt a kapcsolatot, amelyre Spanyolország Péter utalt.

Másrészt, ha az angol érve érvénytelen modell-elméleti következménnyé válik, a következményre adott példa jó utalásokat adhat arra vonatkozóan, hogyan lehet leírni egy olyan helyzetet, amely az érvelésének feltételeit valódi és a következtetés hamisnak tekinti. De ez nem garantált.

Számos kérdést felvethetünk azzal kapcsolatban, hogy a modern tankönyv eljárás valóban megragadja-e a logikai következmények ésszerű fogalmát. Például Boole esetében a set-theoretikus következményekre, amelyekre támaszkodik, mind az elsőrendű logika formális igazolásaival könnyen bebizonyíthatók, még set-teoretikus axiómák nélkül is; és a teljesség tétel szerint (lásd a klasszikus logika bejegyzését) ugyanez igaz az elsőrendű logikára. De néhány más logika esetében ez természetesen nem igaz. Például a modell-elméleti következményviszony az idő bizonyos logikájához bizonyos tényeket feltételez az idő fizikai szerkezetéről. Ezenkívül, amint maga Boole rámutatott, az angol argumentumból a set-theoretikus formájába történő fordítása megköveteli, hogy higgyünk abban, hogy az argumentumban használt minden tulajdonság esetébenvan minden osztály, amely rendelkezik a tulajdonsággal. Ez veszélyesen közel áll Frege következetlen megértési axiómájához!

Alfred Tarski 1936-ban javasolta az érvek logikus következményeinek meghatározását egy teljesen értelmezett formális nyelvben. Javaslata szerint az érv akkor és csak akkor érvényes, ha: a nem logikus szimbólumok megengedett újraértelmezése esetén, ha a helyzetek igazak, akkor a következtetés is így van. Tarski feltételezte, hogy az engedélyezett újraértelmezések osztálya leolvasható a nyelv szemantikájából, ahogyan az igazság-meghatározásban szerepel. Nem határozta meg, hogy mely szimbólumok tekinthetők logikának; valójában azt remélte, hogy ez a szabadság lehetővé fogja tenni a szükségletek különféle típusainak meghatározását, esetleg elválasztva a „logikát” az „analitikustól”. Az egyik dolog, amely megnehezíti Tarski javaslatának értékelését, az, hogy teljes mértékben figyelmen kívül hagyja a fent tárgyalt kérdést, a fogalmak elemzését úgy, hogy elérjék a közöttük lévő összes logikai kapcsolatot. Az egyetlen hihető magyarázat, amit erre látok, az ő zárójeles megjegyzésében rejlik

az összes mondatban esetlegesen előforduló meghatározott jelek kiküszöbölésének szükségessége, azaz a primitív jelekkel való helyettesítésük szükségessége.

Ez azt sugallja számomra, hogy azt akarja, hogy primitív jelei egyértelműen kikényszeríthetetlenek legyenek. De akkor kikötés útján pusztán véletlenszerű, ha a logikus következménye elképzelése mindent magában foglal, amelyet általában logikus következménynek számítanak.

A történészek a Tarski és az 1837-es Bernard Bolzano Wissenschaftslehre 147. szakaszában szereplő hasonlóságot említik. A Tarskihoz hasonlóan Bolzano egy javaslat érvényességét határozza meg a kapcsolódó állítások családjának igazsága szempontjából. Tarski-szal ellentétben Bolzano a népi állításokra tesz javaslatot, nem pedig a pontosan meghatározott szemantikával rendelkező formális nyelv mondataira.

Ezen a szakaszon lásd a logikai következtetés bejegyzését is.

4. Kifejező erő

A (S) mondat határozza meg a modellek osztályát (Mod (S)). Két nyelv (L) és (L ') miatt összehasonlíthatjuk őket azzal, hogy megkérdezzük, hogy minden osztály (Mod (S)), a (S) mondattal (L), a (Mod (S ')) űrlap osztálya, ahol (S') (L ') mondata. Ha a válasz igen, akkor azt mondjuk, hogy (L) redukálható (L ') értékre, vagy hogy (L') legalább annyira kifejező, mint (L).

Például, ha (L) egy elsőrendű, azonosítóval rendelkező nyelv, amelynek aláírása egyszögű predikátumszimbólumokból áll, és (L ') az a nyelv, amelynek mondatai négy szillogista formaból állnak (Összes (A) vannak (B), néhány (A) (B), nem (A) vannak (B), néhány (A) nem (B)) ugyanazok a predikatív szimbólumok, akkor (L ') redukálható (L) -re, mivel a szilogelisztikus formák kifejezhetőek az elsőrendű logikában. (Vannak olyan veszekedések, amelyek a megfelelő módon kifejezik őket; lásd az ellenzék hagyományos téren található bejegyzést.) De az elsőrendű nyelv (L) természetesen nem redukálható a (L ') nyelvre. szilogizmusok közül, mivel a (L) -ben leírhatunk egy mondatot, amely szerint pontosan három elem kielégíti (Px) -ot, és ezt nem lehet a mondattani formák felhasználásával mondani. Vagy mozog a másik irányba,ha harmadik nyelvet alkotunk (L '') azáltal, hogy hozzáadjuk a (L) kvantifikátort (Qx), azzal a jelentéssel, hogy „Felfüggeszthetetlenül sok elem van (x) olyan, hogy…”, akkor triviálisan (L) redukálható (L '') értékre, de a lefelé mutató Loewenheim-Skolem tétel egyszerre azt mutatja, hogy (L '') nem redukálható (L) -re.

Ezek a fogalmak hasznosak az adatbázis-lekérdezési nyelvek erősségének elemzésében. Az adatbázis lehetséges állapotait struktúrákként gondolhatjuk, és egy egyszerű Igen / Nem lekérdezés olyan mondattá válik, amely az Igen választ választja ki, ha az adatbázis modellje, és egyébként Nem. Ha az egyik adatbázis-lekérdezési nyelv nem redukálható a másikra, akkor az első olyan lekérdezéseket fejezhet ki, amelyeket a másodikban nem lehet kifejezni.

Tehát technikákra van szükségünk a nyelvek kifejező erősségeinek összehasonlításához. Az egyik legerősebb elérhető technika az Ehrenfeucht és a Fraïssé oda-vissza játékai a két játékos, a Spoiler és a Másoló között; a részletekért lásd a logika és játékok bejegyzését. Képzeljük el például, hogy a szokásos elsőrendű oda-vissza játékot {(G) játsszuk két struktúra (A) és (B) között. Ezeknek a játékoknak az elmélete megállapítja, hogy ha néhány elsőrendű mondat (phi) igaz az (A) és (B) egyikben, akkor van egy szám (n), amely kiszámítható (phi), azzal a tulajdonsággal, hogy a Spoilernek (G) stratégiája van, amely garantálja, hogy legfeljebb (n) lépésben nyer. Tehát fordítva: annak bizonyításához, hogy az elsőrendű logika nem képes megkülönböztetni a (A) és a ((B)), elegendő megmutatni, hogy minden véges (n)A sokszorosítónak olyan stratégiája van, amely garantálja, hogy nem veszíti el (G) az első (n) lépésben. Ha sikerül ezt bemutatnunk, akkor az következik, hogy egyetlen olyan nyelv, amely különbséget tesz a (A) és a (B) között, nem redukálható az (A) és (B) struktúrák elsőrendű nyelvére..

Ezek az oda-vissza játékok rendkívül rugalmasak. Először ugyanolyan értelme van a véges struktúrákban, mint a végtelen; a klasszikus modellelmélet sok más technikája feltételezi, hogy a struktúrák végtelenek. Zökkenőmentesen adaptálhatók sok nem elsőrendű nyelvre is.

1969-ben Per Lindström oda-vissza játékokat használt az elsőrendű logika néhány elvont jellemzésére kifejező ereje szempontjából. Az egyik tétele azt mondja, hogy ha (L) olyan nyelv, amelynek aláírása (K, L) minden elsőrendű szintaktikai művelet alatt zárva van, és (L) engedelmeskedik a lefelé mutató Loewenheim-Skolem tételnek egyes mondatok és a kompaktság tétel, akkor (L) redukálható az aláírás elsőrendű nyelvére (K). Ezek a tételek nagyon vonzóak; jó beszámolóért lásd Ebbinghaus, Flum és Thomas XII. fejezetét. De soha nem teljesítették ígéretüket. Nehéz megtalálni a többi logika hasonló jellemzését. Még az elsőrendű logika esetében is egy kicsit nehéz látni, hogy pontosan mit mondnak a karakterisztikák. De nagyon durván szólva,azt mondják nekünk, hogy az elsőrendű logika az az egyedi logika, amely két tulajdonsággal rendelkezik: (1) felhasználhatjuk tetszőlegesen bonyolult dolgok kifejezésére a véges mintákról, és (2) reménytelen, hogy megkülönböztessük az egyik végtelen bíboros és a másik között.

Ez a két tulajdonság (1) és (2) csak az elsőrendű logika tulajdonságai, amelyek lehetővé tették Abraham Robinson számára a nem szabványos elemzés felépítését. A háttér az, hogy Leibniz, amikor kitalálta a differenciális és az integrált kalkulust, végtelen karaktereket használt, azaz olyan számokat, amelyek 0-nál nagyobb és kisebb, mint az összes 1/2, 1/3, 1/4 stb. Sajnos ilyen valós számok nincsenek. A tizenkilencedik század során a Leibniz stílusú definíciókat és bizonyítékokat átírták, hogy korlátokról beszéljenek, a végtelenek helyett. Legyen (mathbb {R}) a struktúra, amely a valós számok mezőjéből áll, és minden olyan szerkezeti jellemzővel, amelyekre nevek adását adjuk: minden bizonnyal plusz és idő, esetleg sorrend, egészek halmaza, a függvények sin napló, stb. Legyen (L) az elsőrendű nyelv, amelynek aláírása (mathbb {R}). A (L) kifejező ereje miatt tetszőleges számú calculus tételt írhatunk (L) mondattá. A (L) kifejező gyengesége miatt nincs mód arra, hogy (L) kifejezzük azt, hogy (mathbb {R}) nincs végtelen karakter. Valójában Robinson a tömörségi tétel segítségével felépítette egy olyan struktúrát (mathbb {R} '), amely modellezi pontosan ugyanazokat a ((L)) mondatokat, mint a ((mathbb {R})), de végtelen kis. Mint Robinson megmutatta, Leibniz érveit az infinitesimals segítségével másolhatjuk a (mathbb {R} ') könyvben, és így bizonyíthatjuk, hogy a calculus különféle tételei igazak a (mathbb {R}') -re. De ezek a tételek kifejezhetők (L) -ben, tehát igazaknak kell lenniük a (mathbb {R}) -ben is.nincs lehetőség arra, hogy (L) kifejezzük, hogy (mathbb {R}) nincs végtelen karakter. Valójában Robinson a tömörségi tétel segítségével felépítette egy olyan struktúrát (mathbb {R} '), amely modellezi pontosan ugyanazokat a ((L)) mondatokat, mint a ((mathbb {R})), de végtelen kis. Mint Robinson megmutatta, Leibniz érveit az infinitesimals segítségével másolhatjuk a (mathbb {R} ') könyvben, és így bizonyíthatjuk, hogy a calculus különféle tételei igazak a (mathbb {R}') -re. De ezek a tételek kifejezhetők (L) -ben, tehát igazaknak kell lenniük a (mathbb {R}) -ben is.nincs lehetőség arra, hogy (L) kifejezzük, hogy (mathbb {R}) nincs végtelen karakter. Valójában Robinson a tömörségi tétel segítségével felépítette egy olyan struktúrát (mathbb {R} '), amely modellezi pontosan ugyanazokat a ((L)) mondatokat, mint a ((mathbb {R})), de végtelen kis. Mint Robinson megmutatta, Leibniz érveit az infinitesimals segítségével másolhatjuk a (mathbb {R} ') könyvben, és így bizonyíthatjuk, hogy a calculus különféle tételei igazak a (mathbb {R}') -re. De ezek a tételek kifejezhetők (L) -ben, tehát igazaknak kell lenniük a (mathbb {R}) -ben is.lemásolhatjuk Leibniz érveit az infinitesimals segítségével a (mathbb {R} ') fájlban, és így bizonyíthatjuk, hogy a kalkulus különféle tételei igazak a (mathbb {R}') fájlban. De ezek a tételek kifejezhetők (L) -ben, tehát igazaknak kell lenniük a (mathbb {R}) -ben is.lemásolhatjuk Leibniz érveit az infinitesimals segítségével a (mathbb {R} ') fájlban, és így bizonyíthatjuk, hogy a kalkulus különféle tételei igazak a (mathbb {R}') fájlban. De ezek a tételek kifejezhetők (L) -ben, tehát igazaknak kell lenniük a (mathbb {R}) -ben is.

Mivel a végtelen mintákat használó érveket általában könnyebb megjeleníteni, mint a korlátokat használó érveket, a nem szabványos elemzés hasznos eszköz a matematikai elemzők számára. Jacques Fleuriot Ph. D. az értekezés (2001) automatizálta a nem szabványos elemzés bizonyítási elméletét, és felhasználta a Newton Principia néhány bizonyítékának gépesítésére.

5. Modellek és modellezés

A jelenség modellezése egy formális elmélet felépítése, amely leírja és magyarázza azt. Egy szorosan összekapcsolt értelemben modellez egy rendszert vagy struktúrát, amelyet felépíteni tervez, leírással írva. Ez nagyon eltér a „modell” érzékelésétől, mint a modellelméletben: a jelenség vagy a rendszer „modellje” nem egy struktúra, hanem egy elmélet, gyakran formális nyelven. Az Universal Modeling Language, röviden UML, egy formális nyelv, amelyet erre a célra terveztek. Úgy tűnik, hogy az ausztrál haditengerészet egyszerre modell-teoretistát vett fel a „hidrodinamikai jelenségek modellezésére”. (Kérem, ne hívja fel őket!)

Egy kis történelem megmutatja, hogy a „modell” szónak miként jött létre ez a két eltérő felhasználás. A késő latin nyelven a „modellus” mérőeszköz volt, például a víz vagy a tej mérésére. A nyelv nehézségei alapján a szó három különböző szót generált angolul: penész, modul, modell. Gyakran egy eszköz, amely egy anyagmennyiséget mér, szintén előidéz egy formát az anyagnak. Ezt láthatjuk sajtformával, valamint a fémlevelekkel (a 17. század elején „moduli” -nak neveztek), amelyek a tintát a papírra viszik a nyomtatás során. Tehát a „modell” a kézben lévő tárgyra utal, amely kifejezi a világ más tárgyainak terveit: a művész modellje a művész ábrázolt formáját hordozza, míg Christopher Wren a Szent Pál-székesegyház „modulja” az építők útmutatását szolgálja.

Már a 17. század végén a „modell” szó jelenthet egy tárgyat, amely nem a valós objektumok, hanem a matematikai konstrukciók formáját mutatja. Leibniz azzal dicsekedett, hogy a matematika elvégzéséhez nincs szüksége modellekre. Más matematikusok örömmel használtak érdekes felületek gipsz vagy fém modelleket. A modellelmélet modelljei először az ilyen típusú modell elvont változataiként jelentek meg, elméletekkel a felület meghatározó egyenlet helyett. Másrészt a valós tárgyaknál maradhat, de formájukat egy elmélet, és nem a kézben lévő fizikai másolat segítségével mutathatják meg; A „modellezés” épít egy ilyen elméletet.

Zavaros félbeszaklatban van egy helyzet, amikor egy tudós egy egyenlettel írja le a világ jelenségét, például egy differenciálegyenletet, amelynek megoldásai exponenciális függvények. A modell az elmélet az egyenletből áll, vagy ezek az exponenciális függvények maguk a jelenség modellei? Az ilyen példák, amelyekben az elmélet és a struktúrák lényegében ugyanazt az információt szolgáltatják, alátámasztják Patrick Suppes állítását, miszerint „a modell fogalmának jelentése megegyezik a matematikában és az empirikus tudományokban” (idézett 1969. évi könyvének 12. oldala). lent). Számos tudományfilozófus folytatta azt a gondolatot, hogy a modell-elméleti modellek informális változatát használja a tudományos modellezéshez. Időnként a modelleket nem nyelvi jellegűnek írják le - ezt nehéz lehet összehangolni a fenti 1. szakaszban szereplő modelldefinícióval.

A kognitív tudomány egy olyan terület, ahol a modellek és a modellezés közötti különbség inkább elmosódik. A kognitív tudomány központi kérdése az, hogy miként reprezentáljuk a tényeket vagy lehetőségeket a fejünkben. Ha formalizáljuk ezeket a mentális reprezentációkat, akkor ezek valami „jelenségek modelljévé” válnak. Ez azonban egy komoly hipotézis, hogy valójában mentális reprezentációinknak sok a közös vonása az egyszerű készlet-elméleti struktúrákkal, tehát a modell-elméleti értelemben vett modellek is. 1983-ban két befolyásos kognitív tudományos munkát tettek közzé, mindkettő Mentális modellek cím alatt. Az első, amelyet Dedre Gentner és Albert Stevens szerkesztett, az emberek fizika alapvető tényeinek „fogalmazásairól” szólott; egyértelműen tartozik a „jelenségek modellezése” világába. A második, Philip Johnson-Laird, nagyrészt az érvelésről szól,és több szempontból felhívja a „modell-elméleti szemantika” fogalmát. A Johnson-Laird hagyomány kutatói inkább „modellelméletnek” hivatkoznak megközelítésükre, és bizonyos értelemben vettnek tekintik azt, amit modell-elméletnek nevezünk.

A képek és diagramok először úgy tűnik, hogy az elméletek és a modellek középtere felé lendülnek. A gyakorlatban a modellelméleti dolgozók gyakran képeket készítenek magukról a szerkezetekről, és a képeket a struktúrák átgondolására használják. Másrészt a képeken általában nem szerepel a címkézés, amely a modell-elméleti struktúrák alapvető jellemzője. Gyorsan növekszik a diagramokkal kapcsolatos érvelés, és ennek a munkának a túlnyomó tendenciája az, hogy a képeket és ábrákat inkább nyelvi, mint szerkezeti formának tekinti. Például Eric Hammer és Norman Danner (az Allwein és Barwise szerkesztett könyvében lásd a bibliográfiát) leírják a „Venn-diagramok modellelméletét”; maguk a Venn-diagramok jelentik a szintaxist, és a modellelmélet jelentésének set-elméleti magyarázata.

Juri Gurevich modell-teoretikus bevezette az elvont állapotgépek (ASM) alkalmazását a modellelméleti ötletek felhasználásának módjaként a számítógépes tudományban. Az Abstract State Machine webhely szerint (lásd az alábbi egyéb internetes forrásokat),

bármely algoritmus a természetes absztrakció szintjén modellezhető egy megfelelő ASM-mel. … Az ASM-ek klasszikus matematikai struktúrákat használnak a számítás állapotának leírására; a struktúrák jól érthető, pontos modellek.

Az alább idézett Börger és Stärk könyve hiteles beszámoló az ASM-ekről és azok felhasználásáról.

Ma elkészítheti nevét és vagyonát egy jó reprezentációs rendszer megtalálásával. Nincs ok arra, hogy minden ilyen rendszer jól illeszkedjen a modellelmélet szintaxisának / szemantikájának keretrendszeréhez, ám meglepő, ha a modell-elméleti ötletek továbbra sem járnak jelentős hozzájárulással ezen a területen.

Bibliográfia

Bevezető szövegek

  • Doets, K., 1996, Alapmodell elmélet, Stanford: CSLI Publications.
  • Hodges, W., 1997, Rövidebb modell elmélet, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Manzano, M., 1999, Model Theory, Oxford: Oxford University Press.
  • Rothmaler, P., 2000, Bevezetés a modellelméletbe, Amszterdam: Gordon és Breach.

Modell-elméleti meghatározás

  • Frege, G., 1906, „Grundlagen der Geometrie”, Jahresbericht der deutschen Mathematikervereinigung, 15: 293–309, 377–403, 423–430.
  • Gergonne, J., 1818, „Essai sur la théorie de la definition”, Annales de Mathématiques Pures et Appliquées, 9: 1–35.
  • Hilbert, D., 1899, Grundlagen der Geometrie, Lipcse: Teubner.
  • Hodges, W., 2008, „Tarski meghatározásának elmélete”, Patterson, D. Új esszé a Tarskiról és a filozófiáról, Oxford: Oxford University Press, 94–132.
  • Lascar, D., 1998, „Perspektiv historique sur les rapports entre la théorie des modèles et l'algèbre”, Revue d'histoire des mathématiques, 4: 237–260.
  • Mancosu, P., Zach, R. és Badesa, C., 2009, „A matematikai logika fejlesztése Russelltől Tarskiig”, L. Haaparanta (szerk.), A modern logika fejlesztése, Oxford: Oxford University Press, 318–470.
  • Pasch, M., 1882, Vorlesungen über Neuere Geometrie, Berlin: Springer-Verlag.
  • Robinson, A., 1952, „A szimbolikus logika alkalmazásáról az algebra számára”, A Matematikusok Nemzetközi Kongresszusának folyóiratai (Cambridge, MA, 1950, 1. kötet), Providence, RI: American Mathematical Society, 686–694.
  • Suppes, P., 1957, A meghatározás elmélete a bevezetés logikájába (8. fejezet), Princeton, NJ: Van Nostrand.
  • Tarski, A., 1954, “Hozzájárulások a modellelmélethez, én”, Indagationes Mathematicae, 16: 572–581.

Modell-elméleti következmény

  • Blanchette, P., 1996, „Frege és Hilbert a következetességről”, The Journal of Philosophy, 93: 317–336.
  • Blanchette, P., 2012, Frege logikájának koncepciója, New York: Oxford University Press.
  • Boole, G., 1847, A logika matematikai elemzése, Cambridge: Macmillan, Barclay és Macmillan.
  • Etchemendy, J., 1990, A logikai következmények fogalma, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Frege, G., 1971, A geometria alapjairól és az aritmetika formális elméleteiről, Kluge E. (át.), New Haven: Yale University Press.
  • Gómez-Torrente, M., 1996, „Tarski logikai következménnyel”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 37: 125–151.
  • Hodges, W. 2004, “A fogalmi elemzés fontossága és elhanyagolása: Hilbert-Ackermann iii.3”, V. Hendricks et al. (szerk.), Elsőrendű logika felülvizsgálva, Berlin: Logos, 129–153.
  • Kreisel, G., 1969, „Az informális szigor és a teljesség igazolása”, J. Hintikka (szerk.), Matematika filozófia, London: Oxford University Press, 78–94.
  • Tarski, A., 1983, „A logikai következtetés fogalmáról”, fordítva: A. Tarski, Logika, szemantika, metamatmatika, J. Corcoran (szerk.), Indianapolis: Hackett, 409–420.
  • Van Benthem, J., 1991, [1983], Az idő logikája: Modell-elméleti vizsgálat az időbeli ontológia és az időbeli diskurzus változataiban, Dordrecht: Reidel, 1983; második kiadás, Springer, 1991.

Kifejező erő

  • Cutland, N., 2009, Nem szabványos elemzés és alkalmazásai, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Ebbinghaus, H. és D., és Flum, J., 1999, Finite Model Theory, Berlin: Springer-Verlag.
  • Ebbinghaus, H. D., Flum, J. és Thomas, W., 1984, Mathematical Logic, New York: Springer-Verlag.
  • Fleuriot, J., 2001, A geometriai tétel bizonyításának és a nem szabványos elemzésnek a kombinációja, alkalmazásával Newton Principia-ján, New York: Springer-Verlag.
  • Immerman, N., 1999, leíró komplexitás, New York: Springer-Verlag.
  • Libkin, L., 2004, A véges modellelmélet elemei, Berlin: Springer-Verlag.
  • Loeb, P. és Wolff, M. (szerk.), 2000, Nem szokásos elemzés a dolgozó matematikus számára, Dordrecht: Kluwer.
  • Robinson, A., 1967, „A kalkulus metafizikája”, A matematika filozófiájának problémái, Lakatos I. (szerk.), Amszterdam: Észak-Holland, 28–40.

Modellek és modellezés

  • Allwein, G. és Barwise, J. (szerk.), 1996, Logical Reasoning with Diagrams, New York: Oxford University Press.
  • Börger, E. és Stärk, R., 2003, Abstract State Machines: A módszer magas szintű rendszer tervezéséhez és elemzéséhez, Berlin: Springer-Verlag.
  • Fowler, M., 2000, UML Distilled, Boston: Addison-Wesley.
  • Garnham, A., 2001, Mentális modellek és Anaphora, Philadelphia értelmezése: Taylor és Francis.
  • Gentner, D. és Stevens, A. (szerk.), 1983, Mental Models, Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum.
  • Johnson-Laird, P., 1983, Mentális modellek: A nyelv, a következtetés és a tudat kognitív tudománya felé, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Meijers, A. (szerk.), 2009, technológiai és mérnöki tudományok filozófiája, Amszterdam: Elsevier; lásd: W. Hodges, „Funkcionális modellezés és matematikai modellek” fejezet; Müller R., „A modell fogalma, a modell elméletei és a történelem”; és N. Nersessian: „Modell alapú érvelés az interdiszciplináris tervezésben”.
  • Moktefi, A. és Shin, S.-J. (szerk.), 2013, Visual Reasoning with Diagram, Basel: Birkhäuser.
  • Morgan, MS és Morrison, M. (szerk.), 1999, Models as Mediators, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Pullum, GK és Scholz, BC, 2001, „A modellelméleti és a generatív-enumeratív szintaktikai keretek megkülönböztetéséről”, a számítástechnikai nyelvészet logikai vonatkozásaiban (Lecture Notes in Computer Science: 2099. évfolyam), P. De Groote et al. (szerk.), Berlin: Springer-Verlag, 17–43.
  • Stenning, K., 2002, Lásd az okot, Oxford: Oxford University Press.
  • Suppes, P., 1969, Tanulmányok a tudomány módszertanáról és alapjairól, Dordrecht: Reidel.

Tudományos eszközök

sep ember ikonra
sep ember ikonra
Hogyan idézhetem ezt a bejegyzést.
sep ember ikonra
sep ember ikonra
A bejegyzés PDF-verziójának előnézete a SEP Barátok társaságában.
inpho ikonra
inpho ikonra
Nézze meg ezt a belépési témát az Internet Filozófia Ontológiai Projektben (InPhO).
phil papírok ikonra
phil papírok ikonra
Továbbfejlesztett bibliográfia erre a bejegyzésre a PhilPapersnél, az adatbázisához kapcsolódó hivatkozásokkal.

Egyéb internetes források

  • mentalmodelsblog: Mentális modellek az emberi gondolkodásban és az érvelésben, Ruth Byrne.
  • Algoritmikus modellelmélet, előadók: Graedel E., Berwanger D. és M. Hoelzel (Mathematische Grundlagen der Informatik, RWTH Aachen)
  • Abstract State Machines, Jim Huggins