Modális Logika

Tartalomjegyzék:

Modális Logika
Modális Logika

Videó: Modális Logika

Videó: Modális Logika
Videó: Warcraft 3 Логика прохождение. Альянс [#1] 2024, Március
Anonim

Belépés navigáció

  • Nevezés tartalma
  • Bibliográfia
  • Tudományos eszközök
  • Barátok PDF előnézete
  • Szerző és idéző információ
  • Vissza a tetejére

Modális logika

Első kiadás: 2000. február 29., kedd; érdemi felülvizsgálat 2018. szeptember 8

A modál egy kifejezés (például „szükségszerűen” vagy „esetleg”), amelyet arra használnak, hogy egy ítélet valóságát meghatározzák. A modális logika szigorúan véve a „szükséges, hogy” és „lehetséges, hogy” kifejezések deduktív viselkedésének tanulmányozása. A „modális logika” kifejezés azonban szélesebb értelemben használható a kapcsolódó rendszerek családjára. Ide tartoznak a hit logikája, a feszült és más időbeli kifejezések, valamint a deontikus (erkölcsi) kifejezések, mint például „kötelező, hogy” és „megengedett, hogy” és még sokan mások. A modális logika megértése különösen értékes a filozófiai érvelés formális elemzésénél, ahol a modális család kifejezései közösek és zavaróak. A modális logika fontos alkalmazásokat is tartalmaz a számítástechnikában.

  • 1. Mi az a modális logika?
  • 2. Modális logika
  • 3. Deontikus logika
  • 4. Időbeli logika
  • 5. Feltételes logika
  • 6. Lehetséges világok szemantika
  • 7. Modális axiómák és feltételek a keretekre
  • 8. A modális logika közötti kapcsolatok térképe
  • 9. Az általános szorongás
  • 10. Kétdimenziós szemantika
  • 11. Bizonyíthatóság logika
  • 12. Fejlett modális logika
  • 13. Bisimuláció
  • 14. Modális logika és játékok
  • 15. A modális logika számszerűsítői
  • Bibliográfia
  • Tudományos eszközök
  • Egyéb internetes források
  • Kapcsolódó bejegyzések

1. Mi az a modális logika?

Szűk értelemben vett, modális logikai tanulmányok indokolása, amely magában foglalja a „szükségszerűen” és „esetleg” kifejezések használatát. A „modális logika” kifejezést azonban szélesebb körben használják, hogy a logikák családjára vonatkozzanak, hasonló szabályokkal és különféle szimbólumokkal.

Az alábbiakban felsoroljuk a legjobban ismert logikákat.

Logika szimbólumok Kifejezések szimbolizálva
Modális logika (Doboz) Szükséges, hogy…
(Gyémánt) Lehetséges, hogy …
Deontikus logika (O) Kötelező, hogy…
(P) Megengedett, hogy…
(F) Tilos, hogy…
Időbeli logika (G) Mindig így lesz a helyzet …
(F) Úgy lesz, hogy…
(H) Mindig volt a helyzet, hogy…
(P) A helyzet volt az, hogy…
Doxastic Logic (Bx) (x) úgy véli, hogy…

2. Modális logika

A modális család legismertebb logikája egy gyenge (bK) logikából épül fel (Saul Kripke után). A keskeny olvasatban a modális logika a szükségességre és a lehetőségekre vonatkozik. Az ilyen logikákhoz különféle rendszerek fejleszthetők ki, a (bK) alapot használva. A (z) (bK) szimbólumok tartalmazzák: '({ sim})' a 'nem', '' ((jobb oldali nyíl)) '' ha ', akkor' ',, és' '(,, doboz') ' a modális üzemeltető „szükséges, hogy”. (A '(amp)', '(vee)' és '(leftrightarrow)' csatlakozók meghatározhatók a következőkből: '({ sim}) és' (jobbra mutató nyíl) 'amint azt a javaslati logikában végzik.) (bK) az alábbiak hozzáadása következik a javaslati logika alapelveiben.

Szükségességi szabály: Ha (A) (bK) tétel, akkor a (A rovat).

Terjesztési axióma: (Box (A / jobbra mutató B) jobbra mutató (A doboz / jobbra / B doboz)).

(Ezekben az alapelvekben a '(A) és' (B) 'kifejezéseket használjuk olyan metaváltozókként, amelyek a nyelv képleteitől függően változnak.) A szükségességi szabály szerint a logika minden tételére szükség van. A Distribution Axiom azt mondja, hogy ha szükséges, ha (A), akkor (B), akkor szükségszerűen (A), akkor feltétlenül (B).

Az operátor (Diamond) (az 'esetleg' számára) a (Box) mappából definiálható a (Diamond A = { sim} Box { sim} A) megadásával. (BK) esetén a (Box) és (Diamond) operátorok nagyon hasonlóan viselkednek, mint a (forall) (összes) és a ((létezik)) (néhány). Például a (Diamond) definíciója a (Box) kifejezésben tükrözi a (forall xA) ekvivalenciáját ({ sim} létezik x { sim} A) predikatív logikában. Ezenkívül a (Box (A / amp. B)) magában foglalja (Box A / amp / B box) és fordítva; míg a (A rovat / vee / B doboz) magában foglalja (doboz (A / vee B)), de nem fordítva. Ez tükrözi az univerzális mennyiségi mutató által bemutatott mintákat: (forall x (A / amp B)) magában foglalja (forall xA / amp / forall xB) és fordítva, míg (forall xA / vee / forall xB) jelentése (forall x (A / vee B)), de nem fordítva. Hasonló párhuzamok húzhatók a (Gyémánt) és a ((létező)) között. A modális operátorok és a mennyiségi meghatározók közötti megfelelés alapja egyértelműbben a Lehetséges világok szemantika szakaszában mutatkozik meg.

A rendszer (bK) túl gyenge ahhoz, hogy megfelelő számot adjon a szükségességről. A következő axióma nem bizonyítható (bK) -ben, de egyértelműen kívánatos.

) címke {(M)} A doboz / jobbra mutató nyíl A)

((M)) azt állítja, hogy bármi is szükséges, az a helyzet. Ne feledje, hogy a ((M)) helytelen lenne, ha a (z) (Box) szöveget „annak lennie kellene”, vagy „a helyzet volt”. Tehát az axióma jelenléte ((M)) megkülönbözteti a szükségesség logikáját a modális család többi logikájától. Az alapvető modális logika (M) az, ha a ((M)) összeadódik a (bK) -nel. (Egyes szerzők ezt a rendszert hívják (mathbf {T}).)

Sok logikus szerint a (M) még mindig túl gyenge a szükségesség és a lehetőség logikájának megfelelő formázásához. További axiómákat javasolnak a modális operátorok iterációjának vagy ismétlésének szabályozására. Itt található a két leghíresebb iterációs axióma:

) tag {4} Box A / jobbra mutató / Box / Box A)) tag {5} Diamond A / rightarrow / Box / Diamond A)

(mathbf {S4}) az a rendszer, amely a (4) (M) felvételéhez vezet. Hasonlóan (mathbf {S5}) (M) plusz (5). A (mathbf {S4}) fájlban a (Box / A) mondat egyenértékű a (A Box) mondattal. Ennek eredményeként bármelyik dobozszál helyettesíthető egyetlen dobozban, és ugyanez vonatkozik a gyémánthúrokra. Ez azzal az elképzeléssel jár, hogy a modális operátorok iterálása felesleges. Ha azt mondjuk, hogy (A) szükségszerűen szükséges, azt feleslegesen régóta tartó módszernek tekintik, hogy (A) szükséges. A rendszer (mathbf {S5}) még erősebb elveket tartalmaz a modális operátorok sorrendjének egyszerűsítésére. A (mathbf {S4}) alkalmazásban az azonos típusú operátorok sorozata helyettesíthető az adott operátorra; a (mathbf {S5}) könyvben a dobozokat és a gyémántot tartalmazó karakterláncok megegyeznek a karakterlánc utolsó operátorával. Tehát példáulazt mondják, hogy lehetséges, hogy (A) szükség van, ugyanaz, mint azt mondják, hogy (A) szükséges. Az (mathbf {S4}) és (mathbf {S5}) ezen tulajdonságainak összefoglalása következik.

) tag {(mathbf {S4})} Box / Box / ldots / Box = / Box / text {és} Diamond / Diamond / ldots / Diamond = / Diamond)) kezdődik {igazítás *} tag {(mathbf {S5})} 00 / ldots / Box & = / Box / text {and} 00 / ldots / Diamond = / Diamond, \& / text {ahol mindegyik} 0 / text {vagy} Box / text {vagy} Diamond / end {igazítás *})

Végtelen érvelés vehet részt ezen és más iterációs alapelvek helyességét vagy helytelenségét illetően a (Box) és (Diamond) számára. Az ellentmondás részben megoldható azzal, hogy felismeri, hogy a „szükségszerűen” és az „esetleg” szavaknak sokféle felhasználása van. Tehát az axiómák elfogadhatósága a modális logika szempontjából attól függ, hogy ezek közül melyiket vesszük figyelembe. Ezért nincs egyetlen modális logika, hanem egy (M) körül épített rendszerek egész családja. E rendszerek közötti kapcsolatot a 8. szakasz ábrázolja, és azoknak a „szükségszerűen” és „esetleg” különféle felhasználásaihoz való alkalmazását mélyebben megérthetjük, ha megvizsgáljuk a lehetséges világszemantikát a 6. szakaszban.

A rendszert (mathbf {B}) (a Brouwer logikus számára) úgy hozzuk létre, hogy a ((B)) axiómát hozzáadjuk (M).

) tag {(B)} A / jobbra mutató / Box / Diamond A)

Érdekes megjegyezni, hogy a (mathbf {S5}) ekvivalensen megfogalmazható úgy, hogy hozzáadja a ((B)) -et a ((mathbf {S4}) -hez. A ((B)) axióma fontos kérdést vet fel a modális képletek értelmezésében. ((B)) azt mondja, hogy ha (A) a helyzet, akkor (A) szükségszerűen lehetséges. Arra lehet érvelni, hogy a ((B)) -ot mindig bármilyen modális logikában el kell fogadni, természetesen, ha (A) a helyzet, akkor szükség van arra, hogy (A) legyen lehetséges. Ennek az állításnak azonban van egy problémája, amely felfedhető, ha megjegyezzük, hogy a (Gyémánt / A doboz / A jobbra mutató) igazolható a ((B)) oldalról. Tehát (Gyémánt / A doboz / A jobb oldali nyíl) elfogadható, ha ((B)). A (Diamond / Box A / jobbra mutató nyíl) azonban azt mondja, hogy ha (A) valószínűleg szükséges, akkor (A) a helyzet, és ez messze nem egyértelmű. Miért tűnik nyilvánvalónak a ((B)),bár az egyik feltehetőleg egyáltalán nem nyilvánvaló? A válasz az, hogy (A / rightarrow / Box / Diamond A) angol értelmezése veszélyes kétértelműséget jelent. Gyakran használjuk az 'If (A), akkor feltétlenül (B)' kifejezést, hogy kifejezzük, hogy a 'if (A), akkor (B) feltételes feltételre van szükség. Ez az értelmezés megfelel a (Box (A / jobbra mutató B)) -nek. Más esetekben azt értjük, hogy ha (A), akkor a (B) szükséges: (A / jobbra mutató / B doboz). Angol nyelven a „szükségszerűen” egy határozószó, és mivel az határozószókat általában igék közelében helyezik el, nincs természetes módunk annak meghatározására, hogy a modális operátor az egész feltételesre vonatkozik-e, vagy annak következményeire. Ezen okok miatt hajlamos összekeverni a ((B): A / jobb oldali nyíl / Box / Diamond A) -ot a (Box (A / rightarrow / Diamond A)) -val. De a (Box (A / jobboldali / Diamond A)) nem ugyanaz, mint a ((B)), mert a (Box (A / rightarrow / Diamond A)) már a (M), és ((B)) nem. Különös figyelmet kell fordítani arra, hogy a (Box (A / jobbra nyíl / Diamond A)) pozitív reakciónk nem befolyásolja a ((B)) értékelésünket. Megvédésünk egyik egyszerű módja a ((B)) ekvivalens megfogalmazása a következő axióma felhasználásával: (Gyémánt / A doboz / A jobbra mutató nyíl), ahol ezek a hatálybeli kétértelműségek nem merülnek fel.ahol nem merülnek fel a hatály ezen kétértelműségei.ahol nem merülnek fel a hatály ezen kétértelműségei.

3. Deontikus logika

A deontikus logika bevezeti a primitív (O) szimbólumot „kötelező, hogy”, ahonnan a (megengedett, hogy a (P) szimbólumok és a (tilos) „(F) szimbólumok meghatározása: (PA = { sim} O { sim} A) és (FA = O { sim} A). A modális axióma deontikus analógja ((M): OA / jobbra mutató nyíl A) egyértelműen nem megfelelő a deontikus logikához. (Sajnos nem mindig kell a helyzet.) A deontikus logika alapvető (mathbf {D}) rendszerét úgy lehet felépíteni, hogy a ((D)) gyengébb axiómát a (bK).

) tag {(D)} OA / jobbra nyíl PA)

Axiom ((D)) garantálja a kötelezettségek rendszerének konzisztenciáját azzal, hogy ragaszkodik ahhoz, hogy ha (A) kötelező, (A) megengedett. Egy olyan rendszer, amely arra kötelezi minket, hogy hozzon létre (A), de nem engedi meg nekünk, hogy elkerülhetetlen kötésbe hozzon minket. Bár néhányan azt állítják, hogy az ilyen kötelezettségkonfliktusok legalább lehetséges, a legtöbb deontikus logikus elfogadja a ((D)).

(O (OA / jobbra mutató nyíl A)) egy másik deontikus axióma, amely kívánatosnak tűnik. Habár azt állítják, hogy ha (A) kötelező, akkor (A) a helyzet ((OA / A jobboldali nyíl)), ennek ellenére ennek a feltételnek kell lennie. Tehát egyes deontikus logikusok úgy vélik, hogy a (D) -et ki kell egészíteni (O (OA / A jobb oldali nyíl)) is.

A deontikus logikában ismét felmerül a vita a operátorok iterációjával (ismétlésével). A kötelezettség bizonyos elképzeléseiben (OOA) csak (OA) értéket jelent. „Legyen, hogy lennie kellene” - egyfajta dadogásnak tekintik; az extranak nem kell újnak lennie. Tehát axiómákat adunk a (OOA) és (OA) egyenértékűségének garantálásához. A (mathbf {S5}) dokumentumban szereplő általánosabb iterációs politikát szintén elfogadhatjuk. Vannak olyan kötelezettség fogalmak, amelyekben megtartják a különbséget a (OA) és a ((OOA)) között. Az ötlet az, hogy valódi különbségek vannak a ténylegesen felmerülő kötelezettségeink és az általunk elfogadandó kötelezettségek között. Tehát például: "úgy kell lennie, hogy (A)" parancsként írja elő olyan kötelezettség elfogadását, amely valójában nem létezik, és ennek eredményeként (OOA) akkor is igaz, ha (OA) hamis.

4. Időbeli logika

Az időbeli logikában (más néven feszült logika) két alapvető operátor létezik: (G) a jövő számára és (H) a múlt számára. (G) szöveget 'mindig így lesz', és a definiált operátort (F) (olvassa el 'ez lesz a helyzet') bevezetheti a (FA = { sim} G { sim } A). Hasonlóképpen: a (H) szöveget úgy kell értelmezni, hogy „mindig is így volt”, és a (P) (mert 'volt az eset') a következőt határozza meg: (PA = { sim} H { sim} A). A (mathbf {Kt}) elnevezésű, az időbeli logika alapvető rendszere az (bK) alapelveinek mind a (G), mind a (H) vonatkozásában történő elfogadásából származik, valamint két axiómával az interakció irányítására. a múlt és a jövő szereplői között:

Szükségességi szabályok:

Ha (A) tétel, akkor (GA) és (HA).

Terjesztési axiómák:

(G (A / jobb oldali nyíl B) jobb oldali nyíl (GA / jobb oldali nyíl GB)) és (H (A / jobb oldali nyíl B) jobb oldali nyíl (HA / jobb oldali nyíl HB))

Interakciós axiómák:

(A / jobb oldali nyíl GPA) és (A / jobb oldali nyíl HFA)

Az interakciós axiómák kérdéseket vetnek fel a múlt és a jövő közötti aszimmetriákkal kapcsolatban. Általános intuíció az, hogy a múlt rögzített, míg a jövő még nyitott. Az első interakciós axióma ((A / jobbra nyíl GPA)) megfelel ennek az intuíciónak, amikor azt jelenti, hogy mi a helyzet ((A)), minden jövőben a jövőben is a múltban lesz ((GPA)). Úgy tűnik azonban, hogy a (jobb oldali nyíllal rendelkező HFA) elfogadhatatlanul determinisztikus felhangokkal rendelkezik, mivel állítólag azt állítja, hogy a mostani helyzet ((A)) mindig is olyan volt, hogy a jövőben is előfordul majd. ((HFA)). Az időbeli logika lehetséges világszemantikája azonban felfedi, hogy ez az aggodalom egyszerű összetévesztés eredménye, és hogy a két interakciós axióma egyformán elfogadható.

Vegye figyelembe, hogy a modális logika jellegzetes axiómája, a ((M): / A rovat / jobbra mutató nyíl) sem (H), sem a (G) nem elfogadható, mivel (A) nem következik a "mindig a helyzet volt a ((A))", és a "mindig így lesz a ((A))" ponttól. Ez azonban elfogadható egy szorosan összefüggő időbeli logikában, ahol a (G) betűt „az mindig van és mindig lesz”, a „(H”) pedig azt, hogy „van és mindig is volt”.

Attól függően, hogy milyen feltételezéseket lehet levonni az idő szerkezetéről, további axiómákat kell hozzáadni az időbeli logikához. Az idõbeli logikában általánosan alkalmazott axiómák felsorolása következik. A lehetséges világok szemantikája című szakaszban ismertetik, hogy ezek mennyiben függnek az idő szerkezetétől.

) kezdődik {igazítás *} GA / jobbra mutató GGA & / szöveg {és} HA / jobbra mutató jobbra mutató HHA \\ GGA / jobbra mutató jobbra mutató GA és / szöveg {és} HHA / jobbra mutató nyíl HA \\ GA / jobbra mutató jobbra mutató FA és / szöveg {és} HA / jobbra nyíl PA / vége {igazítás *})

Érdekes megjegyezni, hogy a múltbeli és a jövőbeni operátorok bizonyos kombinációi felhasználhatók az összetett igeidők angol nyelvű kifejezésére. Például: (FPA) a (A) mondatnak felel meg a jövőben tökéletes időben (mint '20 másodperc múlva a fény megváltozik'). Hasonlóképpen, a (PPA) kifejezi a múlt tökéletes idejét.

Részletesebb megbeszélésért olvassa el az időbeli logika bejegyzését.

5. Feltételes és relevancia logika

A modális logika alapítója, CI Lewis a modális logika sorozatát határozta meg, amelynek (Box) nem volt primitív szimbóluma. Lewis arra törekedett, hogy olyan feltételes logikát dolgozzon ki, amely mentes az anyagi vonatkozású úgynevezett paradoxonoktól, nevezetesen a klasszikus tételektől (A / jobb oldali nyíl ({ sim} A / jobb oldali nyíl B)) és (B / jobb oldali nyíl (A / jobbra mutató nyíl B)). Bemutatta a (fishhook) szimbólumot a „szigorú implikációra”, és kifejlesztett logikát, ahol sem (A / fishhook ({ sim} A / fishhook B)), sem (B / fishhook (A / fishhook B)) bizonyítható. A modern gyakorlat az (A / fishhook B) meghatározása (Box (A / jobbra mutató B)) segítségével, és hasonló eredmények elérése érdekében a (Box) irányító modális logikát kell használni. Ugyanakkor az ilyen képletek, mint például a ((A / amp { sim} A) fishhook B) valószerűsége ilyen logikában ellentmond a paradoxonok aggodalmának. Anderson és Belnap (1975) rendszereket fejlesztettek ki (mathbf {R}) (a relevancia logikához) és (mathbf {E}) (Entailment számára), amelyek célja az ilyen nehézségek leküzdése. Ezek a rendszerek megkövetelik a javaslati logika szabványos rendszereinek felülvizsgálatát. (Lásd Mares (2004) és a relevancia logikáról szóló bejegyzés.)

David Lewis (1973) és mások feltételes logikát fejlesztettek ki a kontrafaktuális kifejezések kezelésére, vagyis az „ha (A) akkor megtörténik, akkor (B) megtörténik” kifejezésre. (Kvart (1980) egy másik jó forrás a témában.) A kontrafaktuális logika különbözik a szigorú implikáción alapuló logikától, mivel az előbbiek elutasítják, míg az utóbbi elfogadják az ellentmondást.

6. Lehetséges világok szemantika

A logika célja az érvényes és érvénytelen argumentumok közötti különbség jellemzése. A nyelv logikai rendszere olyan axiómák és szabályok halmaza, amelyek célja a nyelvben érvényes érvényes érvek pontos bizonyítása. Egy ilyen logika létrehozása nehéz feladat lehet. A logikusnak meg kell győződnie arról, hogy a rendszer megalapozott, azaz hogy minden, a szabályok és axiómák alapján bebizonyított érv valóban érvényes. Ezenkívül a rendszernek teljesnek kell lennie, azaz minden érvényes érvnek bizonyítékot kell tartalmaznia a rendszerben. A hivatalos rendszerek megalapozottságának és teljességének bizonyítása a logikus központi kérdése.

Egy ilyen demonstráció nem indulhat el, amíg az érvényesség fogalmát szigorúan nem határozzák meg. A logikai formális szemantika meghatározza az érvényesség meghatározását a rendszer mondatainak valós viselkedése jellemzésével. A javaslati logikában az érvényesség meghatározható az igazságtáblák segítségével. Az érvényes érv egyszerűen az, amikor minden igazságtáblázat-sor, amely helyénvalóvá teszi a helyét, igazolja a következtetését. Az igazságtáblák azonban nem használhatók fel a modális logika érvényességének beszámolására, mivel nincsenek igazságtáblák olyan kifejezésekhez, mint „szükséges, hogy”, „kötelező, hogy” és hasonlók. (A probléma az, hogy a (A) igazságértéke nem határozza meg a (A rovat) igazságértékét. Például, ha (A) „Kutyák kutyák”, (A rovat) igaz, de ha (A) „kutyák háziállatok”, (A rovat hamis.) Ennek ellenére,a modális logika szemantikája meghatározható a lehetséges világok bevezetésével. Bemutatjuk a lehetséges szemantikákat a szükségszerűség logikájához, amely a ({ sim}, / jobbra mutató / és a ((Box)) szimbólumokat tartalmazza. Ezután elmagyarázza, hogyan lehet ugyanazt a stratégiát adaptálni a modális család többi logikájához.

Javaslatos logikában az atomi mondatok (vagy az igazságtáblák sorának) értékelése minden (p) állítási változóhoz ((T) vagy (F)) igazságértéket rendel. Ezután az összetett mondatok igazságértékeit igazságtáblákkal kell kiszámítani. A modális szemantikában a lehetséges világok halmazát vezetjük be. Az értékelés ezután igazsági értéket ad minden állítólagos változónak a (W) minden lehetséges világa számára. Ez azt jelenti, hogy a (p) értékhez a világ (w) érték eltérhet a (p) értékhez egy másik világhoz (w ') hozzárendelt értéktől.

Az (p) atommondat világszintű (w) valós értéke, amelyet a (v) értékelés ad, (v (p, w)). Ezt a jelölést figyelembe véve, a modális logika komplex mondatainak ((T) valódi, (F) hamis) igazságértékei adott értékre (v) (és a halmaz tagjára (w)) a világok (W)) fogalmát a következő igazságszámokat lehet meghatározni. (Az „iff” rövidítése „csak akkor és csak akkor”.)

) tag {({ sim})} v ({ sim} A, w) = T / text {iff} v (A, w) = F.)) tag {(rightarrow)} v (A / rightarrow B, w) = T / text {iff} v (A, w) = F / text {vagy} v (B, w) = T.)) tag {5} v (A mező, w) = T / szöveg {iff minden világ számára} w '\ text {in} W, v (A, w') = T.)

A (({ sim})) és a ((jobbra nyíl)) záradékok egyszerűen leírják az igazságtáblázat viselkedését a tagadás és az anyagi következmények vonatkozásában. Az (5) szerint a (A rovat) igaz (a világban (w)) pontosan akkor, amikor (A) igaz minden lehetséges világban. A (Diamond) meghatározása alapján (nevezetesen (Diamond A = { sim} Box { sim} A)) az igazságfeltétel (5) biztosítja, hogy (Diamond A) igaz, ha (A) igaz valamely lehetséges világban. Mivel a (z) (Box) és a ((Diamond)) igazságügyi záradékai az „összes” és a „néhány” számszerűsítőt tartalmazzák, a logikai viselkedés párhuzamai a (Box) és a ((forall x) között), valamint a (2) szakaszban említett (Gyémánt) és a ((létezik x)) között várható lesz.

A (({ sim}), (jobbra nyíl)) és (5) záradékok lehetővé teszik számunkra, hogy kiszámoljuk bármely mondat valós értékét bármelyik világon egy adott értéknél. Az érvényesség meghatározása most a sarkon található. Egy argumentum 5-re érvényes egy adott W (a lehetséges világok) halmazára, ha és csak akkor, ha az atomi mondatok minden értékelése, amely a (W) világban a helyiségeket ((T)) rendeli, szintén hozzárendeli a következtetést: T) ugyanabban a világban. Egy argumentum 5-érvényes, ha érvényes az esetleges világok minden nem üres (W) halmazára.

Kimutatták, hogy (mathbf {S5}) egészséges és teljes az 5-érvényesség szempontjából (ezért használjuk az '5' szimbólumot). Az öt érvényes argumentum pontosan azok a argumentumok, amelyek a (mathbf {S5}) fájlban bizonyíthatók. Ez az eredmény azt sugallja, hogy (mathbf {S5}) a helyes módszer a szükségszerűség logikájának megfogalmazására.

A (mathbf {S5}) azonban nem ésszerű logika a modális család minden tagjának. A deontikus logikában, az időbeli logikában és másokban az igazságfeltétel (5) analógja nyilvánvalóan nem megfelelő; emellett vannak szükségszerűségi elképzelések is, amelyeket (5) szintén el kell utasítani. Az időbeli logika esetén a legkönnyebben megfigyelhető. Itt a (W) tagjai az idő pillanatai, vagy a világok, amint egy pillanatra „befagytak”. Az egyszerűség kedvéért mérlegeljünk egy jövőbeli időbeli logikát, egy olyan logikát, ahol a (A mezőben) a következő szöveg van: „mindig így lesz”. (A rendszert a (Box), a hagyományos (G) helyett úgy formáljuk, hogy a más modális logikával való kapcsolat könnyebben értékelhető legyen.) A (Box) helyes mondatának azt kell mondania, hogy (A rovat) igaz az időben (w) iff (A) mindenkor igaz a (w) jövőben. A jövőre való figyelem korlátozása érdekében be kell vezetni a (R) kapcsolatot („korábban”). A helyes záradékot a következőképpen lehet megfogalmazni.

) tag {(K)} v (A mező, w) = T / szöveg {iff minden} w ', / text {if} wRw', / text {then} v (A, w ') = T.)

Ez azt mondja, hogy a (A / box) igaz a (w), csak arra az esetre, ha (A) mindig igaz a (w).

Most meghatározható az ezen logikai márka érvényessége. A keret (langle W, R / rangle) egy pár, amely nem üres halmazból (W) (a világokból) és egy bináris relációból ((R)) áll, a (W) oldalon. A modell (langle F, v / rangle) egy keretből (F) és egy értékbecslésből (v) áll, amely igazságértékeket rendel hozzá az atomi mondatokhoz minden világban a (W). Adott modell alapján az összes összetett mondat értéke (({ sim}), (jobbra nyíl)) és ((K)) segítségével határozható meg. Az érv: (bK) - érvényes, ha minden olyan modell, amelynek értékelése a helyiségeket (T) rendezi egy világban, ugyanazon a világon vonja le a (T) következtetést. Mint az olvasó a "(bK)" használatából valószínűleg sejtette, kiderült, hogy a (bK) legegyszerűbb modális logika (bK) érvényesség szempontjából egyaránt megalapozott és teljes.

7. Modális axiómák és feltételek a keretekre

A beszélgetésből azt feltételezhetjük, hogy a (bK) a helyes logika, amikor a (Box) szöveget "mindig így lesz". Ugyanakkor okokra gondolhatunk, hogy a (bK) túl gyenge. A (R) kapcsolat (nyilvánvalóan korábbi) egyik nyilvánvaló logikai tulajdonsága a tranzitivitás. Ha (wRv (w) korábbi, mint (v)) és (vRu (v) korábbi, mint (u)), akkor ebből következik, hogy (wRu (w) korábbi, mint (u)). Tehát definiáljunk egy újfajta érvényességet, amely megfelel ennek a feltételnek a (R) oldalon. Legyen egy 4 modell bármely olyan modell, amelynek kerete (langle W, R / rangle) olyan, hogy (R) tranzitív reláció a (W) felületen. Ezután egy érvelés 4-ig érvényes, ha bármely 4 modell, amelynek értékelése (T) -ot ad egy helyiségnek egy világban, szintén (T) -ot jelöli a következtetésre ugyanabban a világban. A '4' -et használjuk egy ilyen tranzitív modell leírására, mivel a 4-érvényesség szempontjából megfelelő (mind hang, mind teljes) logika (mathbf {K4}), a logika a (4) axióma összeadásából származik: (A doboz / jobbra nyíl / Box / A doboz) a (bK) mappába.

A tranzitivitás nem az egyetlen olyan tulajdonság, amelyre szükség lehet a keretben (langle W, R / rangle), ha (R) 'korábban' kell olvasni, és (W) egy sor pillanatokat. Az egyik feltétel (amely csak enyhén ellentmondásos) az, hogy nincs az utolsó pillanat, azaz hogy minden világban (w) van olyan világ (v), amelyben (wRv) van. Ezt a kereten belüli feltételt sorososságra hívják. A sorozatok megfelelnek az axiómának ((D): / A keretes doboz / jobbra / Diamond A), ugyanúgy, mint a tranzitivitás (4) -nek. A (mathbf {D}) - modell egy (bK) - modell soros kerettel. Az (mathbf {D}) - modell alapján a (mathbf {D}) - érvényesség fogalma meghatározható ugyanúgy, mint a 4-érvényesség esetén. Mint valószínűleg kitaláltad, a (mathbf {D}) - érvényesség szempontjából megfelelő rendszer (mathbf {KD}),vagy (bK) plus ((D)). Nem csak, de a (mathbf {KD4}) (vagyis (bK) plusz (4) és ((D))) rendszer megfelelő a (mathbf {D4}) - érvényesség, ahol egy (mathbf {D4}) - modell olyan, ahol a (langle W, R / rangle) egyaránt soros és tranzitív.

Egy másik tulajdonság, amelyet a „korábban” kapcsolathoz kérhetünk, a sűrűség, amely azt mondja, hogy bármelyik kettő között mindig találhatunk egy másikat. A sűrűség hamis lenne, ha az idő atomi lenne, azaz ha lennének olyan időintervallumok, amelyeket nem lehet kisebb részekre bontani. A sűrűség megfelel a tengely axiómájának ((C4): / Doboz / A rovat / jobb oldali nyíl / A doboz), a (4) fordítottja, így például a (mathbf {KC4}) rendszer, amely (bK) plus ((C4)) megfelelő azokhoz a modellekhez, ahol a keret (langle W, R / rangle) sűrű, és (mathbf {KDC4}) megfelelő, modellekhez, amelyek kerete soros és sűrű, és így tovább.

A modális logikai axiómák mindegyike megegyezik a keretek feltételével. A keretek körülményei és a hozzájuk tartozó axiómák közötti kapcsolat a modális logika vizsgálatának egyik központi témája. Miután eldöntötték az intenzív operátor (Box) értelmezését, meg lehet határozni a (R) megfelelő feltételeit, hogy rögzítsék a megfelelő érvényesség fogalmát. Ez viszont lehetővé teszi számunkra, hogy kiválasztjuk a logika megfelelő axiómáinak halmazát.

Vegyünk például egy deontikus logikát, ahol a (Box) kifejezés „kötelező”. Itt az (A rovat) igazsága nem követeli a (A) igazságát minden lehetséges világban, hanem csak azoknak a világoknak egy részhalmazában, ahol az emberek azt teszik, amit kéne. Tehát szeretnénk bevezetni egy (R) relációt egy ilyen típusú logikára is, és az ((K)) igazsági kikötés felhasználásával értékelhetjük a (A / keretes) világot. Ebben az esetben azonban (R) nem korábbi mint. Ehelyett a (wRw ') érvényes, ha a világ (w') a (w) erkölcsileg elfogadható változata, azaz egy olyan világ, amelyet cselekedeteink előidézhetnek, amely kielégíti azt, ami erkölcsileg helyes vagy helyes, vagy éppen. Egy ilyen olvasatban világossá kell tenni, hogy a vonatkozó kereteknek meg kell felelniük a sorozatnak, amely feltétele, hogy minden lehetséges világnak erkölcsileg elfogadható változata legyen. A (R) tulajdonságok elemzése világossá teszi, hogy az alapvető deontikus logika megfogalmazható a ((D)) axióma és a (bK) összeadásával.

Még a modális logikában is korlátozni kell a lehetséges világok körét, amelyek relevánsak annak meghatározásakor, hogy a (A mező) igaz-e egy adott világban. Például azt mondanám, hogy fizetnem kell a számláimat, annak ellenére, hogy nagyon jól tudom, hogy létezik egy olyan világ, ahol nem fizetik meg őket. A közönséges beszédben az az állítás, hogy (A) szükséges, nem megköveteli (A) igazságát minden lehetséges világban, hanem csak egy bizonyos világcsoportban, amelyre gondolok (például olyan világokban, ahol Kerülöm a fizetés elmulasztásáért kiszabott büntetéseket). Annak érdekében, hogy a szükségszerűség általános kezelését biztosítsuk, azt kell mondanunk, hogy (A rovat / igaz a (w) iff (A) értékre minden olyan világban, amely a (w) -hoz kapcsolódik a helyes út. Tehát egy operátor számára (Box) szükségszerűségként értelmezve,beveszünk egy megfelelő relációt (R) a lehetséges világok csoportjába (W), amelyet hagyományosan hozzáférhetőség relációnak nevezünk. A hozzáférhetőségi kapcsolat (R) a világok (w) és (w ') iff (w') között fennáll, tekintettel a (w) tényekre. A (R) ezen olvasatában világossá kell tenni, hogy a modális logika kereteinek reflexióknak kell lenniük. Ebből következik, hogy a modális logikát a (M) -re kell alapozni, a rendszernek, amely az ((M)) hozzáadásakor a (bK) -hez történik. Attól függően, hogy pontosan hogyan értik az akadálymentességi viszonyt, szimmetria és tranzitivitás is kívánatos lehet.egyértelműnek kell lennie, hogy a modális logika kereteinek reflexióknak kell lenniük. Ebből következik, hogy a modális logikát a (M) -re kell alapozni, a rendszernek, amely az ((M)) hozzáadásakor a (bK) -hez történik. Attól függően, hogy pontosan hogyan értik az akadálymentességi viszonyt, szimmetria és tranzitivitás is kívánatos lehet.egyértelműnek kell lennie, hogy a modális logika kereteinek reflexióknak kell lenniük. Ebből következik, hogy a modális logikát a (M) -re kell alapozni, a rendszernek, amely az ((M)) hozzáadásakor a (bK) -hez történik. Attól függően, hogy pontosan hogyan értik az akadálymentességi viszonyt, szimmetria és tranzitivitás is kívánatos lehet.

A következő szakaszban megtalálható a kereteken és a hozzájuk kapcsolódó axiómákban néhány, általánosan megvitatott feltétel, valamint a különféle modális logikák kapcsolatát ábrázoló térkép.

8. A modális logika közötti kapcsolatok térképe

Az alábbi ábra bemutatja a legismertebb modális logika, nevezetesen a logikákat, amelyek a ((D), (M)), (4), ((B)) axiómák hozzáadásával állíthatók elő. (5) - (bK) -ig. Ezen (és egyéb) axiómák felsorolása, a hozzájuk tartozó keretfeltételekkel együtt, a diagram alatt található.

hiányzó szöveg, kérjük, értesítse
hiányzó szöveg, kérjük, értesítse

A modális logika diagramja

Ebben a táblázatban a rendszereket axiómáik listája adja meg. Tehát például a (mathbf {M4B}) a ((M)), (4) és ((B)) összeadásának az eredménye a (bK) értékhez. Félkövér betűkkel jelöltük néhány rendszer hagyományos nevét. Amikor a rendszer (mathbf {S}) megjelenik egy vonallal összekötött (mathbf {S} ') alatt és / vagy bal oldalán, akkor a (mathbf {S}') kiterjesztése a (mathbf {S}). Ez azt jelenti, hogy a (mathbf {S}) fájlban igazolható minden argumentum (mathbf {S} ') könyvtárban bizonyítható, de a (mathbf {S}) gyengébb, mint a ((mathbf {S}) '), azaz a (mathbf {S}') fájlban bizonyítható összes argumentum nem bizonyítható (mathbf {S}) fájlban.

A következő lista az axiómák axiómáit, nevét és az elérhetőség relációjának megfelelő feltételeit jelöli az ebben az enciklopédia bejegyzésben eddig tárgyalt axiómákhoz.

Név Alapigazság A keretek állapota R…
((D)) (A doboz / jobbra / Diamond A) (létezik w wRu) Sorozatszám
((M)) (A doboz / jobbra mutató A) (WRW) Visszaható
(4) (A doboz / jobbra nyíl / Box / A doboz) ((wRv / amp vRu) Jobbra mutató wRu) Tranzitív
((B)) (A / jobbra / Doboz / Diamond A) (wRv / Jobbra mutató vRw) Szimmetrikus
(5) (Diamond A / jobbra nyíl / Box / Diamond A) ((wRv / amp wRu) Jobbra mutató vRu) euklideszi
((CD)) (Gyémánt / jobb oldali nyíl / A doboz) ((wRv / amp wRu) Jobbra mutató nyíl v = u) Funkcionális
((M mező)) (Box (Box A / jobbra mutató nyíl A)) (wRv / Jobbra mutató vRv)

Shift

reflexív

((C4)) (Doboz / A doboz / jobbra mutató / A A doboz) (wRv / Rightarrow / létezik u (wRu / amp uRv)) Sűrű
((C)) (Gyémánt / Doboz A / Jobbra nyíl / Doboz / Diamond A) (wRv / amp wRx / Rightarrow / létezik u (vRu / amp xRu)) A konvergens

A keretekkel kapcsolatos feltételek listájában és a cikk többi részében a '(w)', '(v)', '(u)', '(x)' és a '(létezik u)' számszerűsítőt úgy kell értelmezni, hogy a (W) tartományba esik. Az '&' rövidítése 'és' és '(Rightarrow)' rövidítése 'ha … akkor'.

Az axiómák és a keretfeltételek közötti, az itt tárgyalt fogalom magyarázatát az előző szakaszban ismertették. Ha S az axiómák listája és F (S) a megfelelő keretfeltételek halmaza, akkor S pontosan megfelel az F (S) -nek, amikor a K + S rendszer megfelelő (hangos és teljes) az F (S)-érvényességre, vagyis egy argumentum bizonyítható K + S-ban, ha F (S) -érvényes. A modális logika kutatása során számos erősebb fogalom merült fel az axiómák és a keretfeltételek közötti megfelelésről.

9. Az általános szorongás

A keretek axiómáinak és feltételeinek megfelelése rejtélynek tűnik. Lemmon és Scott (1977) gyönyörű eredménye hosszú utat mutat e kapcsolatok magyarázata felé. Tételük az alábbi axiómákra vonatkozott:

) címke {(G)} Gyémánt ^ h / Box ^ i A / jobbra nyíl / Box ^ j / Diamond ^ k A)

A '(Diamond ^ n)' jelölést használjuk, hogy egymás után (n) gyémántokat ábrázoljunk, így például a '(Diamond ^ 3)' rövidíti a három gyémánt sorozatát: '(Gyémánt / Gyémánt / Gyémánt)”. Hasonlóképpen a '(Box ^ n)' jelöli a (n) mezőket. Ha (h, i, j) és (k) értéke mind 1, akkor axiómánk van ((C)):

) tag {(C)} Diamond / Box A / rightarrow / Box / Diamond A = / Diamond ^ 1 / Box ^ 1 A / rightarrow / Box ^ 1 / Diamond ^ 1 A)

A ((B)) axióma a (h) és (i) 0-ra állításából adódik, és ha a (j) és (k) értéke 1:

) tag {(B)} A / jobbra nyíl / Box / Gyémánt A = / Gyémánt ^ 0 / Doboz ^ 0 A / jobbra nyíl / Doboz ^ 1 / Gyémánt ^ 1 A)

A (4) előállításához a (h) és (k) 0-ra állíthatjuk, a (i) értékét 1-re és (j) értékét 2-re állíthatjuk:

) tag {4} Box A / jobbra mutató / Box / Box A = / Diamond ^ 0 / Box ^ 1 A / rightarrow / Box ^ 2 / Diamond ^ 0 A)

A modális logika sok (de nem mindegyik) axiómája megszerezhető a ((G)) paraméterek megfelelő értékeinek beállításával.

Következő feladatunk a keretek feltételének megadása, amely megfelel a ((G)) értéknek a megadott értékeknél a (h, i, j) és (k) értékre. Ehhez meghatározásra van szükség. A (R) és (R ') kapcsolatok összetétele új (R / kör R') kapcsolat, amelyet a következőképpen határozunk meg:

[wR / circ R'v / text {iff for some} u, wRu / text {and} uR'v.)

Például, ha (R) a testvér kapcsolat, és (R ') a szülő kapcsolat, akkor (R / kör R') nagybátyja viszonya, (mivel (w) az (v) i nagybátyja valamilyen személy számára (u), mind a (w) (u) testvére, és (u) a szülő (v)). A kapcsolat önmagával is felépíthető. Például, ha (R) a szülői viszony, akkor (R / kör R) a nagyszülõdés viszonya, és (R / kör R / kör R) a nagyszülő lenni. Hasznos a '(R ^ n)' felírása, ha (R) magad saját magukkal készítik (n). Tehát (R ^ 2) (R / kör R) és (R ^ 4) (R / kör R / kör R / kör R). Hagyjuk, hogy (R ^ 1) legyen (R), és (R ^ 0) legyen az identitás reláció, azaz (wR ^ 0 v) iff (w = v).

Most kijelenthetjük a Scott-Lemmon eredményt. A keretek azon feltétele, amely pontosan megfelel a ((G)) alak bármely axiómájának, a következő.

) tag {(hijk) - Konvergencia} wR ^ hv / amp wR ^ ju / Rightarrow / létezik x (vR ^ ix / amp uR ^ kx))

Érdekes megnézni, hogy a ((R)) ismerős feltételei hogyan eredményezik a (h), (i), (j) és (k) értékeknek a a megfelelő axióma. Például vegye figyelembe (5). Ebben az esetben (i = 0) és (h = j = k = 1). Tehát a megfelelő feltétel

[wRv / amp wRu / Rightarrow / létezik x (vR ^ 0 x / amp uRx).)

Megmagyaráztuk, hogy (R ^ 0) az identitási kapcsolat. Tehát ha (vR ^ 0 x), akkor (v = x). De (létezik x (v = x / amp uRx)), ekvivalens (uRv) -nel, így az euklideszi állapotot kapjuk:

[(wRv / amp wRu) Jobbra mutató nyíl uRv.)

A (4) axióma esetén (h = 0, i = 1, j = 2) és (k = 0). Tehát a keretek megfelelő feltétele

[(w = v / amp wR ^ 2 u) Rightarrow / létezik x (vRx / amp u = x).)

Az identitások megoldása ez a következő:

[vR ^ 2 u / Jobbra mutató nyíl vRu.)

A (R ^ 2, vR ^ 2 u) iff (létezik x (vRx / amp xRu)) meghatározásával, tehát ez a következő:

) létezik x (vRx / amp xRu) jobbra mutató vRu,)

amely predikatív logika alapján egyenértékű a tranzitivitással.

[vRx / amp xRu / Rightarrow vRu.)

Az olvasó számára kellemes feladat lehet látni, hogy a megfelelő feltételek miként esnek ki a hijk-konvergenciából, amikor a (h), (i), (j) és (k) paraméterek értékei más axiómák állítják be.

A Scott-Lemmon eredmények gyors módszert kínálnak az axiómák és a hozzájuk tartozó keretfeltételek közötti kapcsolat megállapításához. Mivel minden olyan logika megfelelőségét megmutatták, amely kiterjeszti a (bK) a ((G)) forma axiómáinak kiválasztásával olyan modellek vonatkozásában, amelyek megfelelnek a megfelelő keretfeltételeknek, „nagykereskedelmi” megfelelőséget nyújtottak a modális család legtöbb rendszerének igazolása. Sahlqvist (1975) felfedezte a Scott-Lemmon eredmény fontos általánosításait, amelyek az axiómatípusok sokkal szélesebb körét fedik le.

Az olvasót azonban figyelmeztetni kell arra, hogy az axiómák és a keretek körülményei közötti megfelelés atipikus. Vannak olyan feltételek a keretekben, amelyek nem felelnek meg axiómáknak, és vannak olyan feltételek a keretekben, amelyekre egyetlen rendszer sem megfelelő. (Példaként lásd: Boolos, 1993, 148. oldal).

10. Kétdimenziós szemantika

A kétdimenziós szemantika a lehetséges világszemantika egy változata, amely két (vagy több) típusú paramétert használ az igazság értékelésében, nem pedig a lehetséges világok önmagában. Például az olyan indexes kifejezések logikájának, mint például az „én”, „itt”, „most” és hasonlók, be kell vezetniük a nyelvi kontextust (vagy rövid összefüggésben). Adva egy kontextust (c = / langle s, p, t / rangle) ahol (s) a hangszóró, (p) a hely és (t) a kijelentés ideje, akkor ' 'jelentése (s) -re, „itt” - (p) -re és a „most” -ra (t) -re. Tehát összefüggésben (c = / langle) Jim Garson, Houston, 15:00 CST, 4/3 / (2014 / rangle) „Itt vagyok most” T, ha Jim Garson Houstonban található, 15:00 CST, 2014.4.3.

A lehetséges világszemantikában egy mondat igazságértéke attól a világtól függ, amelyen azt értékelik. Az indexelõk azonban egy második dimenziót hoznak be - tehát újra kell általánosítanunk. Kaplan (1989) a B mondat karakterét függvényként határozza meg a (nyelvi) kontextus halmazától a B tartalmáig (vagy intenzitásáig), ahol a tartalom viszont egyszerűen B intenzitása, azaz egy funkció a lehetséges világoktól az igazságértékekig. Az igazságértékelés itt kétszeresen függ - mind a nyelvi összefüggésektől, mind a lehetséges világoktól.

Kaplan egyik legérdekesebb megfigyelése az, hogy néhány indexes mondat feltételes, de ugyanakkor analitikusan igaz. Példa erre az (1).

(1) Most itt vagyok

Csak a szavak jelentése alapján láthatjuk, hogy az (1) minden helyzetben igaznak kell lennie (c = / langle s, p, t / rangle). Végül is, a (c) nyelvi kontextusnak számít, ha (s) olyan beszélõ, aki a (z) ((p)) idõben helyben van (t). Ezért az (1) igaz a (c) -nél, és ez azt jelenti, hogy az igazság-értékek mintázatának (1) a kontextus dimenziója mentén az összes Ts-nek kell lennie (mivel a lehetséges világot rögzítettnek tartjuk). Ez azt sugallja, hogy a kontextus dimenziója alkalmas arra, hogy nyomon kövesse a nyelvünk elsajátításából nyert elemzési ismereteket. Másrészt a lehetséges világok dimenziója nyomon követi a szükséges lépéseket. Ha a kontextus rögzített, akkor vannak olyan világok, ahol az (1) hamis. Például, amikor (c = / langle) Jim Garson, Houston, 15:00 órakor, CST 4/3 / (2014 / rangle), (1) (c) meghibásodik egy lehetséges világban, ahol Jim Garson Bostonban van 3 éves korában:00:00 CST, 2014.4.3. Ebből következik, hogy „Itt vagyok most” egy feltételes elemző igazság. Ezért a kétdimenziós szemantika képes kezelni azokat a helyzeteket, amelyekben a szükségszerűség és az elemzőség elválasztódik.

Egy másik példa arra, hogy a két dimenzió bevezetése hasznos a nyílt jövő logikájában (Thomason, 1984; Belnap és mtsai., 2001). Itt egy olyan időbeli szerkezetet alkalmazunk, ahol sok lehetséges jövőbeli történelem kiterjed egy adott időpontra. Fontolja meg (2).

(2) Joe holnap tengeri csatát rendel el

Ha a (2) függő, akkor előfordulhat egy olyan történelem, ahol a csata az értékelés időpontját követő napon következik be, és egy másik, ahol a csata akkor nem fordul elő. Tehát a kiértékeléshez (2) két dolgot tudnunk kell: mennyi az értékelés ideje, és mely t történik meg a h történetek között. Tehát egy ilyen logikában szereplő mondatot páronként kell kiértékelni (langle t, h / rangle).

Egy másik, a kétdimenziós szemantika által megoldandó probléma a „most” és az egyéb időbeli kifejezések közötti kölcsönhatás, például a jövőbeni „lesz a helyzet”. Akkor valószínű, hogy azt gondoljuk, hogy a „most” az értékelés idejére vonatkozik. Tehát a következő igazságfeltétel lenne:

) tag {Now} v (text {Now} B, t) = / mathrm {T} text {iff} v (B, t) = / mathrm {T}.)

Ez azonban nem alkalmazható olyan mondatokhoz, mint a (3).

(3) A jövő valamilyen pontján mindenki, aki most él, ismeretlen lesz

Ha a (mathrm {F}) a jövőbeni feszült operátor, (3) lefordítható:

) tag {(3 ')} mathrm {F} forall x (text {Now} Lx / rightarrow Ux).)

(A helyes fordítás nem lehet (forall x (text {Now} Lx / rightarrow / mathrm {F} Ux)), a (mathrm {F}) szűk hatókörrel rendelkezik, mert a (3) szerint egy jövőbeli idő, amikor a most élő dolgok együtt ismeretlenek, nem pedig az, hogy minden élőlény ismeretlen lesz a jövő jövőjének saját idején). Amikor a (3) (') igazságfeltételeit a (Most) és az igazságfeltétel ((mathrm {F})) felhasználásával kiszámolják a (mathrm {F}) értékre, kiderül, hogy (3) (') igaz abban az időben (u) ha van olyan idő (t) (u) után, hogy minden, ami a (t) időpontban él (nem (u)!) ismeretlen a következő helyen: (t).

) tag {F} v (mathrm {F} B, t) = / mathrm {T} text {iff egy ideig} u / text {később} t, v (B, u) = / mathrm {T}.)

A (3) (') helyes értékeléséhez, hogy az megegyezzen azzal, amit a (3) -ben értünk, meg kell győződnünk arról, hogy a „most” mindig utal a mondat eredeti idejére, amikor a „most” más időbeli operátorok, mint például F. Ezért nyomon kell követnünk, hogy melyik idő a kijelentés ideje ((u)), valamint hogy melyik az értékelés ideje ((t)). Az indexeink tehát egy pár (langle u, e / rangle) pár formáját öltik, ahol (u) a kijelentés ideje, és (e) az értékelés ideje. Ezután a (most) igazság feltételt (2DNow) -ra módosítják.

) tag {2DNow} v (text {most} B, / langle u, e / rangle) = / mathrm {T} text {iff} v (B, / langle u, u / rangle) = / mathrm {T}.)

Ez azt jelenti, hogy a Now (B) igaz az értékelés megfogalmazásakor és e időpontjában, feltéve, hogy B igaz, amikor az u értékelési időpontot kell figyelembe venni. Amikor az F, (forall) és (rightarrow) igazságfeltételeit nyilvánvaló módon felülvizsgálják (figyelmen kívül hagyja a párban lévő u-t), (3) (') igaz a (langle u, e / rangle), feltéve, hogy (e ') később van olyan idő, mint az e, tehát minden, ami (u) -on él, ismeretlen a (e) -nél. Ha hordozunk egy nyilvántartást arról, hogy mi az (u) az igazság kiszámítása során, akkor a „most” értéket mindig rögzíthetjük a kihangosítás eredeti idejéhez, még akkor is, ha a „most” mélyen beágyazódik más időbeli operátorokba.

Hasonló jelenség merül fel a modális logikában egy A tényezővel (lásd: „valójában ez a helyzet”). A megfelelő értékeléshez (4) nyomon kell követnünk, melyik világnak tekintjük a tényleges (vagy a valódi) világot, valamint azt, amelyik az értékelés világa.

(4) Lehetséges, hogy mindenki, aki él, ismeretlen

A szemantika különféle lehetséges világdimenzióinak megkülönböztetésére vonatkozó ötletnek hasznos alkalmazása volt a filozófiában. Például Chalmers (1996) érveket nyújtott be az (mondjuk) a zombik elképzelhetőségétől a dualista következtetésekig az elme filozófiájában. Chalmers (2006) kétdimenziós szemantikát alkalmazott, hogy segítsen azonosítani a jelentés olyan priori aspektusát, amely alátámasztja az ilyen következtetéseket.

Az ötlet a nyelv filozófiájába is beépült. Kripke (1980) híresen azzal érvelt, hogy a „víz H2O” utólagos, de ennek ellenére szükséges igazság, mivel mivel a víz csak H20, nincs olyan világ, ahol ezek a dolgok (mondjuk) alapvetõ elem, ahogyan a görögök gondoltak. Másrészt, van egy erős intuíció, amely a valós világtól kissé különbözne, mint mi van, az illatos folyadék, amely esőként esik az égből, megtölti tavainkat és folyóinkat, stb., Valószínűleg eleme lehetett volna. Tehát bizonyos értelemben elképzelhető, hogy a víz nem H20. A kétdimenziós szemantika teret enged ezeknek az intuícióknak, mivel külön dimenzióval rendelkezik, amely nyomon követi a víz elgondolását, amely elhagyja a víz kémiai természetét. A „víz” jelentésének ilyen „szűk tartalmú” ismertetése megmagyarázhatja, hogyan lehet szemantikai kompetenciát mutatni ennek a kifejezésnek a használatakor, és továbbra is tudatlanok lehetnek a víz kémiai vonatkozásában (Chalmers, 2002).

11. Bizonyíthatóság logika

A modális logika hasznos volt annak tisztázásában, hogy megértjük-e a matematika alapjainak provabilitására vonatkozó központi eredményeket (Boolos, 1993). A valószínűségi logika olyan rendszerek, amelyekben a (p, q, r) és az állítólagos változók valamelyik matematikai rendszer képletein átnyúlnak, például a Peano rendszerében (mathbf {PA}) az aritmetika számára. (A matematikához választott rendszer változhat, de feltételezzük, hogy (mathbf {PA}) ehhez a beszélgetéshez.) Gödel megmutatta, hogy az aritmetika erős kifejező képességekkel rendelkezik. Kódszámokkal számtani mondatokhoz be tudta mutatni a matematikai mondatok és a tények közötti összefüggést arról, hogy mely mondatok vannak és nem bizonyíthatók (mathbf {PA}). Például,megmutatta, hogy létezik egy (C) mondat, amely igaz, ha a ((mathbf {PA}) fájlban nincs ellentmondás, és van egy (G) mondat (a híres Gödel-mondat), amely igaz, abban az esetben, ha ez nem bizonyítható a (mathbf {PA}) fájlban.

A bizonyíthatósági logikában a (p) egy (számtani) képletként értelmezzük, amely azt fejezi ki, hogy az, amit (p) jelent, igazolható (mathbf {PA}) -ben. Ennek a jelölésnek a felhasználásával a bizonyíthatósági logika mondatai fejezik ki a bizonyíték tényét. Tegyük fel, hogy a (bot) a bizonyíthatóság logikájának állandója, amely ellentmondást jelöl. Aztán ({ sim} Box / bot) azt mondja, hogy (mathbf {PA}) konzisztens, és (Box A / jobbra mutató nyíl) azt mondja, hogy (mathbf {PA}) megbízható abban az értelemben, hogy ha bizonyítja, hogy (A, A) valóban igaz. Ezenkívül a doboz is iterálható. Tehát például a (Box { sim} Box / bot) állítja a kétes állítást, miszerint (mathbf {PA}) képes bizonyítani saját következetességét, és ({ sim} Box / bot / jobbra mutató { sim} Box { sim} Box / bot) azt állítja (helyesen, ahogy Gödel bizonyította), hogy ha (mathbf {PA}) következetes, akkor (mathbf {PA}) nem tudja bizonyítani saját következetességét.

Noha a bizonyíthatósági logika a kapcsolódó rendszerek családját alkotja, a (mathbf {GL}) rendszer messze a legismertebb. Ennek eredménye a következő axióma hozzáadása a (bK) -hez:

) címke {(GL)} Box (Box A / jobbra nyíl) rightarrow / A mező]

A (4) axióma: (A doboz / jobbra mutató / Doboz / A doboz) igazolható (mathbf {GL}) könyvtárban, tehát a (mathbf {GL}) valójában a (mathbf {K4}). Azonban olyan axiómák, mint a ((M): / A doboz / jobbra mutató A), és még a gyengébb ((D): / A doboz / jobbra mutató / A gyémánt) nem állnak rendelkezésre (és nem kívánatosak) a (mathbf {GL}). A bizonyíthatóság logikájában a bizonyíthatóságot nem kell szükségszerűségnek tekinteni. Ennek oka az, hogy ha a (p) a matematika tetszőleges rendszerében (mathbf {S}) bizonyítható, nem következik, hogy (p) igaz, mivel (mathbf {S}) nem megfelelő. Ezenkívül, ha (p) bizonyítható a (mathbf {S} (Box p)) -ben, akkor azt sem kell követnie, hogy ({ sim} p) nincs bizonyíték (({{sim} Box { sim} p = / Diamond p). / Mathbf {S}) inkonzisztens lehet, így igazolni kell mind a (p), mind a ({ sim} p) fájlt.

Az Axiom ((GL)) rögzíti a Loeb-tétel tartalmát, amely fontos eredmény a számtani alapok létrehozásában. (A doboz / jobbra mutató nyíl) azt mondja, hogy (mathbf {PA}) helyes a (A) számára, vagyis ha (A) bebizonyosodna, akkor az A igaz. (Lehet, hogy egy ilyen állítás nem biztonságos egy önkényesen kiválasztott rendszernél (mathbf {S}), mivel A valószínűsíthető (mathbf {S}) és hamis.) ((GL)) igények hogy ha (mathbf {PA}) sikerül bebizonyítani azt a mondatot, amely egy adott mondatra vonatkozik, (A), akkor (A) már igazolható (mathbf {PA}) fájlban. Loeb tétele egyfajta szerénységről számol be (mathbf {PA}) részéről (Boolos, 1993, 55. oldal). (mathbf {PA}) soha nem ragaszkodik hozzá (bizonyítja), hogy a (A) bizonyítéka magában foglalja ((A)) igazságát, kivéve, ha már rendelkezik bizonyítékkal arra, hogy ((A)) alátámasztja ezt az állítást.

Kimutatták, hogy a (mathbf {GL}) a következő értelemben megfelelő a bizonyíthatósághoz. Legyen mindig igaz a (mathbf {GL}) mondata pontosan akkor, amikor az ábrázolt aritmetikai mondat igazolható, függetlenül attól, hogy a változóinak milyen értékek vannak hozzárendelve a (mathbf {PA}) mondatokhoz. Akkor a (mathbf {GL}) bizonyítható mondatai pontosan azok a mondatok, amelyek mindig bizonyíthatók. Ez a megfelelőségi eredmény rendkívül hasznos, mivel a (mathbf {PA}) provativitással kapcsolatos általános kérdései könnyebb kérdésekké alakíthatók a (mathbf {GL}) demonstrálhatóságával kapcsolatban.

A (mathbf {GL}) olyan világszemantikával is felszerelhető, amelyre megbízható és teljes. A keretek megfelelő feltétele a (mathbf {GL}) - érvényesség szempontjából, hogy a keret tranzitív, véges és nem-flexibilis.

12. Fejlett modális logika

A modális logika alkalmazása a matematikában és a számítástechnikában egyre fontosabbá válik. A valószínűségi logika csak egy példa erre a tendenciára. A „fejlett modális logika” kifejezés a modális logika kutatásának olyan hagyományára utal, amelyet különösen jól reprezentálnak a matematika és a informatika tanszékein. Ezt a hagyományt a kezdetektől kezdve beillesztették a modális logika történetébe (Goldblatt, 2006). A topológiával és az algebrákkal való kapcsolat kutatása a modális logikával kapcsolatos legelső műszaki munka egy részét képviseli. A „fejlett modális logika” kifejezés azonban általában az 1970-es évek közepe óta végzett második munkahullámra utal. A sok érdekes téma néhány példája a dönthetőségre (lehet-e kiszámítani, hogy egy adott modális logika képlete teorema-e) és a komplexitásra (az időbeli és memória költségei szükségesek a modális logikáról szóló ilyen tények kiszámításához).

13. Bisimuláció

A bisimuláció jó példát mutat a modális logika és a számítógépes tudomány között kialakult gyümölcsöző kölcsönhatásokra. A számítástechnikában a jelölt átmeneti rendszereket (LTS) általában használják a lehetséges számítási útvonalak ábrázolására egy program végrehajtása során. Az LTS-k a Kripke-keretek általánosításai, amelyek állományok (W) állapotkészletből és (i) - akadálymentesség-kapcsolatok (R_i) gyűjteményéből állnak, egy-egy minden számítógépes folyamathoz (i). Intuitív szempontból a (wR_i w ') pontosan akkor áll fenn, amikor (w') olyan állapot, amely a (i) folyamatnak a (w) állapotra történő alkalmazásából származik.

A polimodális vagy a dinamikus logika nyelve bemutatja a modális operátorok gyűjteményét (Box_i), mindegyik programhoz egyet (i) (Harel, 1984). Akkor (Box_i) A azt állítja, hogy a (A) mondat minden (i) alkalmazás eredményében érvényes. Tehát az olyan ötletek, mint a programok helyessége és sikeres befejezése, ezen a nyelven fejezhetők ki. Az ilyen nyelvhez hasonló modellek olyanok, mint a Kripke modellek, kivéve, hogy a képkockák helyett LTS-t használnak. A bisimuláció két ilyen modell állapota közötti párhuzamos kapcsolat, úgy, hogy pontosan ugyanazok a javaslati változók igazak az ellenállamokban, és amikor a world (v) (i) - elérhető a két páros állam valamelyikéből, akkor a egy másik pár viseli a (i) - akadálymentességet egy (v) párhoz. Röviden,Az (i) - akadálymentesség-struktúra, amely egy adott állapotból „láthat”, utánozza azt, amit az ellenfél lát. A bisimuláció gyengébb fogalom, mint az izomorfizmus (a bisimulációs kapcsolatnak nem kell 1-1-nek lennie), de elegendő a feldolgozás egyenértékűségének garantálásához.

Az 1970-es években a modimális logikusok már kifejlesztették a bisimuláció verzióját, hogy jobban megértsék a modális logikai axiómák és a Kripke-keretek körülményei közötti kapcsolatot. A Kripke szemantikája alapot nyújt a modális axiómák fordításához egy másodrendű nyelv mondataiba, ahol a számszerűsítés megengedett az egypontos predátum betűk felett (P). Cserélje ki a metaváltozókat (A) nyitott mondatokra (Px), fordítsa le (Px) könyvtárba (forall y (Rxy / jobbra nyíl Py)), zárja be a szabad változókat (x) és predikálja betűk (P) univerzális számszerűsítőkkel. Például az axióma séma predikátum logikai fordítása (A doboz / jobbra nyíl A) a következőre jön: (forall P / forall x) forall y (Rxy / rightarrow Py) rightarrow Px)]. Ennek a fordításnak köszönhetően a (P) változót tetszőleges egyhelyes predátummá alakíthatjuk,például a predikátumhoz (Rx), amelynek kiterjesztése az összes w halmaza olyan, hogy (Rxw) egy adott (x) értékre. Ezután megkapja a (forall x) forall y (Rxy / rightarrow Rxy) rightarrow Rxx)] -t, amely redukálódik (forall xRxx) értékre, mivel (forall y (Rxy / rightarrow Rxy)) egy tautológia. Ez megvilágítja a (A doboz / jobbra mutató A) és a keretek reflexivitása közötti összefüggést ((forall xRxx)). Hasonló eredmények állnak fenn sok más axióma és keretszerkezet esetén is. A másodrendű axióma körülmények „összeomlása” az első rendű keretfeltételekhez nagyon hasznos a modális logika teljességének eredményéhez. Például ez a Sahlqvist (1975) elegáns eredményeinek alapvető gondolata. Ezután megkapja a (forall x) forall y (Rxy / rightarrow Rxy) rightarrow Rxx)] -t, amely redukálódik (forall xRxx) értékre, mivel (forall y (Rxy / rightarrow Rxy)) egy tautológia. Ez megvilágítja a (A doboz / jobbra mutató A) és a keretek reflexivitása közötti összefüggést ((forall xRxx)). Hasonló eredmények állnak fenn sok más axióma és keretszerkezet esetén is. A másodrendű axióma körülmények „összeomlása” az első rendű keretfeltételekhez nagyon hasznos a modális logika teljességének eredményéhez. Például ez a Sahlqvist (1975) elegáns eredményeinek alapvető gondolata. Ezután megkapja a (forall x) forall y (Rxy / rightarrow Rxy) rightarrow Rxx)] -t, amely redukálódik (forall xRxx) értékre, mivel (forall y (Rxy / rightarrow Rxy)) egy tautológia. Ez megvilágítja a (A doboz / jobbra mutató A) és a keretek reflexivitása közötti összefüggést ((forall xRxx)). Hasonló eredmények állnak fenn sok más axióma és keretszerkezet esetén is. A másodrendű axióma körülmények „összeomlása” az első rendű keretfeltételekhez nagyon hasznos a modális logika teljességének eredményéhez. Például ez a Sahlqvist (1975) elegáns eredményeinek alapvető gondolata. Hasonló eredmények állnak fenn sok más axióma és keretszerkezet esetén is. A másodrendű axióma körülmények „összeomlása” az első rendű keretfeltételekhez nagyon hasznos a modális logika teljességének eredményéhez. Például ez a Sahlqvist (1975) elegáns eredményeinek alapvető gondolata. Hasonló eredmények állnak fenn sok más axióma és keretszerkezet esetén is. A másodrendű axióma körülmények „összeomlása” az első rendű keretfeltételekhez nagyon hasznos a modális logika teljességének eredményéhez. Például ez a Sahlqvist (1975) elegáns eredményeinek alapvető gondolata.

De mikor csökken egy axióma másodrendű fordítása (R) elsőrendű feltételre ilyen módon? Az 1970-es években van Benthem kimutatta, hogy ez akkor fordul elő, ha a fordítás megtartása egy modellben magában foglalja annak megtartását bármely bisimularis modellben, ahol két modell bisimularis, ha a modellek bisimulációt mutatnak, különös esetben, ha egyetlen akadálymentességről van szó. Ez az eredmény könnyen általánosítható a polimodális esetre (Blackburn et al., 2001, 103. o.). Ez azt sugallja, hogy a polimodális logika az absztrakció pontosan a megfelelő szintjén fekszik a számítás és más folyamatok leírására és indokolására. (Végül is az a lényeg, hogy a képletek igazságértékeinek megőrzése a modellekben, nem pedig a keretszerkezetek finomabb részletei).) Ezen túlmenően, ezen logikák implicit fordítása a predikatív logika jól megérthető részeként rengeteg információt szolgáltat a számítógépes tudósok számára. Ennek eredményeként a számítástechnika területén eredményes kutatási terület alakult ki, amelynek alapvető gondolata a bisimuláció volt (Ponse et al. 1995).

14. Modális logika és játékok

A játékelmélet és a modális logika közötti kölcsönhatás virágzó új kutatási terület (van der Hoek és Pauly, 2007; van Benthem, 2011, 10. fejezet és 2014). Ez a munka érdekes alkalmazásokat kínál az ügynökök közötti együttműködés és verseny megértéséhez, mivel a rendelkezésükre álló információk fejlődnek.

A fogoly dilemma szemlélteti a játékelmélet néhány fogalmát, amelyeket a modális logika segítségével lehet elemezni. Képzelj el két olyan játékost, akik úgy döntenek, hogy együttműködnek vagy csalnak. Ha mindkettő együttműködik, akkor mindkettő 3 pont jutalmat ér el, ha mindkettő megcsal, mindkettőn semmit sem kapnak, és ha az egyik együttműködik, a másik megcsal, a csaló 5 ponttal teljesít, az együttműködő pedig semmit sem kap. Ha mindkét játékos altruista és motivált a jutalmaik összegének maximalizálására, akkor mindkettő együtt fog működni, mivel ez a legjobb, amit együtt tehetnek. Mindazonáltal mindketten arra hajlanak, hogy csaljanak, hogy megtérítsék saját jutalmukat 3-ról 5-re. Másrészt, ha ésszerűek, felismerhetik, hogy ha csalnak, akkor ellenfelük azzal fenyeget, hogy megcsal, és semmit sem hagynak nekik. Tehát az együttműködés a legjobb, amit tehetünk ennek a veszélynek a figyelembevételével. És ha mindkettő úgy gondolja, hogy a másik ezt észreveszi, akkor motiválva lehetnek az együttműködésre. A játék kibővített (vagy iterált) változata több mozdulatot ad a játékosoknak, vagyis ismételt lehetőségeket játszani és jutalmakat gyűjteni. Ha a játékosok információkkal rendelkeznek a mozdulatok történetéről és eredményeiről, új aggodalmak merülnek fel, mivel a játék sikere az ellenfél stratégiájának ismeretétől és (például) annak meghatározásától függ, hogy miként lehet megbízni abban, hogy nem csal. A játék többjátékos verzióiban, ahol a játékosokat páronként húzzák egy nagyobb poolból minden egyes lépésnél, az egyik legjobb stratégiája attól függ, hogy felismerhető-e ellenfelei és az általuk alkalmazott stratégiák. (Lásd: Grim et al., 1998, a fogvatartott személyek dilemmáinak lenyűgöző kutatása.)A játék kibővített (vagy iterált) változata több mozdulatot ad a játékosoknak, vagyis ismételt lehetőségeket játszani és jutalmakat gyűjteni. Ha a játékosok információkkal rendelkeznek a mozdulatok történetéről és eredményeiről, új aggodalmak merülnek fel, mivel a játék sikere az ellenfél stratégiájának ismeretétől és (például) annak meghatározásától függ, hogy miként lehet megbízni abban, hogy nem csal. A játék többjátékos verzióiban, ahol a játékosokat páronként húzzák egy nagyobb poolból minden egyes lépésnél, az egyik legjobb stratégiája attól függ, hogy felismerhető-e ellenfelei és az általuk alkalmazott stratégiák. (Lásd: Grim et al., 1998, a fogvatartott személyek dilemmáinak lenyűgöző kutatása.)A játék kibővített (vagy iterált) változata több mozdulatot ad a játékosoknak, vagyis ismételt lehetőségeket játszani és jutalmakat gyűjteni. Ha a játékosok információkkal rendelkeznek a mozdulatok történetéről és eredményeiről, új aggodalmak merülnek fel, mivel a játék sikere az ellenfél stratégiájának ismeretétől és (például) annak meghatározásától függ, hogy miként lehet megbízni abban, hogy nem csal. A játék többjátékos verzióiban, ahol a játékosokat párosan húzzák egy nagyobb poolból minden egyes lépésnél, az egyik legjobb stratégiája attól függ, hogy felismerheti-e ellenfeleit és az általuk alkalmazott stratégiákat. (Lásd: Grim et al., 1998, a fogvatartott személyek dilemmáinak lenyűgöző kutatása.)Ha a játékosok információkkal rendelkeznek a mozdulatok történetéről és eredményeiről, új aggodalmak merülnek fel, mivel a játék sikere az ellenfél stratégiájának ismeretétől és (például) annak meghatározásától függ, hogy miként lehet megbízni abban, hogy nem csal. A játék többjátékos verzióiban, ahol a játékosokat páronként húzzák egy nagyobb poolból minden egyes lépésnél, az egyik legjobb stratégiája attól függ, hogy felismerhető-e ellenfelei és az általuk alkalmazott stratégiák. (Lásd: Grim et al., 1998, a fogvatartott személyek dilemmáinak lenyűgöző kutatása.)Ha a játékosok információkkal rendelkeznek a mozdulatok történetéről és eredményeiről, új aggodalmak merülnek fel, mivel a játék sikere az ellenfél stratégiájának ismeretétől és (például) annak meghatározásától függ, hogy miként lehet megbízni abban, hogy nem csal. A játék többjátékos verzióiban, ahol a játékosokat páronként húzzák egy nagyobb poolból minden egyes lépésnél, az egyik legjobb stratégiája attól függ, hogy felismerhető-e ellenfelei és az általuk alkalmazott stratégiák. (Lásd: Grim et al., 1998, a fogvatartott személyek dilemmáinak lenyűgöző kutatása.)a saját legjobb stratégiája attól függ, hogy felismerhető-e az ellenfelek és az elfogadott stratégiák. (Lásd: Grim et al., 1998, a fogvatartott személyek dilemmáinak lenyűgöző kutatása.)a saját legjobb stratégiája attól függ, hogy felismerhető-e az ellenfelek és az elfogadott stratégiák. (Lásd: Grim et al., 1998, a fogvatartott személyek dilemmáinak lenyűgöző kutatása.)

Az olyan játékokban, mint a Sakk, a játékosok felváltva mozognak, ellenfeleik pedig láthatják a megtett lépéseket. Ha elfogadjuk azt az egyezményt, miszerint egy játékban részt vevő játékosok felváltva mozognak, akkor az Iterated Fogoly Dilemma egy játék, amelynek hiányzik a helyzet állapota - a második fordulóban lévő játékosnak nincs információ arról, hogy mi volt a másik játékos utolsó lépése.. Ez szemlélteti a hiányos információkkal rendelkező játékok érdeklődését.

A játékok logikájának alkalmazása hosszú múltra tekint vissza. Az egyik befolyásoló alkalmazás, amely a nyelvi tudomány szempontjából fontos, a Game Theoretic Semantics (GTS) (Hintikka et al. 1983), ahol az érvényességet egy olyan játék kimenetele határozza meg, amelyben az egyik játékos ellenőrizni próbál, a másik pedig egy adott képletet hamisítani próbálkozik.. A GTS szignifikánsan erősebb erőforrásokkal rendelkezik, mint a szokásos Tarski-stílusú szemantika, mivel felhasználható (például) annak magyarázatára, hogy a jelentés hogyan fejlődik a diskurzusban (mondatsor).

A játékkal és a modális logikával kapcsolatban itt leírt munka azonban kissé eltér. A játékok logikai szemantikájának elemzése helyett a játék módszeres logikáját használják a játékok elemzésére. A játékok és azok játékának felépítése nagyon gazdag, mivel magában foglalja a játék természetét (az engedélyezett mozdulatok és az eredményekért járó jutalmak), a stratégiák (amelyek az időbeni mozdulatok sorozatai), és az információáramlás elérhető a játékosoknak a játék előrehaladtával. Ezért a játék modális logikájának fejlesztése a logikában megtalálható tulajdonságokra támaszkodik, amelyek olyan fogalmakat vonnak magukba, mint az idő, az ügynökség, a preferencia, a célok, az ismeretek, a meggyőződés és az együttműködés.

Hogy adjunk némi utalást erre a változatosságra, az alábbiakban korlátozottan leírjuk azokat a modális operátorokat, amelyek felbukkannak a játékok elemzésében, és néhány olyan dolgot, amely kifejezhető velük. A szemantika alapvető gondolata, hogy egy játék 1, 2, 3,… játékosból és egy játékállapotból álló W halmazból áll. Minden egyes i játékos esetében van egy hozzáférhetőségi reláció (R_i), amelyet úgy értünk, hogy (sR_i t) az (s) és (t) állapotokra vonatkozik, ha a játék állapotba került (s) játékos (i) lehetősége van olyan mozogásra, amelynek eredményeként (t). Ez a kapcsolatgyűjtemény meghatároz egy fát, amelynek ágai meghatározzák a játék minden lehetséges mozdulatait. A szemantika igazságértékeket rendel az atomokhoz, amelyek nyomon követik a kifizetéseket. Tehát például egy sakkhoz hasonló játékban lehet olyan atom ((win_i)), amelyben (v (win_i,s) = T) ha az s állapot győzelem a játékos számára ((i). A (i) boxkezelõket (Box_i) és (Diamond_i) mindegyik i játékoshoz az alábbiak szerint lehet meghatározni.

) kezdődik {igazítás *} v (Box_i A, s) & = T / text {iff for all} t / text {in} W, / text {if} sR_i t, / text {then} v (A, t) = T. \\ v (Diamond_i A, s) & = T / text {iff egyeseknél} t / text {in} W, sR_i t / text {és} v (A, t) = T. / End {align *})

Tehát (Box_i A) ((Diamond_i A)) igaz az s-ben, feltéve, hogy a (A) mondat igaz minden (néhány) állapotban, amelyet (i) választhat az). Mivel a (bot) ellentmondás (tehát a ({ sim} bot) tautológia), a ((Diamond_i { sim} bot) igaz abban az állapotban, amikor / i) sor kerül a mozogásra. Kétjátékos játék esetén a (Box_1 / bot) & (Box_2 / bot) igaz az állapotra, amely véget vet a játéknak, mivel sem az 1., sem a 2. nem tud mozogni. (Box_1 / Diamond_2) win (_ 2) azt állítja, hogy az 1. játékos veszteséget szenved, mert bármit is jelenlegi állapotból tesz, 2 nyerhet a következő lépésnél.

A játékos kifizetéseinek általánosabb ismertetése érdekében a rendelési viszonyok (leq_i) az államok között definiálhatók úgy, hogy (s / leq_i t) azt jelenti, hogy (i) (t) kifizetés legalább annyira jó, mint a (z) (s) számára. Egy másik általánosítás: a mozdulatok (q) szekvenciáival kapcsolatos tények kifejezése azáltal, hogy bevezetjük a ((sR_q t)) kapcsolatok által értelmezett operátorokat, jelezve, hogy az s-től kezdődő szekvencia (q) végül megérkezik (t) -be. Ezekkel és a kapcsolódó forrásokkal kifejezhető (például), hogy q a (i) legjobb stratégia a jelenlegi állapotban.

A játékok elemzéséhez elengedhetetlen, hogy legyen mód a játékosok rendelkezésére álló információk kifejezésére. Ennek egyik módja az ötletek kölcsönvétele az episztatikus logikából. Itt bevezethetünk akadálymentességi relációt ({ sim} _i) minden lejátszóhoz úgy, hogy (s { sim} _i t) tartsa iff (i) nem tudja megkülönböztetni az államok (s) és (t). Ezután a játékosok tudáskezelőit ((rK_i)) úgy definiálhatjuk, hogy (rK_i A) azt mondja a (z) (s) -on, hogy (A) minden olyan világban megtalálható, amelyektől az (i) megkülönböztethető (s); vagyis annak ellenére, hogy (i) nem ismeri a játék állapotát, továbbra is bízhat abban, hogy (A). (rK) operátorok azt használhatják, hogy azt mondják, hogy az 1. játékos lemondhat, mert tudja, hogy 2 úgy látja, hogy nyer: (rK_1 / rK_2 / Box_1 / Diamond_2 / win_2).

Mivel a játékosok információi a játék előrehaladtával változnak, célszerű a játék mozgásait idő szerint indexelni, és bevezetni a (következő) és a (z) '(') 'és' (') feszült logikából származó operátorokat a (következő) és a (z)' (amig ') operátorokig.. Akkor (K_i OA / jobbra mutató nyíl OK_i A) kifejezi, hogy a játékosnak (i) „tökéletes visszahívása” van, vagyis amikor (i) tudja, hogy (A) következik, akkor a következõ pillanatban (i) nem felejtette el, hogy (A) történt. Ez szemlélteti, hogy a játékok modális logikája hogyan tükrözi a kognitív idealizációkat, és a játékosok sikerét (vagy kudarcát), ha megbirkóznak velük.

A játékok modális logikájának technikai oldala kihívást jelent. A korábbi kutatások vezérelhetik az operátorok nagy gyűjteményét tartalmazó nyelvek számára megalapozott és teljes szabályrendszer azonosítási projektjét, de a hozzáférhetőségi viszonyok sokfélesége közötti interakciók új aggodalmakat vetnek fel. Ezenkívül a különféle rendszerek és azok töredékei számítástechnikai bonyolultsága nagy, még felfedezetlen táj.

A játékteoretikus fogalmak meglepően sokféle módon alkalmazhatók - az érvényesség érvelésének ellenőrzésétől a politikai arénába történő sikerességig. Tehát erős motiváció van a játék kezelésére szolgáló logika megfogalmazására. Ami a kutatást illeti, az a hatalom, amelyet az idő, az ügynökség, a tudás, a hit és az preferencia logikájának összefésülésével szerzett egységes környezetben. Az integrációból levont tanulságok jóval túlmutatnak azon, ami hozzájárul a játékok megértéséhez.

15. A modális logika számszerűsítői

Egyszerű kérdésnek tűnik a modális logika felszerelése a (forall) (minden) és a ((létező)) (néhány) kvantátorokkal. Egyszerűen hozzátennénk a mennyiségi meghatározókra vonatkozó szokásos (vagy klasszikus) szabályokat a választott modális logika alapelveihez. A mennyiségi mutatók hozzáadása a modális logikához azonban számos nehézséggel jár. Ezek közül néhány filozófiai. Például Quine (1953) híresen azt állította, hogy a modális kontextusba történő számszerűsítés egyszerűen nem koherens, egy olyan nézet, amely óriási irodalmat váltott ki. Quine panaszai nem hordozzák azt a súlyt, mint valaha. Lásd: Barcan (1990) egy jó összefoglalót, és vegye figyelembe a Kripke (2017) című könyvet (a 60-as években írták a Quine-osztály számára), amely erős formális érvelést ad arra, hogy semmi baj nem lehet a „mennyiségi meghatározás” -gal.

A komplikációk egy másik fajtája a műszaki. A számszerűsített modális logika szemantikájában sokféle választás létezik, és nehéz lehet bizonyítani, hogy a szabályrendszer helyes-e egy adott választásnál. Corsi (2002) és Garson (2005) munkája valamelyest megmutatja az egység létrehozását ezen a terepen, és Johannesson (2018) olyan korlátozásokat vezet be, amelyek segítenek csökkenteni a lehetőségek számát; ennek ellenére a helyzet továbbra is kihívást jelent.

Egy másik bonyodalom az, hogy egyes logikusok úgy vélik, hogy a modalitás a klasszikus mennyiségi szabályok feladását teszi szükségessé a szabad logika gyengébb szabályainak javára (Garson 2001). A számszerűsítő szabályokkal kapcsolatos nézeteltérés legfontosabb pontjai a mennyiségi meghatározás területének kezelésére vonatkozó döntésekre vezethetők vissza. A legegyszerűbb alternatíva, a fix domain (néha a possibilist) megközelítés egyetlen mennyiségi meghatározási tartományt feltételez, amely tartalmazza az összes lehetséges objektumot. Másrészt a világ-relatív (vagy aktualista) értelmezés azt feltételezi, hogy a mennyiségi meghatározás területe világonként változik, és csak azokat a tárgyakat tartalmazza, amelyek egy adott világban ténylegesen léteznek.

A rögzített tartományú megközelítés nem igényel nagymértékű kiigazítást a mennyiségi meghatározók klasszikus gépeiben. A rögzített domain szemantikához megfelelő modális logika általában axiomatizálható úgy, hogy egy javaslati modális logika alapelveit hozzáadja a klasszikus számszerűsítő szabályokhoz a Barcan-képlettel ((BF)) együtt (Barcan 1946). (Néhány érdekes kivételről lásd Cresswell (1995)).

) tag {(BF)} forall x / A doboz / jobb oldali nyíl / Box / forall xA.)

A rögzített domain értelmezésnek megvannak az egyszerűsége és a megismerhetőség előnyei, de nem ad közvetlen leírást a természetes nyelv bizonyos számszerűsítő kifejezéseinek szemantikájáról. Nem gondoljuk, hogy „létezik olyan ember, aki aláírta a Függetlenségi Nyilatkozatot”, igaz, legalábbis nem, ha a „létezés” a jelen helyzetben olvasható. Ennek ellenére ez a mondat igaz volt 1777-ben, ami azt mutatja, hogy a „valaki létezik, aki” természetes nyelv kifejezésének tartománya megváltozik, hogy tükrözze, hogy mely férfiak léteznek különbözõ idõpontokban. Egy kapcsolódó probléma az, hogy a fix domain értelmezésnél a (forall y / Box / létezik x (x = y)) mondat érvényes. Feltételezve, hogy (létezik x (x = y)) olvasható: (y) létezik, (forall y / Box / létezik x (x = y)) azt mondja, hogy minden szükségszerűen létezik. Azonban,a modalitással kapcsolatos közös elképzelések alapvető jellemzője, hogy sok dolog létezik feltételesen, és hogy a különféle tárgyak léteznek különböző lehetséges világokban.

A rögzített domain értelmezés védelmezője válaszolhat ezekre a kifogásokra azzal, hogy ragaszkodik ahhoz, hogy a mennyiségi meghatározók olvasásakor a kvantitatív meghatározási terület minden lehetséges tárgyat tartalmazzon, nem csak azokat a tárgyakat, amelyek egy adott világban léteznek. Tehát a (forall y / Box / létezik x (x = y)) tétel állítja az ártalmatlan állítást, miszerint minden lehetséges objektum feltétlenül megtalálható az összes lehetséges objektum területén. Ezenkívül a természetes nyelv azon mennyiségi mutató kifejezései, amelyek domainje világtól (vagy időtől függ), rögzített tartományú számszerűsítővel ((létezik x) és egy predikátum betűvel (E) kifejezhetők, amelynek „ténylegesen létezik” feliratú változata. Például a "Néhány (M) létező, aki (S) figyelmen kívül hagyta a függetlenségi nyilatkozatot" fordítás helyett

) létezik x (Mx / amp Sx),)

a rögzített domainek védelmezője írhat:

) létezik x (Ex / amp Mx / amp Sx),)

így biztosítva, hogy a fordítás jelenleg hamisnak minősüljön. Cresswell (1991) érdekes megfigyelést tesz arra, hogy a világ-relatív számszerűsítés korlátozott kifejezőerővel rendelkezik a rögzített doménszám-meghatározáshoz képest. A világ relatív számszerűsítés meghatározható rögzített tartományú számszerűsítőkkel és (E), de nincs mód a teljes doménszám-meghatározók teljes kifejezésére világviszonyosakkal. Noha ez a kvantitatív modális logika klasszikus megközelítésének mellett érvel, a fordítási taktika a szabad logika mellett járó engedményt is jelent, mivel az így definiált világviszonyos kvantátorok pontosan betartják a szabad logika szabályait.

A rögzített tartományok számszerűsítésének védelmezői által használt fordítási stratégiával kapcsolatban az a probléma, hogy az angol logikává tétele kevésbé közvetlen, mivel az (E) értéket hozzá kell adni minden olyan mondat fordításához, amelynek a számszerűsítő kifejezéseinek kontextusfüggő tartományai vannak. Súlyosabb kifogás a rögzített domain kvantitatív meghatározása, hogy az megfosztja annak a szerepnek a kvantálóját, amelyet Quine ajánlott neki, nevezetesen az erőteljes ontológiai elkötelezettség rögzítésére. Ebben a nézetben a (létezik x) domainnek csak olyan entitásokat kell tartalmaznia, amelyek ontológiai szempontból tiszteletben tarthatók, és a lehetséges objektumok túlságosan absztraktak ahhoz, hogy minősüljenek. Ennek a sávnak a realistái szeretnék egy (létező x) számszerűsítő logikáját kifejleszteni, amely tükrözi az elkötelezettséget az adott világban aktuális helyett, ahelyett, ami egyszerűen lehetséges.

Az aktualizmussal kapcsolatos néhány munka (Menzel, 1990) azonban hajlamos aláássa ezt az ellenvetést. Például Linsky és Zalta (1994) és Williamson (2013) azzal érvelnek, hogy a rögzített tartományú kvantátor olyan értelmezést kaphat, amely a realisták számára teljesen elfogadható. Pavone (2018) még azt állítja, hogy a haccititista értelmezésnél, amely az egyes esszenciákat számszerűsíti, fix doménekre van szükség. A lehetséges világszemantikát alkalmazó realisták rendszeresen meghatározzák a lehetséges világok szemantikai nyelvelméletében. Tehát úgy tűnik, hogy a lehetséges világok ezen aktualista lámpái által aktuálisak. Azáltal, hogy a területet olyan elvont entitásokkal tölti be, amelyek nem lehetnek kifogásolhatóbbak, mint a lehetséges világok, az aktualisták igazolhatják a Barcan-képletet és a klasszikus alapelveket.

Ne feledje azonban, hogy néhány aktualista válaszolhat, hogy nem kell elköteleznie magát a lehetséges világok aktualitása mellett, mindaddig, amíg érthető, hogy a nyelv elméletükben alkalmazott mennyiségi meghatározók nem rendelkeznek erős ontológiai jelentőséggel. Ezenkívül Hayaki (2006) azt állítja, hogy az absztrakt entitások számszerűsítése valójában összeegyeztethetetlen a tényleges realizmus bármely komoly formájával. Mindenesetre az aktualisták (és a nem aktualisták is) nyitottak lehetnek az erősebb tartományokkal rendelkező számszerűsítők logikájának vizsgálatára, például olyan tartományokra, amelyek kizárják a lehetséges világokat és más hasonló elvont entitásokat, és csak a térbeli-időbeli részleteket tartalmazzák egy adott világban. Az ilyen mennyiségi meghatározókhoz a világ relatív domének megfelelőek.

Ezek a megfontolások motiválják az olyan rendszerek iránti érdeklődést, amelyek a relatív tartományok bevezetésével felismerik a mennyiségi meghatározás kontextusfüggőségét. Itt minden lehetséges világnak megvan a saját számszerűsítési tartománya (az abban a világban ténylegesen létező objektumok halmaza), és a tartományok világonként változnak. Amikor ez a döntés megtörténik, nehézség merül fel a klasszikus kvantitatív meghatározás elmélete szempontjából. Vegye figyelembe, hogy a (létező x (x = t)) mondat a klasszikus logika tétele, tehát a (Box / létezik x (x = t)) a ((bk) tétel tétele a szükségességi szabály. Hagyjuk, hogy a (t) kifejezés Saul Kripke-t jelölje. Akkor ez a tétel azt mondja, hogy szükséges, hogy Saul Kripke létezzen, hogy minden lehetséges világ területén legyen. A világ-relatív megközelítés teljes motivációja annak a gondolatnak a tükrözése volt, amely szerint az egyik világban lévő tárgyak nem léteznek egy másikban. Ha szokásos mennyiségi vonalzókat használnak, akkor minden (t) kifejezésnek utalnia kell valamire, ami létezik az összes lehetséges világban. Ez összeegyeztethetetlennek tűnik azzal a szokásos gyakorlattal, hogy a kifejezések olyan dolgokra utalnak, amelyek csak függőlegesen léteznek.

Az egyik válasz erre a nehézségre az, hogy egyszerűen megszüntetjük a kifejezéseket. Kripke (1963) példát mutat egy rendszerre, amely a világ relatív értelmezését használja és megőrzi a klasszikus szabályokat. A költségek azonban súlyosak. Először, nyelve mesterségesen elszegényedett, másodszor pedig meg kell gyengíteni a javaslati modális logika szabályait.

Feltételezve, hogy olyan nyelvet szeretnénk, amely kifejezéseket tartalmaz, és hogy a klasszikus szabályokat hozzá kell adni a javaslati modális logika szabványos rendszereinek, új probléma merül fel. Egy ilyen rendszerben bizonyítható a ((CBF)), a Barcan-képlet ellentéte.

) tag {(CBF)} Box / forall xA / rightarrow / forall x / Box A.)

Ez a tény súlyos következményekkel jár a rendszer szemantikájára. Nem nehéz megmutatni, hogy a ((CBF)) minden világviszonyú modelljének meg kell felelnie a ((ND)) feltételnek („beágyazott domainek” esetén).

((ND)) Ha (wRv), akkor a (w) tartomány a (v) tartomány részhalmaza

((ND)) azonban ellentmond a világ relatív tartományok bevezetésének. A teljes gondolat az volt, hogy a tárgyak létezése feltételes, tehát elérhető világok állnak rendelkezésre, ahol a világ egyik dolga nem létezik.

Ezekre a problémákra egyenes megoldás az, ha elhagyják a mennyiségi meghatározókra vonatkozó klasszikus szabályokat, és helyette elfogadják a szabad logika szabályait ((mathbf {FL})). A (mathbf {FL}) szabályai megegyeznek a klasszikus szabályokkal, azzal a különbséggel, hogy a (forall xRx) (minden valódi) és (Rp) (Pegasus valódi) következtetések blokkolva vannak. Ez egy predikátum '(E)' bevezetésével történik (az 'valóban létezik') és az egyetemes megjelenítés szabályának módosítása. (Forall xRx) -tól csak akkor szerezhető be (Rp), ha az is megszerezte (Ep). Feltételezve, hogy az univerzális mennyiségi mutató (forall x) primitív, és az egzisztenciális kvantifikátort (létezik x) a következő határozza meg: (létezik xA = _ {df} { sim} forall x { sim} A), akkor a (mathbf {FL}) úgy állítható elő, hogy a javasolt logika szabályainak a következő két elvét egészítik ki:

Univerzális általánosítás.

Ha (B / jobbra mutató nyíl (Ey / jobbra mutató nyíl A (y))) tétel, akkor (B / jobbra mutató nyíl xA (x)).

Univerzális megfigyelés.

(forall xA (x) jobbra mutató (En / jobbra mutató A (n)))

(Itt feltételezzük, hogy (A (x)) a predikátum logika bármely jól megfogalmazott képlete, és hogy (A (y)) és (A (n)) a (y) és (n) megfelelően minden ((x) (A (x)) -ben előforduló előfordulás esetén.) Vegye figyelembe, hogy a megvalósítás axiómáját korlátozza az (En) említése az előzőben. Az univerzális általánosítás szabálya ugyanúgy módosul. A (mathbf {FL}) képletek bizonyítékai: (létezik x / Box (x = t)), (forall y / Box / létezik x (x = y)), ((CBF)) és ((BF)), amelyek összeegyeztethetetlenek a világ relatív értelmezésével, blokkolva vannak.

A (mathbf {FL}) iránti filozófiai kifogás az, hogy (E) létezés predikátumnak tűnik, és sokan azt állítják, hogy a létezés nem olyan legitim tulajdonság, mint például zöld színű vagy négy fontot meghaladó súly. Tehát a filozófusok, akik elutasítják azt a gondolatot, hogy a létezés predikátum, kifogást emelhetnek a (mathbf {FL}) ellen. Ugyanakkor a legtöbb (de nem minden) számszerűsített modális logikában, amely azonosítja a ((=)) identitást, ezeket a problémákat a következőképpen lehet meghatározni: (E).

[Et = _ {df} létezik x (x = t).)

A számszerűsített modális logika megfogalmazásának leggyakoribb módja a (mathbf {FS}) létrehozása úgy, hogy a (mathbf {FL}) szabályait hozzáadjuk egy adott javaslati modális logikához (mathbf {S}).. Azokban a helyzetekben, ahol klasszikus számszerűsítést kívánunk, egyszerűen hozzáadhatunk (Et) axiómát a (mathbf {FS}) -hez, hogy a klasszikus alapelvek származtatható szabályokká váljanak. Az ilyen rendszerek megfelelőségi eredményei a (mathbf {S}) modális logika legtöbb választására megszerezhetők, de vannak kivételek.

Érdemes megemlíteni a számszerűsített modális logika szemantikájának végső komplikációját. Ez akkor fordul elő, amikor a nem merev kifejezéseket, mint például a „bifokálisok feltalálója” bevezetik a nyelvbe. A kifejezés nem merev, ha különféle tárgyakat választ ki a különböző lehetséges világokban. Egy ilyen kifejezés szemantikai értékét megadhatja az, amit Carnap (1947) egyéni fogalomnak nevez, egy olyan funkciót, amely kiválasztja a kifejezés jelölését minden lehetséges világ számára. A nem merev kifejezések kezelésének egyik megközelítése Russell leíráselméletének alkalmazása. Ugyanakkor egy olyan nyelven, amely a nem merev kifejezéseket valódi kifejezésekként kezeli, kiderül, hogy sem a klasszikus, sem a szabad logikai szabályok a mennyiségi meghatározók számára nem elfogadhatók. (A problémát nem lehet megoldani az identitás helyettesítésének szabályának gyengítésével.) Ennek a problémának a megoldása a mennyiségi mutatók általánosabb kezelése, ahol a mennyiségi meghatározás tárgyi objektumok helyett egyedi fogalmakat tartalmaz. Ez az általánosabb értelmezés jobb egyezést biztosít a kifejezések kezelése és a mennyiségi meghatározók kezelése között, és olyan rendszereket eredményez, amelyek megfelelnek a klasszikus vagy a szabad logikai szabályoknak (attól függően, hogy a rögzített tartományokat vagy a világ relatív tartományokat választották-e). Ezenkívül erős és nagyon szükséges kifejező képességekkel rendelkező nyelvet biztosít (Bressan, 1973, Belnap és Müller, 2013a, 2013b). Ez az általánosabb értelmezés jobb egyezést biztosít a kifejezések kezelése és a mennyiségi meghatározók kezelése között, és olyan rendszereket eredményez, amelyek megfelelnek a klasszikus vagy a szabad logikai szabályoknak (attól függően, hogy a rögzített tartományokat vagy a világ relatív tartományokat választották-e). Ezenkívül erős és nagyon szükséges kifejező képességekkel rendelkező nyelvet biztosít (Bressan, 1973, Belnap és Müller, 2013a, 2013b). Ez az általánosabb értelmezés jobb egyezést biztosít a kifejezések kezelése és a mennyiségi meghatározók kezelése között, és olyan rendszereket eredményez, amelyek megfelelnek a klasszikus vagy a szabad logikai szabályoknak (attól függően, hogy a rögzített tartományokat vagy a világ relatív tartományokat választották-e). Ezenkívül erős és nagyon szükséges kifejező képességekkel rendelkező nyelvet biztosít (Bressan, 1973, Belnap és Müller, 2013a, 2013b).

Bibliográfia

A modális logikáról szóló szövegek, a filozófusokat szem előtt tartva, többek között Hughes és Cresswell (1968, 1984, 1996), Chellas (1980), Fitting és Mendelsohn (1998), Garson (2013), Girle (2009) és Humberstone (2015).

Humberstone (2015) kiváló útmutatást nyújt a modális logikáról és a filozófia alkalmazásához kapcsolódó irodalom számára. A (több mint ezer bejegyzésből álló) bibliográfia felbecsülhetetlen értékű forrást kínál minden fő témához, ideértve a feszültség, kötelesség, meggyőződés, tudás, ügynökség és nomikus szükségesség logikáját.

Gabbay és Guenthner (2001) hasznos összefoglaló cikkeket nyújt a fő témákról, míg Blackburn et. al. (2007) felbecsülhetetlen értékű forrás egy fejlettebb szempontból.

A történelmi források kiváló bibliográfiája megtalálható Hughes és Cresswell (1968) közleményében.

  • Anderson, A. és N. Belnap, 1975, 1992, Entailment: A relevancia és szükségesség logikája, vol. 1 (1975), kötet 2 (1992), Princeton: Princeton University Press.
  • Barcan (Marcus), R., 1947, „Az elsőrendű funkcionális kalkulus szigorú következtetések alapján”, Journal of Symbolic Logic, 11: 1–16.
  • ––– 1967, „Esszencializmus a modális logikában”, Noûs, 1: 91–96.
  • ––– 1990, „Visszatekintés Quinenek a modalitásokkal szembeni animációiról”, R. Bartrett és R. Gibson (szerk.), Perspektívák a Quine-ről, Cambridge: Blackwell.
  • Belnap, N., M. Perloff és M. Xu, 2001., szemben a jövővel, New York: Oxford University Press.
  • Belnap, N. és Müller T., 2013a, „CIFOL: Esettanzív elsőrendű logika (I): Egyfajta logika felé”, Philosophical Logic Journal, doi: 10.1007 / s10992-012-9267-x
  • –––, 2013b, „BH-CIFOL: Esettanzív elsőrendű logika (II): Elágazó történetek”, Journal of Philosophical Logic, doi: 10.1007 / s10992-013-9292-4
  • Bencivenga, E., „Szabad logika”, 1986, D. Gabbay és F. Guenthner (szerk.), Filozófiai logika kézikönyve, III.6, Dordrecht: D. Reidel, 373–426.
  • Benthem, JF van, 1982, Az idő logikája, Dordrecht: D. Reidel.
  • ––– 1983, modális logika és klasszikus logika, Nápoly: Bibliopolis.
  • ––– 2010, Modális logika az Open Minds számára, Stanford: CSLI publikációk.
  • –––, 2011, Információ és interakció logikai dinamikája, Cambridge: Cambridge University Press.
  • ––– 2014, Logic in Games, Cambridge, Mass: MIT Press.
  • Blackburn, P., M. de Rijke és Y. Venema, 2001, Modal Logic, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Blackburn, P., J. van Bentham és F. Wolter, 2007, Handbook of Modal Logic, Amszterdam: Elsevier.
  • Bonevac, D., 1987, Levonás, II. Rész, Palo Alto: Mayfield Publishing Company.
  • Boolos, G., 1993, a logika a bizonyosságról, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Bressan, A., 1973, Általános értelmezésű modális kalkulus, New Haven: Yale University Press.
  • Bull, R. és K. Segerberg, 1984, „Alapvető modális logika”, D. Gabbay és F. Guenthner (szerk.), Filozófiai logika kézikönyve, II.1, Dordrecht: D. Reidel, 1–88.
  • Carnap, R., 1947, Jelentése és szükségessége, Chicago: U. Chicago Press.
  • Carnielli, W. és C. Pizzi, 2008, Modalitások és multimodalitások, Heidelberg: Springer-Verlag.
  • Chagrov, A. és M. Zakharyaschev, 1997, Modal Logic, Oxford: Oxford University Press.
  • Chalmers, D., 1996, A tudatos elme, New York: Oxford University Press.
  • –––, 2002, „A tartalom alkotóelemei”, D. Chalmers (szerk.), Elmefilozófia: klasszikus és kortárs olvasmányok, Oxford: Oxford University Press, 608–633.
  • –––, 2006, „Kétdimenziós szemantika alapjai”, M. Garcia-Carpintero és J. Macia, Kétdimenziós szemantika: Alapítványok és alkalmazások, Oxford: Oxford University Press, 55–140.
  • Chellas, B., 1980, Modális logika: Bevezetés, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Cresswell, MJ, 2001, „Modális logika”, L. Goble (szerk.), A Blackwell Guide to Philosophical Logic, Oxford: Blackwell, 136–158.
  • ––– 1991, „A Barcan-képlet védelme érdekében”, Logique et Analyze, 135–136: 271–282.
  • –––, 1995, „Hiánytalanság és a Barcan-képlet”, Journal of Philosophical Logic, 24: 379–403.
  • Cocchiarella, N. és M. Freund, 2008, Modal Logic Bevezetés szintaxisába és szemantikájába, New York: Oxford.
  • Corsi, G., 2002, „Az egységes teljesség tétele a számszerűsített modális logika számára”, Journal of Symbolic Logic, 67: 1483–1510.
  • Crossley, J és L. Humberstone, 1977, „Az aktualitás logikája”, Jelentések a matematikai logikáról, 8: 11–29.
  • Fitting, M. és R. Mendelsohn, 1998, Első rend modális logika, Dordrecht: Kluwer.
  • Gabbay, D., 1976, Vizsgálatok a modális és a feszes logikában, Dordrecht: D. Reidel.
  • ––– 1994, Időbeli logika: Matematikai alapok és számítási szempontok, New York: Oxford University Press.
  • Gabbay, D. és F. Guenthner, F. (szerk.), 2001, Filozófiai logika kézikönyve, 2. kiadás, 3. kötet, Dordrecht: D. Reidel,
  • Garson, J., 2001, „A számszerűsítés a modális logikában”, Gabbay és Guenthner (2001), 267–333.
  • ––– 2005, „Egységesítik a számszerűsített modális logikát”, Journal of Philosophical Logic, 34: 621–649.
  • ––– 2013, Modális logika a filozófusok számára, második kiadás, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Girle, R., 2009, Modális logika és filozófia (2. kiadás), Routledge, New York, New York.
  • Grim, P., Mar, G és St. Denis, P., 1998, The Philosophical Computer, Cambridge, Mass.: MIT Press.
  • Goldblatt, R., 1993, Modality Mathematics, CSLI Lecture Notes # 43, Chicago: University of Chicago Press.
  • –––, 2006, „Matematikai modális logika: az evolúció látképe”, D. Gabbay és J. Woods (szerk.), A Logic History of Handbook, vol. 6, Amszterdam: Elsevier.
  • Harel, D., 1984, „Dinamikus logika”, D. Gabbay és F. Guenthner (szerk.), Filozófiai logika kézikönyve, II.10, Dordrecht: D. Reidel, 497–604.
  • Hayaki, R., 2006, „Kontingenciális tárgyak és a Barcan-képlet”, Erkenntnis, 64: 75–83.
  • Hintikka, J., 1962, Tudás és hit: Bevezetés a két fogalom logikájába, Ithaca, NY: Cornell University Press.
  • ––– 1983, A nyelv játék, Dordrecht: D. Reidel.
  • Hilpinen, R., 1971, Deontikus logika: Bevezető és szisztematikus olvasmányok, Dordrecht: D. Reidel.
  • van der Hoek, W. és Pauly, M., 2007, „Játékok és információk modelllogikája”, Blackburn et. al., 2007.
  • Hughes, G. és M. Cresswell, 1968, Bevezetés a modális logikához, London: Methuen.
  • ––– 1984, A modális logika társa, London: Methuen.
  • –––, 1996, Új bevezetés a modális logikába, London: Routledge.
  • Humberstone, L. 2015, A modális logika filozófiai alkalmazásai, College Publications, London.
  • Johannesson, E., 2018, „Részleges szemantika a számszerűsített modális logika számára”, Journal of Philosophical Logic, 1–12.
  • Kaplan, D., 1989, „Demonstratívák”, Themes from Kaplan, Oxford: Oxford University Press.
  • Kripke, S., 1963, „Szemantikai szempontok a modális logikáról”, Acta Philosophica Fennica, 16: 83–94.
  • ––– 1980, elnevezés és szükségesség, Cambridge, Mass: Harvard University Press.
  • ––– 2017, „Számszerűsített módozat és esszencializmus”, Nous, 51, # 2: 221–234.
  • Konyndik, K., 1986, Bevezető modális logika, Notre Dame: University of Notre Dame Press.
  • Kvart, I., 1986, A kontrafaktúrák elmélete, Indianapolis: Hackett Publishing Company.
  • Lemmon, E. és D. Scott, 1977, Bevezetés a modális logikához, Oxford: Blackwell.
  • Lewis, CI és CH Langford, 1959 (1932), Symbolic Logic, New York: Dover Publications.
  • Lewis, D., 1973, Counterfactuals, Cambridge, Mass: Harvard University Press.
  • Linsky, B. és Zalta, 1994, „A legegyszerűbben számszerűsített modális logika védelmében”, Filozófiai perspektívák (logika és nyelv), 8: 431–458.
  • Mares, E., 2004, Releváns logika: Filozófiai értelmezés, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Menzel, C., 1990, „Aktualizmus, ontológiai elkötelezettség és a lehetséges világok szemantika”, Synthese, 85: 355–389.
  • Mints, G. 1992, A modális logika rövid bevezetése, Chicago: University of Chicago Press.
  • Ponse, A., M. de Rijke-vel és Y. Venema-val, 1995, Modális logika és folyamatalgebra, A Bisimulációs perspektíva, Stanford: CSLI Publications.
  • Pavone, L., 2018, „Plantinga keresése és a legegyszerűbben számszerűsített modális logika”, Logika és logikai filozófia, 27: 151–160.
  • Popkorn, S., 1995, Az első lépések a modális logika területén, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Előtte, AN, 1957, Idő és mód, Oxford: Clarendon Press.
  • ––– 1967, múlt, jelen és jövő, Oxford: Clarendon Press.
  • Quine, WVO, 1953, „Referencia és mód”, a Logikai szempontból, Cambridge, Mass.: Harvard University Press. 139-159.
  • Rescher, N. és A. Urquhart, 1971, Temporal Logic, New York: Springer Verlag.
  • Sahlqvist, H., 1975, „teljesség és megfelelés a modális logika első és második rendű szemantikájának”, S. Kanger (szerk.), A harmadik skandináv logikai szimpózium folyóiratai, Amszterdam: Észak-Holland. 110-143.
  • Thomason, R., 1984, „A feszültség és a modulitás kombinációi”, D. Gabbay és F. Guenthner (szerk.) Című könyvében, Filozófiai logika kézikönyve, II.3, Dordrecht: D. Reidel, 135–165.
  • Williamson, T., 2013, Modális logika mint metafizika, Oxford: Oxford University Press.
  • Zeman, J., 1973, Modal Logic, The Lewis-Modal Systems, Oxford: Oxford University Press.

Tudományos eszközök

sep ember ikonra
sep ember ikonra
Hogyan idézhetem ezt a bejegyzést.
sep ember ikonra
sep ember ikonra
A bejegyzés PDF-verziójának előnézete a SEP Barátok társaságában.
inpho ikonra
inpho ikonra
Nézze meg ezt a belépési témát az Internet Filozófia Ontológiai Projektben (InPhO).
phil papírok ikonra
phil papírok ikonra
Továbbfejlesztett bibliográfia erre a bejegyzésre a PhilPapersnél, az adatbázisához kapcsolódó hivatkozásokkal.

Egyéb internetes források

  • Előrelépések a modális logika területén
  • A Wikipedia forrásainak listája
  • Modális logikai kézikönyv, Blackburn, Bentham és Wolter készítette
  • John McCarthy modális logikai oldala

Ajánlott: