Platonizmus A Matematika Filozófiájában

Tartalomjegyzék:

Platonizmus A Matematika Filozófiájában
Platonizmus A Matematika Filozófiájában

Videó: Platonizmus A Matematika Filozófiájában

Videó: Platonizmus A Matematika Filozófiájában
Videó: Платон – Баумейстер: Опыт созерцания и действия 2024, Március
Anonim

Belépés navigáció

  • Nevezés tartalma
  • Bibliográfia
  • Tudományos eszközök
  • Barátok PDF előnézete
  • Szerző és idéző információ
  • Vissza a tetejére

Platonizmus a matematika filozófiájában

Elsőként jelent meg: 2009. július 18. érdemi felülvizsgálat 2018. január 18

A matematika (vagy matematikai platonizmus) platonizmusa annak a metafizikai nézet, hogy vannak absztrakt matematikai tárgyak, amelyek létezése független tőlünk és a mi nyelvünktől, gondolatunktól és gyakorlatainktól. Ahogy az elektronok és a bolygók léteznek tőlünk függetlenül, úgy a számok és halmazok. Ugyanúgy, ahogyan az elektronokról és a bolygókról szóló állítások igazak vagy hamisak azoktól a tárgyaktól, amelyekre vonatkoznak, és ezeknek a tárgyaknak tökéletesen objektív tulajdonságai, csakúgy, mint a számokra és halmazokra vonatkozó állítások. A matematikai igazságokat tehát felfedezték, nem feltalálták.

Az absztrakt matematikai objektumok létezésének legfontosabb érve Gottlob Frege-ből származik, és a következőképpen szól: (Frege 1953). A matematika nyelvének célja absztrakt matematikai objektumok hivatkozása és mennyiségi meghatározása. És sok matematikai tétel igaz. De egy mondat nem lehet igaz, ha az al-kifejezései nem sikerül megtenni azt, amit állítanak. Tehát léteznek absztrakt matematikai objektumok, amelyekre ezek a kifejezések utalnak és számszerűsítést adnak.

Frege érvelése ellenére a filozófusok sokféle kifogást fogalmaztak meg a matematikai platonizmus iránt. Tehát azt állítják, hogy az absztrakt matematikai objektumok episztemológiai szempontból elérhetetlenek és metafizikailag problematikusak. A matematikai platonizmus az elmúlt néhány évtizedben a matematika filozófiájának egyik legforróbb vitája volt.

  • 1. Mi a matematikai platonizmus?

    • 1.1 Történelmi megjegyzések
    • 1.2 A matematikai platonizmus filozófiai jelentősége
    • 1.3 Objektum realizmus
    • 1.4 Az igazság-érték realizmus
    • 1.5 A platonizmus matematikai jelentősége
  • 2. A Fregei lét érvelése

    • 2.1 Az érv felépítése
    • 2.2 A klasszikus szemantika védelme
    • 2.3 Az igazság védelme
    • 2.4 Az ontológiai elkötelezettség fogalma
    • 2.5 A létezéstől a matematikai platonizmusig?
  • 3. A matematikai platonizmus elleni kifogások

    • 3.1 Epistemológiai hozzáférés
    • 3.2 Metafizikai kifogás
    • 3.3 Egyéb metafizikai kifogások
  • 4. Az objektum realizmus és a matematikai platonizmus között

    • 4.1 Hogyan értjük a függetlenséget?
    • 4.2 Teljes méretű platonizmus
    • 4.3 Könnyű szemantikai értékek
    • 4.4 Az objektum-realizmus két további könnyű formája
  • Bibliográfia
  • Tudományos eszközök
  • Egyéb internetes források
  • Kapcsolódó bejegyzések

1. Mi a matematikai platonizmus?

A matematikai platonizmus a következő három tézis összekapcsolásaként határozható meg:

Létezés.

Vannak matematikai objektumok.

Kivonatosság.

A matematikai objektumok elvontak.

Függetlenség.

A matematikai objektumok függetlenek az intelligens ágensektől és azok nyelvétől, gondolatától és gyakorlatától.

A „matematikai platonizmus” néhány reprezentatív meghatározását a melléklet tartalmazza

A platonizmus néhány meghatározása

és dokumentálja, hogy a fenti meghatározás meglehetősen szabványos.

A platonizmus általában (ellentétben a matematikával kapcsolatos platonizmussal) bármilyen vélemény, amely a fenti három állításból merül fel azzal, hogy a „matematikai” melléknévet bármely más melléknévvel helyettesíti.

Az első két igénypont tolerálhatóan jelenlegi. A létezés „∃ x Mx” -ként formázható, ahol az „Mx” rövidíti az „x egy matematikai objektum” predátumot, amely igaz mindenkire és csak a tiszta matematika által vizsgált tárgyakra, például a számokra, halmazokra és függvényekre. Az elválaszthatóság azt mondja, hogy minden matematikai objektum elvont, amikor egy objektumot elvontnak mondják, csak abban az esetben, ha nem spatiotemporal és (ezért) okozati szempontból hatástalan. (További megbeszélésekhez lásd az absztrakt tárgyak bejegyzését.)

A függetlenség kevésbé egyértelmű, mint a másik két állításnál. Mit jelent egy ilyen tárgy függetlenségének tulajdonítása? A legnyilvánvalóbb gloss valószínűleg a kontrafaktuális feltétel, ha nem lennének intelligens ágensek, vagy ha a nyelv, gondolat vagy gyakorlat eltérne, akkor is lennének matematikai tárgyak. Kétes azonban, hogy ez a fényesség elvégzi-e mindazt a munkát, amelyet a Függetlenségnek elvárnia kell (lásd a 4.1. Szakaszt). Jelenleg a függetlenség kissé sematikus marad.

1.1 Történelmi megjegyzések

A platonizmust meg kell különböztetni a történelmi Platón szemszögéből. A platonizmusról folytatott mai vitában kevés fél határozott eksegetikus állításokat tesz Platón nézetével szemben, még kevésbé védi azt. Noha a „platonizmusnak” nevezett nézetet Platón híres elvont és örök formák elmélete inspirálja (lásd a Platón metafizikájának és episztemológiájának bejegyzését), a platonizmust az eredeti történelmi inspirációtól függetlenül határozzák meg és vitatják meg.

A vitatott platonizmus nemcsak Platóné, hanem a fentiekben ismertetett platonizmus is pusztán metafizikai nézet: meg kell különböztetni a többi, lényeges episztemológiai tartalommal bíró nézettől. A platonizmus sok régebbi jellemzése erős episztemológiai állításokat ad ahhoz, hogy az absztrakt tárgyak birodalmába valamilyen pillantást vagy betekintést nyerünk. (Lásd például Rees 1967.) De hasznos (és manapság meglehetősen szabványos) a „platonizmus” kifejezést a fentiekben leírt, tisztán metafizikai nézetre fenntartani. Sok filozófus, aki ebben a tisztán metafizikai értelemben védi a platonizmust, elutasítja a további episztemológiai állításokat. Példaként említhetjük Quine-t és más filozófusokat, akik vonzódnak az úgynevezett nélkülözhetetlenségi érvhez, amelynek célja a matematikai platonizmus széles körű empirikus védelme.(Lásd a matematikai filozófia nélkülözhetetlen érvekkel kapcsolatos bejegyzését.)

Végül, a „matematikai platonizmus” fenti meghatározása kizárja azt az állítást, miszerint a tiszta matematika minden igazságára szükség van, bár ezt az állítást hagyományosan a legtöbb platonista támogatta. Ezt a kizárást ismét igazolja az a tény, hogy néhány filozófus, akiket általában platonistának tekintnek (például Quine és a fentebb említett nélkülözhetetlenség érvelésének néhány tagja), elutasítják ezt a kiegészítő modális állítást.

1.2 A matematikai platonizmus filozófiai jelentősége

A matematikai platonizmusnak jelentős filozófiai jelentősége van. Ha a nézet igaz, akkor nagy nyomást gyakorol a fizista gondolatára, miszerint a valóság kimeríti a fizikát. A platonizmus azt jelenti, hogy a valóság messze túlmutat a fizikai világon, és magában foglalja azokat a tárgyakat is, amelyek nem képezik részét a fizikai tudományok által vizsgált okozati és térbeli időbeli sorrendnek. [1] Ha igaz, akkor a matematikai platonizmus nagy nyomást gyakorol a tudás számos naturalista elméletére. Nem kétséges, hogy rendelkezzünk matematikai ismeretekkel. A matematikai platonizmus igazsága tehát azt igazolná, hogy rendelkezzünk absztrakt (és ezáltal okozati szempontból hatástalan) objektumokkal. Fontos felfedezés lenne, amelyet sok tudományos naturalista elmélet megcéloz.

Noha ezek a filozófiai következmények nem kizárólag a matematikai platonizmushoz kapcsolódnak, a platonizmusnak ez a sajátos formája szokatlanul alkalmas az ilyen következmények alátámasztására. A matematika rendkívül sikeres tudományág, mind önmagában, mind más tudományok eszközeként. [2] Kevés kortárs elemző filozófus hajlandó ellentmondani egy olyan tudományág egyik alapvető állításának, amelynek tudományos hitelesítő adatai ugyanolyan erősek, mint a matematika (Lewis 1991, 57–9. Oldal). Tehát ha a filozófiai elemzés felfedi a matematikának furcsa és meglepő következményeit, akkor vonzó lenne egyszerűen elutasítani a matematikát. [3]Ebben a szerencsés helyzetben nem lenne egy olyan tudományágon alapuló platonizmus, amelynek tudományos hitelesítő adatai kevésbé lenyűgözőek, mint a matematikaé. Például amikor a teológiának kiderül, hogy furcsa és meglepő filozófiai következményei vannak, sok filozófus nem habozik elutasítani a teológia vonatkozó részeit.

1.3 Objektum realizmus

Legyen az objektum-realizmus az a nézet, hogy léteznek absztrakt matematikai objektumok. Object realizmus tehát csak az együttállás Lét és elvontság. [4] Az objektum-realizmus ellentétes a nominizmussal, amelyet a kortárs filozófiában általában úgy határoznak meg, hogy nincs absztrakt tárgy. (A hagyományosabb filozófiai felhasználásban a „nominalizmus” szó arra a nézetre utal, hogy nincsenek univerzálisok. Lásd Burgess & Rosen 1997, 13–25. Oldal és az absztrakt tárgyakkal kapcsolatos bejegyzés.)

Mivel a tárgyi realizmus elhagyja a Függetlenséget, ez a nézet logikusan gyengébb, mint a matematikai platonizmus. A tárgyi realizmus filozófiai következményei tehát nem olyan erősek, mint a platonizmus. Sok fizikus elfogadná a nem fizikai tárgyakat, feltéve, hogy ezek fizikai tárgyaktól függenek vagy redukálhatók. Elfogadhatnak például tárgyakat, például vállalatokat, törvényeket és verseket, feltéve, hogy ezek fizikai tárgyaktól függnek vagy redukálhatók. Sőt, úgy tűnik, nincs rejtély sem a nem fizikai tárgyakhoz való episztemikus hozzáférés terén, amelyeket valahogy készítettünk vagy „alkottunk”. Ha a vállalatokat, törvényeket és verseket általunk készítették vagy „alkották”, akkor feltehetõleg megismerjük azokat rájuk, amikor ezeket készítjük vagy „alkossuk”.

A matematika filozófiájának egyes nézete objektum-realisztikus, anélkül hogy platonista lenne. Példa erre a hagyományos intuitív nézetek, amelyek megerősítik a matematikai objektumok létezését, de fenntartják, hogy ezek a tárgyak matematikusoktól és tevékenységüktől függenek, vagy azok alkotják. [5] A 4. szakaszban tárgyalunk néhány további példát a nézetekre, amelyek objektum-realisztikusak és nem platonisták.

1.4 Az igazság-érték realizmus

Az igazság-érték realizmus azt a nézetet képviseli, hogy minden jól megfogalmazott matematikai állításnak egyedi és objektív igazság-értéke van, amely független attól, hogy vajon tudjuk-e őket, és hogy logikusan következik-e a jelenlegi matematikai elméletekből. A nézet azt is állítja, hogy a legtöbb igaznak ítélt matematikai állítás valóban igaz. Tehát az igazság-érték realizmus egyértelműen metafizikai nézet. De a platonizmussal ellentétben ez nem ontológiai nézet. Mert bár az igazság-érték realizmus azt állítja, hogy a matematikai állításoknak egyedi és objektív igazságértékeik vannak, nem elkötelezett a kifejezetten platonista elképzelés mellett, miszerint ezeket az igazságértékeket a matematikai tárgyak ontológiájával kell magyarázni.

A matematikai platonizmus egyértelműen motiválja az igazság-érték realizmust azáltal, hogy beszámol arról, hogy a matematikai állítások miként kapják meg az igazsági értékeket. De az előbbi vélemény nem vonja maga után az utóbbit, hacsak további helyiségeket nem egészítenek ki. Még akkor is, ha vannak matematikai objektumok, a referenciális és a kvantitatív meghatározatlanság megfoszthatja a matematikai állításokat az egyedi és objektív igazságértéktől. Ezzel szemben az igazság-érték realizmus önmagában nem jelenti a létezést, tehát nem jelenti a tárgyi realizmust és a platonizmust. Mert különféle beszámolók vannak arról, hogyan lehet a matematikai állítások olyan egyedi és objektív igazságértékeket birtokolni, amelyek nem mutatják a matematikai objektumok birodalmát. [6]

Valójában sok nominológus támogatja az igazság-érték realizmust, legalábbis a matematika alapvető ágazataira, például a számtani elemzésre. Az ilyen típusú jelöltek elkötelezettek a kissé furcsa hangzás mellett, bár ez a szokásos matematikai állítás

(1) 10 és 20 közötti prímszám van.

igaz, valójában nincsenek matematikai objektumok, és így különösen számok sem. De itt nincs ellentmondás. Meg kell különböztetnünk az L M nyelvet, amelyben a matematikusok állítják, és az L P nyelvet, amelyben a nominálok és más filozófusok teszik magukat. Az (1) állítás L M-ben található. Azonban a nominista állítása, miszerint (1) igaz, de nincs absztrakt tárgy, L P-ben szerepel. A nominista állítása tehát tökéletesen koherens, feltéve, hogy (1) nem homofonikusan átalakul L M- ből L P-be. És valóban, amikor a nominális azt állítja, hogy az L. M mondatok valóságos értékeiúgy vannak rögzítve, hogy nem vonzódnak a matematikai objektumokhoz, pontosan ezt a nem-homofonikus fordítást szem előtt tartja. Az előző megjegyzésben említett nézet példát mutat.

Ez azt mutatja, hogy a létezés állítás szándékos hatásának eléréséhez azt a filozófusok által használt L P nyelven kell kifejezni. Ha az állítást a matematikusok által használt L M nyelven fejezték ki, akkor a nominálok elfogadhatják az állítást, miközben továbbra is tagadják, hogy vannak matematikai tárgyak, ellentétben az állítás céljával.

A filozófusok kicsi, de fontos hagyománya szerint a platonizmusról folytatott vitát helyettesítsék, vagy legalábbis átalakítsák az igazság-érték realizmus vitájával. Ennek a nézetnek az alátámasztására felhozott egyik ok az, hogy az előbbi vita reménytelenül tisztázatlan, míg az utóbbi jobban követhető (Dummett 1978a, 228–232. Oldal és Dummett 1991b., 10–15. Oldal). Egy másik felajánlott ok az, hogy az igazság-érték realizmusról szóló vita mind a filozófia, mind a matematika szempontjából nagyobb jelentőséggel bír, mint a platonizmus. [7]

1.5 A platonizmus matematikai jelentősége

A működő realizmus az a módszertani nézet, miszerint a matematikát úgy kell gyakorolni, mintha a platonizmus igaz lenne (Bernays 1935, Shapiro 1997, 21–27. És 38–44. Oldal). Ehhez némi magyarázat szükséges. A matematika alapjairól szóló vita során gyakran használták a platonizmust bizonyos matematikai módszerek megvédésére, például a következőkre:

  1. Klasszikus elsőrendű (vagy erősebb) nyelvek, amelyek szinguláris kifejezései és számszerűsítői úgy tűnik, hogy matematikai objektumokra utalnak és azokon átnyúlnak. (Ez ellentétben áll azokkal a nyelvekkel, amelyek a matematika történetében korábban uralkodtak, amelyek nagyobb mértékben támaszkodtak a konstruktív és a modális szókincsre.)
  2. A klasszikus, nem az intuitív logika.
  3. Nem konstruktív módszerek (például nem-konstruktív létezés-igazolások) és nem-konstruktív axiómák (például a választott axióma).
  4. Gyakorlati definíciók (vagyis azok a definíciók, amelyek egy olyan összességében számszerűsítik, amelybe a meghatározandó objektum tartozik).
  5. „Hilbertian optimizmus”, vagyis az a hiedelem, hogy minden matematikai probléma elvileg megoldható. [8]

A működő realizmus szerint ezek és más klasszikus módszerek elfogadhatók és elérhetőek minden matematikai érvelésben. A működő realizmus azonban nem veszi fel azt a kérdést, hogy ezek a módszerek megkövetelik-e valamilyen filozófiai védelmet, és ha igen, akkor ennek a védelemnek platonizmuson kell-e alapulnia. Röviden, ahol a platonizmus kifejezetten filozófiai szemlélet, a működő realizmus elsősorban maga a matematika szemlélete ezen tudományág helyes módszertanáról. A platonizmus és a működő realizmus tehát különálló nézetek.

Természetesen logikus kapcsolatok is lehetnek a két nézet között. Tekintettel a működő realizmus eredetére, nem meglepő, hogy a nézet erős támogatást kap a matematikai platonizmusból. Tegyük fel, hogy a matematikai platonizmus igaz. A matematika nyelvének tehát egyértelműen az i. Pontban leírtaknak kell lennie. Másodszor, feltéve, hogy jogos a klasszikus érvelés a valóság bármely önállóan létező részéről, a ii. Harmadsorban, mivel a platonizmus biztosítja, hogy a matematikát felfedezzék, nem feltalálják, nem lenne szükség matematikusokra, hogy csak konstruktív módszerekre és axiómákra korlátozzák magukat, ami megállapítja a (iii) pontot. Negyedszer, Gödel (1944) miatt van egy hatalmas és befolyásoló érv, miszerint az imprediktív meghatározások jogszerűek, ha a meghatározandó objektumok definícióktól függetlenül léteznek.(Például, az „a legmagasabb fiú az osztályban” problémátlannak tűnik annak ellenére, hogy hihetetlen.) Ha ez helyes, akkor az iv. Végül, ha a matematika valamilyen egymástól függetlenül létező valóságról szól, akkor minden matematikai problémára egyedi és határozott válasz van, amely legalább bizonyos motivációt biztosít Hilbert optimizmusához. (Lásd azonban a teljes platonizmus tárgyalását a 4.2 szakaszban.)

A matematikai platonizmus igazságának ezért fontos következményei lennének maga a matematika területén. Igazolná a működő realizmushoz kapcsolódó klasszikus módszereket, és ösztönözné az új axiómák keresését olyan kérdések rendezésére (például a Continuum hipotézis), amelyeket a jelenlegi matematikai elméletek nyitva hagynak.

A működő realizmus azonban egyáltalán nem jelenti a platonizmust. Noha a működő realizmus szerint a kortárs matematika platonista nyelvének használata indokolt, ez legalább két módon elmarad a platonizmustól. Ahogyan az igazság-érték realizmus fenti megbeszélése rámutatott, a matematika platonista nyelvét úgy lehet elemezni, hogy elkerülhető legyen a matematikai objektumokra való hivatkozás és számszerűsítés. Sőt, még ha a matematika nyelvének névleges elemzése is igazolható lenne, ez támogatná az objektum realizmust, a platonizmust nem. További érvre lenne szükség a platonizmus harmadik összetevőjéhez, azaz a függetlenséghez. Az ilyen érvek kilátásait a 4.1. Szakasz tárgyalja.

2. A Fregei lét érvelése

Most leírjuk a matematikai objektumok létezésére szolgáló érv sablonját. Mivel az első filozófus, aki kifejlesztett egy ilyen általános érvet, Frege volt, ezt Fregean-érvnek nevezik. De a sablon általános, és kivonja Frege saját matematikai objektumok létezésének védelme legfontosabb szempontjait, például azt a véleményét, hogy az aritmetika redukálható logikára. A fregeai logika csak egy módja ennek a sablonnak a fejlesztésére; néhány más módszert említünk alább.

2.1 Az érv felépítése

A Fregean érve két feltevésen alapul, amelyek közül az első a matematika nyelvének szemantikájára vonatkozik:

Klasszikus szemantika.

A matematika nyelvének egyedüli kifejezései matematikai objektumokra utalnak, és elsőrendű számszerűsítői az ilyen objektumok közötti tartományra vonatkoznak.

A „állítólagos” szót meg kell magyarázni. Ha az S mondat hivatkozik hivatkozni vagy bizonyos módon számszerűsíteni, ez azt jelenti, hogy az S valódi érvényesítéséhez S-nek sikerül ilyen módon hivatkoznia vagy számszerűsítenie.

A második feltevés nem igényel sok magyarázatot:

Igazság.

A matematikai tételként elfogadott legtöbb mondat igaz (szintaktikai és szemantikai szerkezetétől függetlenül) igaz.

Vegyük figyelembe azokat a mondatokat, amelyeket matematikai tételekként fogadnak el, és amelyek egy vagy több matematikai kifejezést tartalmaznak. Az igazság szerint a legtöbb ilyen mondat igaz. [9] Legyen S egy ilyen mondat. A klasszikus szemantika szerint az S igazsága megköveteli, hogy szinguláris kifejezései képesek legyenek utalni a matematikai tárgyakra. Ezért matematikai objektumoknak kell lennie, amint azt a létezés állítja. [10]

2.2 A klasszikus szemantika védelme

A klasszikus szemantika azt állítja, hogy a matematika nyelve szemantikailag ugyanúgy működik, mint az általános funkciók nyelve (vagy legalábbis hagyományosan feltételezték, hogy működik): az egyes kifejezések és a mennyiségi meghatározók szemantikai függvényei tárgyakra utalnak, és objektumok közötti tartományra vonatkoznak. Ez nagyjából empirikus állítás a félig formális nyelv működéséről, amelyet a hivatásos matematikusok közössége használ. (Burgess és Rosen 1997 általánosan elfogadott terminológiájában, 6–7. Oldal, a klasszikus szemantika egy hermeneutikus állítás, vagyis leíró állítás arról, hogy egy adott nyelvet valóban használnak, nem pedig normatív állítás arról, hogy ez a nyelv használni kell.) Vegye figyelembe azt is, hogy a klasszikus szemantika összeegyeztethető a szemantika tradicionális nézeteivel; különösképpen összeegyeztethető a mondatok jelentésére vonatkozó általános nézetekkel, nevezetesen azzal, hogy igazságértékek, állítások vagy a lehetséges világok halmaza.

A klasszikus szemantika erőteljes első látásra való hitelességét élvezi. A matematika nyelve szempontjából erősen úgy tűnik, hogy ugyanaz a szemantikai felépítés, mint a szokásos nem matematikai nyelv. Ahogyan Burgess (1999) megfigyelte, a következő két mondatnak ugyanolyan egyszerű szemantikai felépítése van, mint egy alanynak tulajdonított predikátum esetében (288. oldal):

(4) Evelyn prim.

(5) A tizenegy elsődleges.

Ezt a megjelenést a nyelvészek és szemantikusok által javasolt standard szemantikai elemzések is alátámasztják.

A klasszikus szemantika mindazonáltal kihívást jelent, például a nominálisok, mint például Hellman (1989) és Hofweber (2005 és 2016). (Lásd még Moltmann (2013) a természetes nyelv aritmetikai szókincsével kapcsolatos néhány kihívást.) Nem ez a hely az ilyen kihívások kibővített megvitatására. Hadd emlékezzem meg, hogy sok munkára van szükség az ilyen kihívás megalapozásához. A kihívónak érvelnie kell azzal, hogy a matematikai és a nem matematikai nyelv látszólagos szemantikai hasonlóságai megtévesztőek. Ezeknek az érveknek olyannak kell lenniük, amelyet a nyelvészek és szemantikusok - akiknek nincs magukban érdeklődésük a matematika filozófiája iránt - jelentősnek tekinthetők. [11]

2.3 Az igazság védelme

Az igazságot különféle módon lehet megvédeni. Valamennyi védekezésre jellemző, hogy először azonosítanak egy olyan szabványt, amellyel meg lehet határozni a matematikai állítások valódiságát, majd azt állítják, hogy a matematikai tételek megfelelnek ennek a szabványnak.

Az egyik lehetőség az, hogy fellebbezzen egy olyan szabványra, amely alapvetőbb, mint maga a matematika. A logika példát mutat. Frege és más logikusok először azt állítják, hogy a tiszta logika bármely tétele igaz. Aztán megkísérelik megmutatni, hogy a matematika egyes ágainak tételei pusztán logikából és definíciókból igazolhatók.

Egy másik lehetőség az empirikus tudomány normáinak fellebbezése. A Quine-Putnam nélkülözhetetlenség érve példát mutat. Először azt állítják, hogy az empirikus tudomány minden nélkülözhetetlen része valóban valódi, és ezért valamennyire mi hittünk. Aztán azt állítják, hogy a matematika nagy mennyisége elengedhetetlen az empirikus tudományhoz. Ha mindkét állítás helytálló, ebből következik, hogy az igazság valószínűleg igaz, és ezért az igazságba vetett hit igazolható. (Lásd a matematikai filozófia nélkülözhetetlen érvekkel kapcsolatos bejegyzését.)

A harmadik lehetőség maga a matematika szabványainak fellebbezése. Miért kellene fellebbezni a nem matematikai szabványokra, mint például a logika vagy az empirikus tudomány, a matematikai tételek valódiságának védelme érdekében? Amikor megvédjük a logika és a fizika állításainak igazságát, nem kell a logikán vagy a fizikán kívül eső szabványokra hivatkoznunk. Inkább azt feltételezzük, hogy a logika és a fizika megmutatja saját igazolásának sui generis szabványait. Miért legyen a matematika más? Ez a harmadik stratégia sok figyelmet kapott az elmúlt években, gyakran a „naturalism” vagy a „matematikai naturalizmus” címe alatt. (Lásd Burgess & Rosen 1997, Maddy 1997, és kritikai megbeszélésekhez lásd a matematika filozófiájának a naturizmus bejegyzését.)

Íme egy példa arra, hogyan lehet a naturális stratégiát kidolgozni. Nevezze azt a hozzáállást, amelyet a matematikusok a matematika tételeivel szemben elfogadnak. Akkor a következő állítások valószínűnek tűnnek:

(6) A matematikusok indokoltak abban, hogy elfogadják a matematika tételeit.

(7) Az S matematikai állítás elfogadása magában foglalja az S valódiságát.

(8) Amikor a matematikus elfogadja az S matematikai állítást, ennek a hozzáállásnak az tartalma általában az S szó szerinti jelentése.

E három állításból következik, hogy a matematikai szakértők indokoltak abban, hogy a matematika tételeit szó szerinti igazságnak tekintik. Bővítéssel kiterjesztve a mi többiünket is igazolhatjuk az igazságot. Ne feledje, hogy azoknak a szakértőknek, akikkel (6) foglalkoztak, maguknak nem kell hinniük a (7) és (8) bekezdésnek, nem is igazolva ilyen hiteket. Nem számít, hogy a három állítás igaz. A (7) és (8) igazságának megállapítása a nyelvészekre, pszichológusokra, szociológusokra vagy filozófusokra hárulhat, de természetesen nem matematikusokra.

2.4 Az ontológiai elkötelezettség fogalma

A Fregean érvelésének változatait néha az ontológiai elkötelezettség fogalma alapján állítják. Tegyük fel, hogy az ontológiai elkötelezettség szokásos quineai kritériumával működünk:

Quine kritériuma.

Az első rendű mondatot (vagy az ilyen mondatok gyűjteményét) ontológiailag olyan objektumokhoz kötik, amelyeknek feltételezhetően a mondat (vagy mondatgyűjtemény) változóinak tartományába esnek, hogy igaz legyen.

Ezután a klasszikus szemantikából következik, hogy a matematika sok mondatának ontológiailag elkötelezett a matematikai objektumok. Ehhez vegye figyelembe egy tipikus S matematikai tételt, amely magában foglalja az egyes számok vagy az elsőrendű számszerűsítők normál kiterjesztésének előfordulását. A klasszikus szemantika szerint ezek a kifejezések arra utalnak, hogy matematikai objektumokra vonatkoznak, vagy azok felett helyezkednek el. Ahhoz, hogy S igaz legyen, ezeknek a kifejezéseknek sikerül megtenniük azt, amit állítólag tennek. Következésképpen, hogy az S igaz legyen, a változók tartományában matematikai objektumoknak kell lennie. By Quine Criterion ez azt jelenti, hogy az S ontológiailag elkötelezett a matematikai objektumok.

Quine és még sokan mások úgy vélik, hogy a Quine kritériuma alig több, mint az ontológiai elkötelezettség fogalmának meghatározása (Quine 1969 és Burgess 2004). De a kritériumot mindazonáltal vitatják. Egyes filozófusok tagadják, hogy az egyes kifejezések és az elsőrendű számszerűsítők automatikusan ontológiai kötelezettségvállalásokat eredményeznek. Talán az, hogy a mondat valóban „megköveteli a világtól”, magában foglalja néhány, de nem mindegyik objektumot a számszerűsítő tartományban (Rayo 2008). Vagy talán meg kellene szüntetnünk a kapcsolatot az elsőrendű egzisztenciális mennyiségi mutató és az ontológiai elkötelezettség fogalma között (Azzouni 2004, Hofweber 2000 és 2016).

Az egyik válasz ezekre a kihívásokra annak megfigyelése, hogy a Fregean érvelést fent fejlesztették ki, az „ontológiai elkötelezettség” kifejezés használata nélkül. Az „ontológiai elkötelezettség” Quine kritériumában szereplő meghatározásának bármiféle vitatása tehát irrelevánsnak tűnik a Fregean-érv fent kifejtett változatának szempontjából. Ez a válasz azonban nem valószínű, hogy kielégíti a kihívókat, akik válaszolnak arra, hogy a fent kifejtett érv következtetése túl gyenge a kívánt hatás eléréséhez. Emlékezzünk arra, hogy a következtetés, a létezés, formalizálva van a filozófiai metanyelvünkben L Pmint '∃ x Mx'. Tehát ennek a formalizálásnak csak akkor lesz a kívánt hatása, ha ez a metanyelv-mondat olyan típusú, amely ontológiai elkötelezettséget von maga után. De pontosan ezt vitatják a kihívók. Ezt a vitát itt nem lehet tovább folytatni. Egyelőre egyszerűen megfigyeljük, hogy a kihívásoknak be kell számolniuk arról, hogy az ontológiai elkötelezettség nem-standard elképzelése miért jobb és elméletileg érdekesebb, mint a szokásos quineai fogalom.

2.5. A létezéstől a matematikai platonizmusig?

Tegyük fel, hogy elfogadjuk az egzisztenciát, talán a Fregean érvelésén alapulva. Mint láttuk, ez még nem fogadja el a matematikai platonizmust, ami abból adódik, hogy a létezéshez hozzáadjuk a két további állítást, az abszorralitást és a függetlenséget. Vitatható ez a két további igény?

A szabványok a filozófia, abstractness maradt viszonylag kevéssé ellentmondásos. A néhány filozófus között, akik ezt kifogásolták, a Maddy (1990) (a szennyezett halmazokról) és a Bigelow (1988) (a halmazokra és különféle számokra vonatkozik). A vita e relatív hiánya azt jelenti, hogy kevés kifejezett védelem jellemzi az absztraktságotki lett fejlesztve. De nem nehéz belátni, hogy egy ilyen védelem hogyan alakulhat ki. Itt van egy ötlet. A matematikai gyakorlat bármely filozófiai értelmezésének valószínűsíthető prima facie korlátozása, hogy kerülje a matematikának olyan tulajdonságok hozzárendelését, amelyek a tényleges matematikai gyakorlatot félrevezetővé vagy elégtelenné teszik. Ez a kényszer nehezíti annak tagadását, hogy a tiszta matematika tárgyai elvonták. Mert ha ezeknek az objektumoknak térbeli időbeli elhelyezkedése lenne, akkor a tényleges matematikai gyakorlat téves és nem megfelelő, mivel a tiszta matematikusoknak akkor érdeklődniük kell tárgyaik elhelyezkedése mellett, csakúgy, mint az állatorvosok érdekli az állatok helyét. Az a tény, hogy a tiszta matematikusok nem érdekli ezt a kérdést, arra utal, hogy tárgyaik elvontak.

A függetlenség szerint a matematikai objektumok, ha vannak ilyenek, függetlenek az intelligens ágensektől és azok nyelvétől, gondolatától és gyakorlatától. A 4. részben megvitatjuk, hogy mit jelent ez a tézis, és hogyan lehet megvédeni.

3. A matematikai platonizmus elleni kifogások

A matematikai platonizmus ellen számos különféle kifogást fejlesztettek ki. Itt vannak a legfontosabbak.

3.1 Epistemológiai hozzáférés

A legbefolyásosabb ellenvetés valószínűleg az, amelyet Benacerraf (1973) ihlette. Az alábbiakban bemutatjuk a Benacerraf kifogásának Field (1989) javított változatát. [12] Ez a verzió a következő három alapra támaszkodik.

1. feltevés A matematikusok megbízhatóak abban az értelemben, hogy szinte minden matematikai S mondatra, ha a matematikusok elfogadják S-t, akkor az S igaz.
2. feltevés Ahhoz, hogy a matematikába vetett hit igazolható legyen, legalább elviekben meg kell tudni magyarázni az 1. feltevésben leírt megbízhatóságot.
3. feltevés Ha a matematikai platonizmus igaz, akkor ezt a megbízhatóságot még elvileg sem lehet megmagyarázni.

Ha ez a három feltételezés helyes, akkor következik, hogy a matematikai platonizmus aláhúzza a matematikába vetett hit indokolását.

De helyesek-e a helyiségek? Az első két helyszín viszonylag ellentmondásos. A legtöbb platonisták már elkötelezettek az 1. tételt illetően. És a 2. tétele meglehetősen biztonságosnak tűnik. Ha valamely meggyőződés kialakulási eljárásának megbízhatóságát még elvileg sem lehetett volna megmagyarázni, akkor az eljárás pusztán véletlenszerűen működik, és aláásja az ilyen módon alkotott hitek igazolásának minden igazolását.

A 3. feltevés sokkal ellentmondásosabb. Field ezt a premisszát védi azzal a megfigyeléssel, hogy „matematikai állításaink igazságértékei olyan tényektől függenek, amelyek olyan platonikus entitásokat érintnek, amelyek a téridőn kívüli birodalomban élnek” (Field 1989, 68. o.), És így okozati összefüggésben vannak tőlünk is még elv. Ez a védelem azonban feltételezi, hogy a kérdéses megbízhatóság megfelelő magyarázatának tartalmaznia kell valamilyen okozati összefüggést. Ezt számos filozófus vitatta, akik a megbízhatósági állítás minimális magyarázatait javasolták. (Lásd Burgess és Rosen 1997, 41–49. Oldal és Lewis 1991, 111–112. Oldal; vö. Még Clarke-Doane 2016. A kritikát lásd a Linnebo 2006-ban.) [13]

3.2 Metafizikai kifogás

Benacerraf egy másik híres cikke metafizikai kifogást dolgoz ki a matematikai platonizmus ellen (Benacerraf 1965, vö. Kitcher 1978). Bár a Benacerraf a számtani feladatokra összpontosít, a kifogás természetesen a legtöbb tiszta matematikai objektumra érvényes.

A Benacerraf megnyílik azzal, hogy megvédi a természetes számok strukturista nézetét, amelyet a természetes számoknak csak akkor adnak meg, mint amelyek being sorozatban való elhelyezkedésük miatt más tulajdonságokkal rendelkeznek. Például, a 3-as szám nem más, mint bizonyos, az infrastruktúrában meghatározott relációs tulajdonságokkal bíró tulajdonságok, például a 2. követés, a 6 felének fele és elsődleges. Nem számít, mennyire keményen tanulmányozzuk a számtani és a halmazelméletet, soha nem fogjuk tudni, hogy a 3 azonos-ea negyedik von Neumann-ordinál, vagy a megfelelő Zermelo-ordinállal, vagy talán, ahogyan Frege javasolta, az összes háromtagú osztály osztályával (valamilyen rendszerben, amely lehetővé teszi az ilyen osztályok létezését).

A Benacerraf most a következő következtetést vonja le:

Ezért a számok egyáltalán nem tárgyak, mivel a számok tulajdonságainak megadásakor csupán egy elvont szerkezetet jellemeznek - és a megkülönböztetés abban rejlik, hogy a szerkezet „elemeinek” csak olyan tulajdonságai vannak, mint amelyek összekapcsolják őket másokkal. elemek”azonos szerkezetű. (Benacerraf 1965, 291. o.)

Más szavakkal, Benacerraf azt állítja, hogy nem létezhetnek olyan tárgyak, amelyeknek csak szerkezeti tulajdonságai vannak. Minden objektumnak rendelkeznie kell bizonyos nem szerkezeti tulajdonságokkal is. (Lásd a Benacerraf 1996-ot az érv későbbi megfontolásain.)

Benacerraf érvelésének mindkét lépése ellentmondásos. Az első lépést - hogy a természetes számoknak csak strukturális tulajdonságai vannak - a közelmúltban számos matematikai struktúrázó védte meg (Parsons 1990, Resnik 1997 és Shapiro 1997). Ezt a lépést azonban a logikusok és a neo-logikusok tagadják, akik azt állítják, hogy a természetes számok elválaszthatatlanul kapcsolódnak az általuk számozott gyűjtemények bírságához. És a második lépést - hogy nem lehetnek objektumok, amelyek csak szerkezeti tulajdonságokkal rendelkeznek - kifejezetten elutasítják az első lépést megvédõ strukturálisták. (A második lépésre szimpatikus hangokra vonatkozóan lásd a Hellman 2001 és a MacBride 2005 hangot. Lásd még a Linnebo 2008 beszélgetést.)

3.3 Egyéb metafizikai kifogások

A Benacerraf mellett számos matematikai platonizmus metafizikai kifogását fejlesztették ki. Az egyik legismertebb példa Nelson Goodman érvelése a meghatározott elmélet ellen. Goodman (1956) megvédi a nominalizmus elvét, amely kimondja, hogy ha két entitás azonos alapvető alkotóelemekkel rendelkezik, akkor azonosak. Ez az elv tekinthető az extenzivitás ismert, elméleti axiómájának megerősítésének. A kiterjesztés axióma azt állítja, hogy ha két x és y halmaz azonos elemekkel rendelkezik, vagyis ha ∀ u (u ∈ x ↔ u ∈ y), akkor akkor azonosak. A nominalizmus elvét úgy kapjuk meg, hogy a tagsági viszonyt átváltjuk annak tranzitív bezárására. [14]Az elv tehát azt állítja, hogy ha x és y ugyanazon egyének viselik ∈ *, vagyis ha ∀ u (u ∈ * x ↔ u ∈ * y), akkor x és y azonosak. Ennek az elvnek a jóváhagyásával Goodman megakadályozza a halmazok és osztályok kialakulását, lehetővé téve csak a pusztológiai összegek képzését és a szokásos pusztai műveletekhez történő alkalmazását (ahogyan azt az ő „egyéni számítása” írja le).

A nominalizmus elvének Goodman általi védelme azonban ma már nem meggyőző, amint azt a filozófusok és matematikusok széles körben elfogadják a meghatározott elmélet mint a matematika legitim és értékes ágazata.

4. Az objektum realizmus és a matematikai platonizmus között

Az objektum-realizmus szerint léteznek absztrakt matematikai objektumok, míg a platonizmus hozzáteszi a Függetlenséget, amely szerint a matematikai objektumok függetlenek az intelligens ágensektől és azok nyelvétől, gondolatától és gyakorlatától. Ez az utolsó rész a tárgyi realizmus néhány könnyű formáját vizsgálja meg, amelyek nem zárulnak le a teljes értékű platonizmustól.

4.1 Hogyan értjük meg a függetlenséget

A Függetlenség természetes fénye annak a feltételezésnek a feltétele, hogy ha nem lennének intelligens ügynökök, vagy ha nyelve, gondolata vagy gyakorlata megfelelően eltérő lenne, akkor is lennének matematikai tárgyak.

Ezt a kontrafaktuális függetlenséget (amint azt nevezhetjük) a legtöbb elemző filozófus elfogadja. Hogy miért lássa el, vegye figyelembe a matematika szerepét az érvelésünkben. Gyakran gondolkodunk olyan forgatókönyvek mellett, amelyek nem valósak meg. Tegyük fel például, hogy hidat építsünk ezen a kanyonon keresztül, milyen erősnek kellene lennie, hogy ellenálljon a hatalmas szélszélnek? Sajnos az előző híd összeomlott. Megtenné volna, ha az acéltartók kétszer vastagok lennének? A kontrafaktuális forgatókönyvek érvelésének ez a formája elengedhetetlen mind a mindennapi megfontolások, mind a tudomány szempontjából. Az ilyen érvelés megengedhetőségének fontos következménye van. Mivel a tiszta matematika igazságaira szabadon hivatkozni lehet a kontrafaktuális érvelésünk során, ebből következik, hogy ezek az igazságok kontrafaktuálisan függetlenek tőlünk, embereknek,és minden más intelligens élet ebben a kérdésben. Vagyis ha nem lenne intelligens élet, akkor ezek az igazságok változatlanok maradnának.

A tiszta matematika ebben a tekintetben nagyon különbözik a szokásos empirikus igazságoktól. Ha az intelligens élet soha nem létezne, ezt a cikket nem írta volna. Még érdekesebb, hogy a tiszta matematika ellentétben áll a különféle társadalmi konvenciókkal és konstrukciókkal, amelyekkel néha összehasonlításra kerül (Cole 2009, Feferman 2009, Hersh 1997). Ha az intelligens élet soha nem létezne, nem lennének törvények, szerződések vagy házasságok - mégis, a matematikai igazságok változatlanok maradtak.

Tehát, ha a Függetlenséget pusztán kontrafaktuális függetlenségnek kell tekinteni, akkor bárki, aki elfogadja a tárgyi realizmust, szintén elfogadja a platonizmust.

Kétséges, hogy a Függetlenség ezen értelmezése elegendő. A Függetlenség célja, hogy igazolja a matematikai objektumok és a szokásos fizikai tárgyak közötti analógiát. Ahogy az elektronok és a bolygók léteznek tőlünk függetlenül, úgy a számok és halmazok. Ugyanúgy, ahogyan az elektronokról és a bolygókról szóló állítások igazak vagy hamisak azoktól a tárgyaktól, amelyekre vonatkoznak, és ezeknek a tárgyaknak tökéletesen objektív tulajdonságai, csakúgy, mint a számokra és halmazokra vonatkozó állítások. Röviden: a matematikai tárgyak ugyanolyan „valós”, mint a szokásos fizikai tárgyak (ha még inkább, mint gondolta Platón).

Nézzük meg néhány nézetet, amely elutasítja a függetlenség erõsebb értelmezését az említett analógia szempontjából. Ezek a nézetek tehát az objektum-realizmus könnyű formái, amelyek nem felelnek meg a teljes platonizmusnak.

4.2 Teljes méretű platonizmus

Az objektum-realizmus egyik könnyű formája a Balaguer 1998 „teljesvérű platonizmusa”. Ezt a nézetet egy teljesség elve jellemzi, amely szerint minden lehetséges matematikai objektum létezik. Például, mivel a Continuum Hipotézis független a halmazelmélet standard axiomatizációjától, létezik egy halmaz olyan univerzum, amelyben a hipotézis igaz, és egy másikban hamis. És egyik univerzum sem metafizikailag kiváltságos. Ezzel szemben a hagyományos platonizmus azt állítja, hogy létezik egy olyan halmazok univerzuma, amelyekben a kontinuum-hipotézis határozottan igaz vagy határozottan hamis. [15]

Ennek a széleskörű nézetnek az állítólagos előnye a matematika episztemológiája. Ha minden következetes matematikai elmélet igaz a matematikai objektumok valamelyik univerzumára, akkor a matematikai tudást bizonyos értelemben könnyű megszerezni: feltéve, hogy matematikai elméleteink konzisztensek, garantáltan igazak lesznek a matematikai objektumok valamelyik univerzumára.

A „teljesvérű platonizmus” azonban sok kritikát kapott. Colyvan és Zalta 1999 azt kifogásolja, hogy aláássa a matematikai tárgyakra való hivatkozás lehetőségét, és Restall 2003, mert hiányzik a teljesség elvének pontos és koherens megfogalmazása, amelyen a nézet alapul. Martin (2001) azt javasolja, hogy a halmazok különböző univerzumait egyesítsék, hogy egyetlen maximális univerzum jöjjön létre, amely akkor lesz kiváltságos, ha a halmaz koncepciójának jobban illeszkedik, mint bármely más halmaz univerzumban.

A plenáris platonizmus más változatát fejlesztették ki Linsky és Zalta 1995-ben, valamint további cikkek sorozatát. (Lásd például Linsky és Zalta 2006 és az abban idézett egyéb cikkeket.) A hagyományos platonizmus rossznak bizonyul, ha az absztrakt tárgyakat a fizikai tárgyak modelljére építik (Linsky és Zalta 1995, 533. oldal), ideértve a Különösen azt az elképzelést, hogy az ilyen tárgyak inkább „ritkák”, mint teljes területek. Linsky és Zalta alternatív megközelítést dolgoz ki a második szerző „tárgyelmélete” alapján. A tárgyelmélet fõ jellemzõje egy nagyon általános megértési elv, amely megerõsíti az absztrakt tárgyak sokaságának létezését: a tulajdonságok bármilyen gyűjteményéhez van egy elvont objektum, amely pontosan ezeket a tulajdonságokat „kódolja”. A tárgyelméletben továbbákét elvont objektum azonos abban az esetben, ha pontosan ugyanazon tulajdonságokat kódolják. A tárgyelmélet megértési elve és az identitás kritériuma szerint „kapcsolatot teremt a megértési képességünk és az absztrakt tárgyak között” (uo., 547. oldal). (Lásd az Ebert és Rossberg 2007 kritikus vitát.)

4.3 Könnyű szemantikai értékek

Tegyük fel, hogy az objektum realizmus igaz. A kényelem érdekében tegyük fel a klasszikus szemantikát is. Ezek a feltevések biztosítják, hogy a matematikai nyelv szinguláris kifejezései és mennyiségi meghatározói absztrakt tárgyakra vonatkozzanak és azokra kiterjedjenek. Ezeket a feltételezéseket figyelembe véve egy matematikai platonistának is kell lennie? Más szavakkal, megfelelnek-e azok a tárgyak, amelyekre a matematikai mondatok hivatkoznak, és amelyek számszerűsítik őket, függetlenségüket vagy valamely hasonló feltételt?

Hasznos lesz feltételezéseink semlegesebb megfogalmazása. Ezt megtehetjük egy szemantikai érték fogalmának felhívásával, amely fontos szerepet játszik a szemantika és a nyelv filozófia szempontjából. Ezeken a területeken széles körben feltételezik, hogy minden kifejezés határozottan hozzájárul a mondatok valós értékéhez, amelyekben a kifejezés megjelenik. Ezt a hozzájárulást a kifejezés szemantikai értékének nevezzük. Széles körben feltételezik, hogy (legalábbis kiterjesztő összefüggésekben) az egyes kifejezés szemantikai értéke csupán referenciája.

Feltételezéseink most semlegesen állíthatók, mint állítás, miszerint a matematikai szinguláris kifejezések elvont szemantikai értékekkel rendelkeznek, és számszerűsítőik a szemantikai értékekként szolgáló elemtípusok között mozognak. Fókuszáljunk az egyes kifejezésekkel kapcsolatos állításra. Mi az állítás filozófiai jelentősége? Különösen támogatja-e a Függetlenség bizonyos verzióit ? A válasz attól függ, hogy mi szükséges a matematikai szinguláris kifejezés szemantikai értékének.

Egyes filozófusok azt állítják, hogy nem túl sokra van szükség (Frege 1953, Dummett 1981, Dummett 1991a, Wright 1983, Hale & Wright 2000, Rayo 2013 és Linnebo 2012 és 2018). Elegendő, ha a t kifejezés határozottan hozzájárul a mondatok igazságértékeihez, amelyekben előfordul. A szemantikai érték fogalmának teljes célja az volt, hogy ábrázolja az ilyen hozzájárulásokat. Ezért elegendő, ha az egyetlen kifejezés szemantikai értékkel rendelkezik, hogy valamilyen ilyen alkalmas hozzájárulást eredményez.

Ez akár utat nyithat a matematikai objektumokkal kapcsolatos nem elimináló redukcionizmus számára (Dummett 1991a, Linnebo 2018). Bár teljesen igaz, hogy a matematikai szinguláris t kifejezés szemantikai értéke elvont objektummal rendelkezik, ez az igazság olyan alapvető tények eredményeként szerezhető meg, amelyek nem említik vagy nem érintik a vonatkozó elvont objektumot. Hasonlítsa össze például a tulajdonjogot, amely egy személy és a bankszámlája között fennáll. Noha teljesen igaz, hogy a személynek van bankszámlája, ez az igazság alapvetõbb szociológiai vagy pszichológiai tények alapján nyerhetõ, amelyek nem említik vagy nem érintik a bankszámlát.

Ha a szemantikai értékek valamilyen könnyű beszámolása védhető, akkor elfogadhatjuk a tárgyi realizmus és a klasszikus szemantika feltételezéseit anélkül, hogy elköteleznénk magunkat a platonizmus hagyományos vagy robusztus formáival.

4.4 Az objektum-realizmus két további könnyű formája

Végül két további példát írunk le az objektum-realizmus könnyű formáiról, amelyek elutasítják a matematikai objektumok és a közönséges fizikai objektumok közötti platonista analógiát.

Először: talán a matematikai objektumok csak potenciálisan léteznek, ami ellentétben áll a hétköznapi fizikai objektumok tényleges létezési módjával. Ez az ötlet a potenciális végtelenség ősi fogalmának a középpontjában (Lear 1980, Linnebo & Shapiro 2017). Arisztotelész szerint a természetes számok potenciálisan végtelenek abban az értelemben, hogy bármennyit is előállítottunk (a fizikai világba való bekapcsolással), még nagyobb szám is előállítható. Arisztotelész azonban tagadja, hogy a természetes számok valóban végtelenek: ehhez a fizikai világ végtelenségéhez lenne szükség, ami állítása szerint lehetetlen.

A Cantor után a legtöbb matematikus és filozófus megvédi a természetes számok végtelenségét. Ez részben azért lehetséges, mert tagadja az arisztotelészi követelményt, miszerint minden számot meg kell valósítani a fizikai világban. Ha ezt tagadják, a természetes számok tényleges végtelensége már nem jelenti a fizikai világ tényleges végtelenségét.

Ugyanakkor a halmazok hierarchiájával kapcsolatos potenciális formák továbbra is jelentős támogatást élveznek, különösen a halmazok iteratív koncepciója kapcsán (Parsons 1977, 2010. január, Linnebo 2013, Studd 2013). Nem számít, hány halmazt alakítottak ki, még több is kialakítható. Ha igaz, ez azt jelentené, hogy a halmazoknak létező formája van, amely élesen megkülönbözteti őket a szokásos fizikai tárgyaktól.

Másodszor, talán a matematikai objektumok ontológiai szempontból függenek vagy származtathatók oly módon, hogy megkülönböztessék őket egymástól függetlenül létező fizikai tárgyaktól (Rosen 2011, Donaldson 2017). Például a fent említett arisztotelészi nézet szerint a természetes szám fennállása függ a fizikai világ valamilyen pillanatától vagy mástól. A nézetnek más verziói is vannak. Például Kit Fine (1995) és mások azt állítják, hogy egy halom ontológiailag függ annak elemeitől. (Ez a nézet szorosan kapcsolódik a fent említett set-theoretikus potenciálhoz.)

Bibliográfia

  • Azzouni, Jody, 2004, Az egzisztenciális következmény deflációja: Nominalizmus esete, Oxford: Oxford University Press.
  • Balaguer, Mark, 1998, Platonizmus és anti-platonizmus a matematikában, Oxford: Oxford University Press.
  • –––, 2001, „A matematikai helyesség és a matematikai igazság elmélete”, Pacific Philosophical Quarterly, 82: 87–114.
  • Benacerraf, Paul, 1965, „Milyen számok nem lehetnek”, Filozófiai áttekintés, 74: 47–73.
  • –––, 1973, „Matematikai igazság”, Journal of Philosophy, 70 (19): 661–679.
  • –––, 1996: „Milyen matematikai igazság lehetetlen lenne, i”, Benacerraf and Critics, A. Morton és S. Stich, szerk., Oxford: Blackwell.
  • Benacerraf, Paul és Putnam, Hilary (szerk.), 1983, Matematika filozófia: Kiválasztott leolvasások, Cambridge: Cambridge University Press. Második kiadás.
  • Bernays, Paul, 1935, „A platonizmusról a matematikában”, újbóli nyomtatással Benacerrafban és Putnamban (1983).
  • Bigelow, John, 1988, A számok valósága: A fizikus matematikai filozófiája, Oxford: Clarendon.
  • Burgess, John P., 1999, “Stewart Shapiro áttekintése, matematikai filozófia: felépítés és ontológia”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 40 (2): 283–91.
  • –––, 2004, „Jody Azzouni áttekintése, az egzisztenciális következményeket deflálva: a nominizmus esete”, a Szimbolikus Logika Közleménye, 10 (4): 573–577.
  • Burgess, John P. és Rosen, Gideon, 1997, Tárgy nélküli tárgy, Oxford: Oxford University Press.
  • Cole, Julian C., 2009, „Kreativitás, szabadság és tekintély: A matematika metafizikájának új perspektívája”, Australasian Journal of Philosophy, 87: 589–608.
  • Clarke-Doane, Justin, 2017: „Mi a Benacerraf probléma?” Paul Benacerraf filozófiájának új perspektíváiban: Igazság, tárgyak, végtelenség (28. kötet: Logika, episztémia és tudomány egység), F. Pataut (szerk.), Cham: Springer, 17–43.
  • Colyvan, Mark és Zalta, Edward N., 1999, „Matematika: igazság és kitalálás?”, Philosophia Mathematica, 7 (3): 336–349.
  • Donaldson, Thomas, 2017, “Az aritmetika (metafizikai) alapjai?”, Noûs, 51 (4): 775–801.
  • Dummett, Michael, 1978a, „Az intuitív logika filozófiai alapjai”, Truth and Other Enigmas, Cambridge, MA: Harvard University Press, 215–247; Benacerraf és Putnam (1983) folyóiratában.
  • ––– 1978b, Truth and Other Enigmas, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • ––– 1981, Frege: Nyelvfilozófia, Cambridge, MA: Harvard University Press, második kiadás.
  • –––, 1991a, Frege: Matematikai filozófia, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • –––, 1991b, A metafizika logikai alapjai, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Ebert, Philip és Rossberg, Marcus, 2007: “Mi a neo-logika célja?”, Travaux de Logique, 18: 33–61.
  • Feferman, Salamon, 2009, „A kontinuum fogalma”, Intellectica, 51: 169–89.
  • Field, Hartry, 1989, realizmus, matematika és módszerek, Oxford: Blackwell.
  • Fine, Kit, 1994, “Ontológiai függőség”, Aristotelian Society Proceedings of the Aristotelian Society, 95: 269–290.
  • Frege, Gottlob, 1953, Aritmetika alapjai, Oxford: Blackwell. Transz. szerző: JL Austin.
  • Gaifman, Haim, 1975, „Ontológia és fogalmi keretek, I. rész”, Erkenntnis, 9: 329–353.
  • Gödel, Kurt, 1944, „Russell matematikai logikája”, Benacerraf és Putnam (1983).
  • ––– 1964, „Mi a Cantor Continuum Hipotézise?”, Benacerraf és Putnam (1983).
  • –––, 1995, „Néhány alaptétel a matematika alapjairól és azok következményeiről”, a Collected Words-ban, S. Feferman és munkatársai, szerk., Oxford: Oxford University Press, vol. III, 304–323.
  • Goodman, Nelson, 1956, „Az egyének világa”, újbóli nyomtatással. P. Benacerraf és H. Putnam, szerk., Matematika filozófia: Kiválasztott olvasmányok, 1. kiadás, Prentice-Hall.
  • Hale, Bob, 1987, Abstract Objects, Oxford: Blackwell.
  • Hale, Bob és Wright, Crispin, 2000, „Implicit Definition and the Priori”, Új esszék az A Prioriról, Paul Boghossian és Christopher Peacocke, szerk., Oxford: Oxford University Press. Újranyomva: Hale and Wright (2001).
  • –––, 2001, Reason megfelelő tanulmánya, Oxford: Clarendon.
  • Hellman, Geoffrey, 1989, Matematika szám nélkül, Oxford: Clarendon.
  • –––, 2001, „A matematikai struktúrizmus három változata”, Philosophia Mathematica, 9 (3): 184–211.
  • Hersh, Reuben, 1997, Valójában mi a matematika?, Oxford: Oxford University Press.
  • Hilbert, David, 1996, „Matematikai problémák”, Kant-tól Hilbert-ig, William Ewald, szerk., Oxford: Oxford University Press, vol. 2, 1096–1105.
  • Hofweber, Thomas, 2000, „Kvantifikálás és nem létező tárgyak”, Üres nevek, fikció és nemlétezés puzzle, Anthony Everett és Thomas Hofweber, szerk., Stanford, CA: CSLI Publications, 249–73.
  • –––, 2005, „Számmeghatározók, számok és számtani adatok”, Filozófiai áttekintés, 114 (2): 179–225.
  • ––– 2016, Ontológia és a metafizika ambíciói, Oxford: Oxford University Press.
  • Isaacson, Daniel, 1994, „Matematikai intuíció és objektivitás”, matematika és elme, Alexander George, szerk., Oxford: Oxford University Press, chap. 5.
  • Jané, Ignasi, 2010, „Idealista és realista elemek Cantor megközelítésében az elmélet megfogalmazásához”, Philosophia Mathematica, 18 (2): 193–226.
  • Kitcher, Philip, 1978, „A platonisták sorsa”, Noûs, 12: 119–136.
  • Kreisel, Georg, 1958, „Wittgenstein észrevételeinek áttekintése a matematika alapjairól”, a British Journal for the Philosophy of Science, 9: 135–158.
  • Lear, Jonathan, 1980, „Arisztoteliai végtelenség”, Proceedings of the Aristotelian Society, 80: 187–210.
  • Lewis, David, 1991, Osztályrészek, Oxford: Blackwell.
  • Linnebo, Øystein, 2006, „A matematikai platonizmus episztemológiai kihívásai”, Filozófiai Tanulmányok, 129 (3): 545–574.
  • –––, 2008, „Strukturalismus és a függőség fogalma”, Filozófiai Negyedéves, 58: 59–79.
  • –––, 2012, „Referencia absztrakcióval”, Aristotelian Society Proceedings of the Aristotelian Society, 112: 45–71.
  • ––– 2013, „A halmazok potenciális hierarchiája”, áttekintés a szimbolikus logikáról, 6 (2): 205–228.
  • –––, 2017, Matematika filozófia, Princeton: Princeton University Press.
  • ––– 2018, Vékony tárgyak: Egy absztrakcionista számla, Oxford: Oxford University Press.
  • Linnebo, Øystein és Shapiro, Stewart, 2017, “Tényleges és potenciális végtelenség”, Noûs, doi: 10.1111 / nous.12208.
  • Linsky, Bernard és Zalta, Edward N., 1995, „Természetes platonizmus versus platonizált naturalism”, Journal of Philosophy, 92 (10): 525–555.
  • Linsky, Bernard és Zalta, Edward N., 2006: „Mi az a neologicizmus?”, A Symbolic Logic Bulletin, 12 (1): 60–99.
  • MacBride, Fraser, 2005, „A struktúrizmus átgondolása”, az Oxford Matematika és Logika Filozófia Kézikönyvében, Stewart Shapiro, szerk., Oxford: Clarendon, 563–589.
  • Maddy, Penelope, 1990, Realizmus a matematikában, Oxford: Clarendon.
  • –––, 1997, Naturalism in Mathematics, Oxford: Clarendon.
  • Martin, Donald A., 2001, „Több halmaz univerzum és meghatározhatatlan igazságértékek”, Topoi, 20 (1): 5–16.
  • Moltmann, Friederike, 2013, „Hivatkozás a számokra a természetes nyelvben”, Filozófiai Tanulmányok, 162: 499–536.
  • Parsons, Charles, 1977, „Mi a készlet imádatos koncepciója?” a logikában, a matematika alapjaiban és a kiszámíthatóság elméletében (A Nyugat-Ontario Egyetemi Tudományfilozófia sorozat: 9. kötet), RE Butts és J. Hintikka (szerk.), Dortrecht: Springer, 335–367.
  • ––– 1980, „Matematikai intuíció”, Proceedings of the Aristotelian Society, 80: 145–68.
  • ––– 1983, matematika a filozófiában, Ithaca, NY: Cornell University Press.
  • ––– 1990, „A matematikai objektumok strukturista nézete”, Synthese, 84: 303–346.
  • ––– 1995, „Platonizmus és matematikai intuíció Kurt Gödel gondolatában”, Symbolic Logic Bulletin, 1 (1): 44–74.
  • Quine, WV, 1969, “Létezés és számszerűsítés”, ontológiai relativitás és egyéb esszé, New York: Columbia University Press, 91–113.
  • Rayo, Agustín, 2008, „Az igazság-feltételek meghatározásáról”, Filozófiai áttekintés, 117 (3): 385–443.
  • ––– 2013, Logikai tér építése, Oxford: Oxford University Press.
  • Rees, DA, 1967, “Platonizmus és a platoni hagyomány”, a The Philosophy Encyclopedia-ban, Paul Edwards, szerk., New York: Macmillan, vol. 5, 333–341.
  • Resnik, Michael, 1980, Frege és a matematika filozófiája, Ithaca, NY: Cornell University Press.
  • ––– 1997, Matematika mint mintázattudomány, Oxford: Oxford University Press.
  • Restall, Greg, 2003, „Mi a teljesvérű platonizmus?”, Philosophia Mathematica, 11 (1): 82–91.
  • Rosen, Gideon, 2011, „A matematikai objektumok valósága”, Jelentés a matematikában, J. Polkinghorne (szerk.), Oxford: Oxford University Press, 113–132.
  • Shapiro, Stewart, 1997, Matematika filozófia: felépítés és ontológia, Oxford: Oxford University Press.
  • Studd, James, 2013, „A készlet imitációs elképzelése: egy (bi-) modális axiomatizáció”, Journal of Philosophical Logic, 42 (5): 1–29.
  • Wright, Crispin, 1983, Frege koncepciója a számokról mint objektumokról, Aberdeen: Aberdeen University Press.
  • ––– 1992, Igazság és Objektivitás, Cambridge, MA: Harvard University Press.

Tudományos eszközök

sep ember ikonra
sep ember ikonra
Hogyan idézhetem ezt a bejegyzést.
sep ember ikonra
sep ember ikonra
A bejegyzés PDF-verziójának előnézete a SEP Barátok társaságában.
inpho ikonra
inpho ikonra
Nézze meg ezt a belépési témát az Internet Filozófia Ontológiai Projektben (InPhO).
phil papírok ikonra
phil papírok ikonra
Továbbfejlesztett bibliográfia erre a bejegyzésre a PhilPapersnél, az adatbázisához kapcsolódó hivatkozásokkal.

Egyéb internetes források

[Javaslatokkal lépjen kapcsolatba a szerzővel.]

Ajánlott: