Sok értékű Logika

Tartalomjegyzék:

Sok értékű Logika
Sok értékű Logika
Anonim

Belépés navigáció

  • Nevezés tartalma
  • Bibliográfia
  • Tudományos eszközök
  • Barátok PDF előnézete
  • Szerző és idéző információ
  • Vissza a tetejére

Sok értékű logika

Első kiadása: 2000. április 25., kedd; érdemi felülvizsgálat 2015. március 5

Sok értékű logika nem klasszikus logika. Hasonlóak a klasszikus logikához, mert elfogadják az igazság-funkcionalitás elvét, nevezetesen azt, hogy az összetett mondat igazságát az összetett mondatok igazságértékei határozzák meg (és így nem változik, amikor az egyik összetett mondat helyébe egy másik lép mondat ugyanazzal az igazságértékkel). De a klasszikus logikától abban különböznek abban az alapvető tényben, hogy nem korlátozzák az igazságértékek számát csak kettőre: lehetővé teszik az igazsági fok nagyobb halmazát (W).

Ahogyan a modális logika szemantikájában az „esetleges világok” fogalma újraértelmezhető (pl. „Idő pillanataiként” a feszült logika szemantikájában vagy „államokként” a dinamikus logika szemantikájában), nem létezik az igazság fokának egységes értelmezése. Az, hogy megértsék őket, a tényleges alkalmazási területtől függ. Általános használat azonban azt feltételezni, hogy létezik két különös igazság fok, amelyeket általában „0” és „1” jelölnek. Ezek az igazság fokok úgy viselkednek, mint a hagyományos „falsum” és a „verum” igazságértékek, de néha „abszolút hamisnak” és „teljesen igaznak” is, különösen azokban az esetekben, amikor a klasszikus logika hagyományos igazságértékei „megosztódnak” az igazság fokozataiba.

Sok értékű logika igazság fokát műszaki eszközként kezeli, és szándékában áll megválasztani őket adott alkalmazásokhoz. Meglehetősen nehéz filozófiai probléma az ilyen „igazság fokok” vagy „igazság értékek” (lehetséges, nem technikai) természetének megvitatása. Az érdeklődő olvashatja a Shramko / Wansing (2011) monográfiát vagy az igazságértékek bejegyzését.

A sok értékű logika (MVL) rendszereinek formalizált nyelvei a javaslati és a predikatív logika két standard mintáját követik:

  • léteznek javaslati változók, kötőjelekkel és (esetleg is) igazságfokú állandókkal a javaslati nyelvek esetében,
  • vannak objektumváltozók predikátum szimbólumokkal együtt, esetleg objektumállandókat és függvényszimbólumokat, valamint számszerűsítőket, összekötőket és (esetleg is) igazságfokú állandók elsőrendű nyelvek esetén.

A logikában szokás szerint ezek a nyelvek képezik a szemantikai és a szintaktikailag megalapozott logikai rendszerek alapját.

  • 1. Szemantika

    • 1.1 Szabványos logikai mátrixok
    • 1.2 Algebrai szemantika
    • 1.3 A játék szemantikája
  • 2. Bizonyításelmélet

    • 2.1. Hilbert típusú számológépek
    • 2.2 Gentzen típusú szekvenciális számológépek
    • 2.3. Tableau calculi
  • 3. Sok értékű logika rendszerei

    • 3.1 Łukasiewicz logika
    • 3.2 Gödel logika
    • 3.3 t-Norm alapú rendszerek
    • 3.4 Háromértékű rendszerek
    • 3.5 A Dunn / Belnap négyértékű rendszere
    • 3.6 Termékrendszerek
  • 4. A sok értékű logika alkalmazásai

    • 4.1 Alkalmazások a nyelvészetben
    • 4.2 Alkalmazások a logikához
    • 4.3. Alkalmazások filozófiai problémákra
    • 4.4 Alkalmazások a hardvertervezéshez
    • 4.5 Alkalmazások a mesterséges intelligencia számára
    • 4.6 Alkalmazások a matematikában
  • 5. A sok értékű logika története
  • Bibliográfia

    • Monográfiák és felmérési dokumentumok
    • Egyéb idézett munkák
  • Tudományos eszközök
  • Egyéb internetes források
  • Kapcsolódó bejegyzések

1. Szemantika

Háromféle szemantika létezik a sok értékű logikájú rendszerek számára.

  • 1.1 Szabványos logikai mátrixok
  • 1.2 Algebrai szemantika
  • 1.3 A játék szemantikája

Ezeket pedig egymás után tárgyaljuk.

1.1 Szabványos logikai mátrixok

A sok értékű logika rendszerének (bS) meghatározásának legmegfelelőbb módja a nyelvre jellemző karakterisztikus mátrix rögzítése, azaz a következő javítása:

  • az igazság fokozatai,
  • az igazságfok-függvények, amelyek értelmezik a javaslati kapcsolódásokat,
  • az igazság fok állandóinak jelentése,
  • a mennyiségi meghatározók szemantikai értelmezése,

és ezen felül

  • a megjelölt igazság fokok, amelyek alkotják az igazság fokozatát, és helyettesítik a „igazság” hagyományos igazságértékét,
  • és alkalmanként az anti-kijelölt igazsági fokok is, amelyek alkotják az igazság fokozatának halmazát, és helyettesítik a hagyományos „hamis” igazságértéket.

A javaslati nyelv jól megfogalmazott formulája (A) bizonyos értéknél érvényesnek tekinthető. ((Alfa) (amely a javaslati változók halmazát az igazság fokozatához sorolja), ha rendelkezik egy meghatározott igazság fokkal (alpha). És (A) logikailag érvényes, vagy tautológia, ha érvényes minden értékelésnél.

Az elsőrendű nyelv esetében egy ilyen jól megfogalmazott képlet (A) érvényesnek tekintendő a (alfa) nyelv értelmezése értelmében, ha ennek az értelmezésnek megvan a megadott igazságossága, és az összes hozzárendelés tárgyak ezen értelmezés diskurzusának univerzumából az objektumváltozókhoz. (A) logikailag érvényesnek tekinthető, ha érvényes minden értelmezésnél.

A klasszikus logikához hasonlóan ezt az értelmezést is biztosítani kell

  • (nem üres) diskurzus világegyetem,
  • a nyelv objektumállandóinak jelentése,
  • a predikátum betűk jelentése és a nyelv funkcionális szimbólumai.

A jól kialakított képletek néhány halmazának (Sigma) modellje olyan értékbecslés (alfa) vagy egy olyan értelmezés (alfa), hogy minden (A) ∈ (Sigma) érvényes (alpha) alatt. Ez (Sigma) jelentése (A) azt jelenti, hogy a (Sigma) minden modellje szintén (A) modellje.

1.2 Algebrai szemantika

Van egy második értékű szemantika a sok értékű logika rendszereinek (bS) számára, amely a (hasonló) algebrai struktúrák teljes karakterisztikájára épül. Minden ilyen algebrai struktúrának tartalmaznia kell az összes adatot, amelyet a (bS) nyelv jellemző logikai mátrixával kell biztosítani.

A (A) képlet érvényességének fogalmát a (bK) algebrai struktúrához viszonyítva úgy definiálják, mintha ez a szerkezet logikai mátrixot alkotna. A logikai érvényesség itt a (bK) osztály összes struktúrájának érvényességét jelenti.

Az algebrai struktúrák típusai, amelyek ilyen jellegű osztályt alkotnak egy (bK) egy MVL rendszerhez ((bs)), általában két különböző forrásból származhatnak. Az első forrást extralogikai megfontolások alapján lehet meghatározni, amelyek megkülönböztetik az algebrai struktúrák ilyen osztályait. Ha az MVL rendszerét (bS) szintaktikailag vagy egyetlen karakterisztikus mátrix határozza meg, akkor az algebrai struktúrák ilyen osztályát gyakran a ((szintaktikai vagy szemantikai) Lindenbaum algebra határozza meg, és ilyen esetben gyakran kritikus szerepet játszik az algebrai teljesség igazolásában is. Az algebrai struktúrák (bK) -ben hasonló szerepet játszanak (bS) -ben, mint a logikai algebrai a klasszikus logikában.

Az MVL bizonyos rendszerei esetében például az algebrai struktúrák következő jellemző osztályai vannak:

  • a végtelen értékű Łukasiewicz logikához az MV-algebrák osztálya,
  • a végtelen értékű Gödel-logikához az összes Heyting algebra osztálya, amelyek ezen felül kielégítik az prelinearitást ((x / jobbra y) kupára (y / jobbra mutató x) = 1,)
  • Hajek alapvető t-normál logikájához az összes t-algebra osztálya, azaz az összes olyan algebrai struktúra, amelyet a valós egység intervallum alkot, a bal-folytonos t-normával (T) és azok maradék műveletével (I_ {T}) meghatározva: (I_ {T} (x, y) = / sup {z / T (x, z) le y }.)

A fenti két példa esetében történelmileg a logikát egy jellemző mátrix határozza meg, és az algebrai struktúrák megfelelő osztályát később határozzuk meg. A harmadik példában a helyzet más: a BL-t úgy tervezték, hogy az legyen az összes folyamatos t-norma logikája, és ebből az extralogikus megközelítésből az összes osztható maradék rács osztályt találták, amelyek kielégítik az prelinearitást.

Filozófiai szempontból általában előnyösebb lenne szemantikai alapot létrehozni egy MVL rendszer számára, amely egyetlen jellemző logikai mátrixot használ. De formális szempontból mindkét megközelítés egyformán fontos, és az algebrai szemantika az általánosabb megközelítés.

1.3 A játék szemantikája

A logika és a játékok összekapcsolhatók különféle módokon. Például a párbeszéd logika játékteoretikus szemantikát kínál a klasszikus és az intuitív logika számára: egy formula érvényesnek számít, ha egy olyan fél támogatója, aki kijelenti, hogy ez a képlet nyertes stratégiával rendelkezik, az ellenfél lehetséges támadásainak ellenére megengedett.

A homályos halmazok és a sok értékű logika kapcsolatának összefüggésében Robin Giles felajánlotta a logikai érvényesség játékorientált szemléletének megközelítését. 1975-től kezdve egy sorozatban javasolta a Giles-t (1975, 1976, 1979), majd ismét a Giles-ben (1988) a homályos predikációkkal kapcsolatos érvelés általános kezelését egy kényelmes párbeszéd értelmezésén alapuló formális rendszer segítségével. Ezt a párbeszédértelmezést már más dokumentumokban is felhasználta, például Giles 1974, amely a szubjektív hittel és a fizika alapjaival foglalkozik. A fő gondolat az, hogy hagyja, hogy „egy mondat egy hiedelmet képviseljen úgy, hogy azt konkrétan kifejezzük fogadás formájában”. A fogadások a diszperziós kísérletek tényleges eredményeire vonatkoznak, az ismert valószínűség különböző lehetséges eredményeivel. Ebben a beállításban a „mondat (psi) mondatokból következõnek tekinthetõ ((phi_ {1}, / ldots, / phi_ {n}) csak akkor, amikor elfogadja a fogadásokat (phi_ {1 }, / ldots, / phi_ {n}) ugyanakkor fogadhat (psi) veszteségtől való félelem nélkül”.

Az így nyert (formális) nyelv szorosan kapcsolódik Łukasiewicz végtelen értékű logikájához (rL _ { infty}): valójában a két rendszer egybeesik, ha egy mondathoz (phi) adunk igazságot. (1- / langle / phi / rangle), a (langle / phi / rangle) értékkel állítja az állítás (phi) kockázati értékét. És hozzáteszi még azt a megjegyzést, hogy „e párbeszéd értelmezésével az Łukasiewicz logika pontosan megfelel a LA Zadeh (1965) által elsőként leírt„ fuzzy halmazelmélet”megfogalmazásához; sőt, nem túl sok azt állítani, hogy (rL _ { infty}) pontosan a fuzzy halmazelmélethez kapcsolódik, mivel a klasszikus logika a szokásos halmazelmélethez kapcsolódik”.

E párbeszéd játékok különféle verzióit és általánosításait nemrégiben tanulmányozták. E fejlemények különféle aspektusait tárgyalják például Fermüller (2008) és Fermüller / Roschger (2014). Az ilyen megközelítések nemcsak a játék szemantikáját nyújtják például a Gödel logikához és a termék logikához. Vannak olyan hidak is, amelyek összekapcsolják az ilyen játékokat a sokszínű számítások tervezésével sok értékű logika számára, vö. Fermüller / Metcalfe (2009).

Van még egy olyan típusú párbeszéd játék, amely a (m) - értékelt Łukasiewicz logikához kapcsolódik: a támogató információt kér, és a válaszadó ellenfél megengedheti, hogy (m) alkalommal feküdjön. Mundici (1992) vezette be az ilyen „Ulam-játékok hazugsággal”.

2. Bizonyításelmélet

A logikai számítások fő típusai mind elérhetőek az MVL rendszerek számára:

  • 2.1. Hilbert típusú számológépek
  • 2.2 Gentzen típusú szekvenciális számológépek
  • 2.3. Tableau calculi

A fentiek egy része azonban csak végesen értékelt rendszerekhez érhető el. A végtelenül értékelt logika széles osztályának jelenlegi állását Metcalfe / Olivetti / Gabbay (2009) ismerteti.

2.1. Hilbert típusú számológépek

Ezeket a kalkulumokat ugyanúgy alakítják ki, mint a klasszikus logikához tartozó megfelelő kalkulusokat: bizonyos axiómák halmazát használják a következtetési szabályok halmazával együtt. A származás fogalma a szokásos.

2.2 Gentzen típusú szekvenciális számológépek

A szekvenciális kalkulusok szokásos típusain kívül a kutatók a közelmúltban is elkezdték megvitatni az MVL rendszerének „hiperszenquent” kalkulusát. A hiperszekvenciák véges multisets, azaz a szekvenciák véges rendezetlen listái.

A végesen értékelt rendszerek, különösen a (m) értékű rendszerek esetében vannak olyan szekvenciális számítások is, amelyek általánosított szekvenciákkal működnek. A (m) értékű esetben ezek a képletek halmazainak (m) sorozatai.

2.3. Tableau calculi

A tableaux fa szerkezete változatlan marad ezekben a kalkulusokban, mint a klasszikus logika tableau kalkulusaiban. A csomópontok címkéi általánosabb objektumokká válnak, nevezetesen az aláírt képletekkel. Az aláírt képlet egy pár, amely jelből és egy jól kialakított képletből áll. A jel lehet igazság fok, vagy igazság fok.

Az aláírt képletekkel rendelkező tableau calculi általában az MVL véges értékű rendszereire korlátozódik, így ezekkel hatékonyan lehet kezelni.

3. Sok értékű logika rendszerei

Az MVL fő rendszerei gyakran olyan családokként jelentkeznek, amelyek egységesen meghatározott véges és végtelen értékű rendszereket tartalmaznak. Itt van egy lista:

  • 3.1 Łukasiewicz logika
  • 3.2 Gödel logika
  • 3.3 t-Norm alapú rendszerek
  • 3.4 Háromértékű rendszerek
  • 3.5 A Dunn / Belnap négyértékű rendszere
  • 3.6 Termékrendszerek

3.1 Łukasiewicz logika

A (rL_ {m}) és (rL _ { infty}) rendszereket a logikai mátrix határozza meg, amely vagy valamilyen véges halmazt tartalmaz

[W_ {m} = { tfrac {k} {m - 1} közepén 0 / le k / le m - 1 })

a valós egység intervallumon belüli racionalitások, vagy a teljes egység intervallumokon belül

[W _ { infty} = [0,1] = {x / in / Re / közepén 0 / le x / le 1 })

mint az igazság fokozatát. Az 1. fok az egyetlen megjelölt igazsági fok.

Ezeknek a rendszereknek a fő összekötő elemei egy erős és egy gyenge kötődés, (amp) és (ék), az igazság fokfüggvényei

kezdődik {igazítás} u / amp v & = / max {0, u + v-1 }, \\ u / ék v & = / min {u, v }, / end {igazítás}

egy tagadási összekötő (neg) meghatározása

) neg u = 1-u,)

és egy implikációs összekötő (jobbra mutató) igazság fokú funkcióval

[u / jobbra nyíl v = / min {1, 1-u + v }.)

Gyakran két különálló csatlakozót is használnak. Ezeket a (amp) és (ék) fogalommeghatározással határozza meg a szokásos de Morgan-törvények segítségével, a (neg) használatával. Az elsőrendű Łukasiewicz rendszerekhez két számszerűsítőt adunk hozzá (forall), (létező) oly módon, hogy a (forall xH (x)) igazság mértéke az összes releváns legalacsonyabb (H (x)) igazsági foka, és hogy a (létezik xH (x)) igazsági fok a (H (x)) összes releváns igazságfokának felső része.

3.2 Gödel logika

A (rG_ {m}) és (rG _ { infty}) rendszereket a logikai mátrix határozza meg, amely vagy valamilyen véges halmazt tartalmaz

[W_ {m} = { tfrac {k} {m - 1} közepén 0 / le k / le m - 1 })

a valós egység intervallumon belüli racionalitások, vagy a teljes egység intervallumokon belül

[W _ { infty} = [0,1] = {x / in / Re / közepén 0 / le x / le 1 })

mint az igazság fokozatát. Az 1. fok az egyetlen megjelölt igazsági fok.

Ezeknek a rendszereknek a fő összekötő elemei a konjunkció (ék) és a diszjunció (vee), amelyet az igazság fokfüggvényei határoznak meg

kezdődik {igazítás} u / ék v & = / min {u, v }, \\ u / vee v & = / max {u, v }, / vége {igazítás}

implikációs összekötő (jobbra nyíl) igazság fokú funkcióval

(u / jobbra nyíl v)
(u / le v) 1
(u / gt v) (V)

és egy tagadási összekötő (sim) igazság fokú funkcióval

({ Sim} u)
(U = 0) 1
(u / ne 0) 0

Az elsőrendű Gödel rendszerekhez két számszerűsítőt adunk hozzá (forall), (létező) oly módon, hogy a (forall xH (x)) igazság mértéke az összes releváns legalacsonyabb (H (x)) igazsági foka, és hogy a (létezik xH (x)) igazsági fok a (H (x)) összes releváns igazságfokának felső része.

3.3 t-Norm alapú rendszerek

Végtelen értékű rendszerekhez, ahol igazság fok van beállítva

[W _ { infty} = [0,1] = {x / in / Re / közepén 0 / le x / le 1 })

A fuzzy set elmélet hatása az 1980-as évek közepe óta kezdeményezi az MVL ilyen rendszerének egész osztályának tanulmányozását.

Ezeket a rendszereket alapvetően egy (valószínűleg nem idempotens) erős konjunkciós összekötő (amp _ { rT}) határozza meg, amelynek megfelelő igazságfok-függvénye t-norma (rT), azaz egy bináris művelet (rT) az egység intervallumban, amely asszociatív, kommutív, nem csökken, és semleges elemként az 1. fokú:

kezdődik {igazítás} és / rT (u, / rT (v, w)) = / rT (rT (u, v), w), \& / rT (u, v) = / rT (v, u), \& u / le v / jobbra mutató nyíl (u, w) le / rT (v, w), \& / r (u, 1) = u. / End {align}

Azoknak a t-normáknak a vonatkozásában, amelyeknek megvan a fennmaradó tulajdonsága

) rT (u, { sup} _ {i} v_ {i}) = { sup} _ {i} rT (u, v_ {i}),)

van egy szokásos módszer egy kapcsolódó implikációs összekötő (jobbra mutató _ { rT}) bevezetésére az igazság fok funkcióval

[u / jobbra nyíl _ { rT} v = / sup {z / mid / rT (u, z) le v }.)

Ez az implikációs kötés a (r) normával kapcsolódik a kritikus adjointiness feltételnek

) rT (u, v) le w / Leftrightarrow u / le (v / rightarrow _ { rT} w),)

amely meghatározza a (rightarrow _ { rT}) egyedileg minden (rT) -hez a fennmaradó tulajdonsággal.

A nyelv tovább gazdagodik egy (-_ { rT}) negatív összekötő elemmel, amelyet az igazság fokfüggvény határoz meg

[-_ { rT} u = u / jobbra mutató nyíl _ { rT} 0.)

Ez arra kényszeríti a nyelvet, hogy az igazság fokának állandója is legyen (uO), hogy jelölje a 0 igazság fokot, mert akkor a ((-_ { rT}) meghatározható összefüggővé válik.

Általában az egyik két további összekötőként hozzáad egy (gyenge) konjunkciót (ék) és egy disjjunciót (vee) az igazság fokú függvényekkel.

kezdődik {igazítás} u / ék v & = / min {u, v }, \\ u / vee v & = / max {u, v }, / vége {igazítás}

A t-normák esetében, amelyek folytonos funkciók (a két változó valós funkcióinak folytonosságának általános értelemben vett értelmében), ezek a kiegészítő összeköttetések még meghatározhatóvá válnak. Megfelelő meghatározások

kezdődik {igazítás} perc {u, v } & = / rT (u, (u / jobbra mutató nyíl _ { rT} v)), \\ / max {u, v } & = / min { ((u / rightarrow _ { rT} v) rightarrow _ { rT} v), ((v / rightarrow _ { rT} u) rightarrow _ { rT} u) }. / End {align}

Az ilyen t-normával összefüggő rendszerek különleges esetei a végtelen értékű Łukasiewicz és Gödel rendszerek (rL _ { infty}), (rG _ { infty}), valamint a szokásos számtani termékkel rendelkező terméklogika. mint alapvető t-norma.

Analitikai szempontból egy t-normának ((rT)) a fennmaradó tulajdonságuk ezen bináris függvény bal oldali folytonossága (rT), azaz az a tulajdonság, amelyet az egyes unáris függvények mindegyike (rT_ {a} (x) = / rT (a, x)) folyamatos marad. Az ilyen T-normák folytonossága az algebrai megoszthatósági feltétellel jellemezhető

[u / amp _ { rT} (u / jobbra mutató _ { rT} v) = u / ék v.)

Az összes t-norma osztálya nagyon nagy, és eddig nem igazán érthető. Még azoknak a t-normáknak a esetében is, amelyeknek megvan a fennmaradó tulajdonsága, a szerkezeti megértés messze nem teljes, de sokkal jobb, mint az általános esetnél: Jenei (2004) tárgyalja a legújabb fejleményeket. Megfelelően megérthető a folyamatos t-normák csak a további alosztálya: szépen vannak összeállítva a Łukasiewicz t-normának, a t-szorzatnak és a Gödel t-normának, azaz a minimális műveletnek az izomorf példányaiból, amint azt magyarázzuk. pl. Gottwald (2001).

Valójában a t-normák alapján képes rendszereket axiomatizálni a t-normák bizonyos csoportjaira. Alapvető eredményként Hájek (1998) megadta az összes folyamatos t-norma BL logikájának axiomatizálását. A korábban említett algebrai szemantika mellett ez a logika - amint azt Hajek feltételezte és Cignoli / Esteva / Godo / Torrens (2000) bizonyította - újabb algebrai szemantika az összes t-normán alapuló struktúra osztálya, amelynek t-normája folyamatos funkció. E munka alapján Esteva és Godo (2001) feltételezte, hogy az összes t-norma logikai MTL-jének axiomatizálását a szuperkonzerválási tulajdonsággal bírja, és Jenei / Montagna (2002) bebizonyította, hogy ez valóban megfelelő axiomatizáció. És Esteva / Godo / Montagna (2004) egy módszert kínál az egyes folytonos t-normák logikájának axiomatizálására:olyan algoritmust nyújtanak, amely minden egyes folyamatos t-normára ((r)) megadja az axiómasémák véges listáját, amelyek az összes folyamatos t-norma BL logikájához hozzáadva az adott t-norma megfelelő axiomatizálását eredményezik alapú logika a (rT) számára.

A további t-normákon alapuló rendszerek axiomatizálása, valamint a t-normán alapuló mennyiségi meghatározók kérdése a közelmúltban kutatási probléma. A fő hangsúlyt a következő két szempont veszi figyelembe, amelyek ezen t-normákon alapuló rendszerek kifejező erejének módosítására vonatkoznak: (i) ennek a kifejezettségnek a megerősítése azáltal, hogy rendszereket hoz létre további negálási operátorokkal vagy több t-normán alapuló összekapcsolási művelettel; (ii) ennek a kifejezettségnek a módosítása, pl. az igazság fok állandójának (uO) a nyelvből való törlésével, de az alapszótárhoz kapcsolódó implikáció hozzáadásával, és (iii) általánosításokkal, amelyek az alapvető t-normákat nem-kommutívivá változtatják. „Ál-t-normák”, és így logikához vezetnek nem-kommutív konjunkciós összekötőkkel. E fejleményekről felméréseket készített Gottwald / Hájek (2005), Gottwald (2008),és Cintula / Hájek (2010).

A 2011-es korszak szinte teljes bemutatása a Cintula / Hájek / Noguera (2011) monográfia. És Hájek P. hozzájárulását ezekhez a fejleményekhez tiszteletben tartják a Montagna (2015) könyvben.

3.4 Háromértékű rendszerek

A háromértékű rendszerek úgy tűnik, hogy különösen egyszerű esetek, amelyek intuitív értelmezést kínálnak az igazság fokáról; ezek a rendszerek csak egy további fokot tartalmaznak a klasszikus igazságértékek mellett.

A matematikus és a logikus Kleene egy harmadik igazságfokozatot használt a „meghatározatlan” számára a részleges rekurzív funkciók összefüggésében. Összetevői a 3-értékű Łukasiewicz-rendszer tagadása, gyenge konjunkciója és gyenge diszjunciója, egy definiálható kötőszóval ((ék _ {+})) és egy definiálható következtetéssel (jobbra mutató _ {+}), amelyet az igazság fokú függvények a következő függvénytáblákkal (ezeknek az igazsági foka ½, ha egyik alkotóelemnek igazsági foka van ½):

(Ék _ {+}) 0 ½ 1
0 0 ½ 0
½ ½ ½ ½
1 0 ½ 1
(Rightarrow _ {+}) 0 ½ 1
0 1 ½ 1
½ ½ ½ ½
1 0 ½ 1

Itt a ½ a harmadik meghatározatlan igazsági fok. Ebben a Kleene-rendszerben az 1. fok az egyetlen megjelölt igazsági fok.

Blau (1978) egy másik rendszert használt a természetes nyelv szerves logikájaként. Blau rendszerében mind az 1, mind a ½ fokot jelölik. A harmadik igazsági fok ½ egyéb értelmezése, például „értelmetlen”, „meghatározhatatlan” vagy „paradox”, más 3-értékű rendszerek tanulmányozását motiválta.

3.5 A Dunn / Belnap négyértékű rendszere

Az MVL ez a különösen érdekes rendszer a relevancia logika kutatásának eredménye, ám a számítástechnikai alkalmazások szempontjából is releváns. Az igazság fokozatát úgy lehet figyelembe venni, mint:

[W ^ * = { semmi, { bot }, { top }, { bot, / top } },)

és az igazság fokát úgy kell értelmezni, hogy jelzi (pl. egy adott helyzet állapotára vonatkozó adatbázis-lekérdezés vonatkozásában)

  • nincs információ erről a helyzetről,
  • információ, amely szerint a helyzet nem sikerül,
  • információ, amely szerint a helyzet áll fenn,
  • ellentmondásos információk, amelyek szerint az ügyek állapota meghiúsul és meghiúsul.

Az igazság fokozatának két természetes (rácsos) sorrendje van:

  • egy igazságrendelés, amelynek ({ top }) van az összehasonlíthatatlan mértékben (varnothing), ({ bot, / top }), és ({ bot }) az alján; azaz,

    4V-igazság
    4V-igazság
  • információ (vagy: tudás) megrendelés, amelynek ({ bot, / top }) van az összehasonlíthatatlan mértékben ({ bot }, { top }), és amelynek (varnothing) alján; azaz,

    4V-info
    4V-info

Figyelembe véve az igazságrendelés alatt szereplő inf és sup értéket, vannak igazságfokú függvények egy kötőszóhoz és egy diszjunziós összekötőhöz. A tagadást természetes módon egy igazságfok-függvény határozza meg, amely cseréli a fokokat ({ bot }) és ({ top }), és elhagyja a fokokat ({ bot, / top }) és (varnothing) javítva.

Valójában nincs implikációs összekötő számára szabványos jelölt, és a kijelölt igazságfokozatok megválasztása a tervezett alkalmazásoktól függ:

  • számítástechnikai alkalmazások esetében természetes, hogy ({ top }) az egyetlen kijelölt fok,
  • az alkalmazások releváns logikája szempontjából megfelelőnek bizonyult a ({ top }), ({ bot, / top }) választása, mint kijelölt fokok.

A megfelelő vonzó kapcsolatok kiválasztása továbbra is nyitott kutatási téma.

Ez a négyértékű rendszer érdekes értelmezést mutat a számítógépben tárolt információs bázisok összefüggésében, amelyet Belnap (1977) magyarázott. Shramko / Wansing (2005) újabb általánosítása a számítógépes hálózatok tudásbázisaihoz 16 értékű rendszerekhez vezet, amelyeket például Odintsov (2009) is megvizsgál.

Ezek a 16 értékű rendszerek filozófiai szempontból is érdeklődésre számot tartanak, és a Shramko / Wansing (2011) monográfiában részletesen bemutatásra kerülnek.

3.6 Termékrendszerek

Az igazságfokok intuitív megértésének megtalálására vonatkozó általános probléma időnként jó megoldást kínál: megítélhető, hogy a mondatok kiértékelésének különböző szempontjait tartalmazza. Ilyen, mondjuk, (k) különféle aspektusok esetében az igazság fokát választhatjuk (k) - értékösszetételként, amely az egyes aspektusokat értékeli. (És ezek például szabványos igazságértékek lehetnek.)

Az igazság fokú függvények az ilyen (k) - csoportok mellett meghatározhatók továbbá „komponensként” az igazság fok (vagy: az igazság értékének) függvényei alapján az egyes összetevők értékeire. Ily módon a (k) logikai rendszerek egyesíthetők egy többértékű termékrendszerré.

Ilyen módon Dunn / Belnap négyértékű rendszerének igazságossági fokai tekinthetők az adatbázishoz kapcsolódó állapotok (SOA) két aspektusának kiértékelésében:

  1. van-e pozitív információ e SOA igazságáról, vagy sem, és
  2. van-e pozitív információ ezen SOA hamisságáról, vagy sem.

Mindkét szempont felhasználhatja a standard igazságértékeket erre az értékelésre.

Ebben az esetben a Dunn / Belnap négyértékű rendszerének kötődése, disszjunciója és tagadása komponensként meghatározható a klasszikus logika kötődésével, disjúciójával vagy tagadásával, azaz ez a négyértékű rendszer a klasszikus két példányának eredménye. kétértékű logika.

4. A sok értékű logika alkalmazásai

A sok értékű logikát részben a soha nem valósult filozófiai célok, részben a funkcionális teljességgel kapcsolatos formális megfontolások motiválták. A fejlesztés korábbi éveiben ez némi kétséget okozott az MVL hasznosságában. Időközben azonban érdekes alkalmazásokat találtak különféle területeken. Ezek közül néhányat megemlítünk.

  • 4.1 Alkalmazások a nyelvészetben
  • 4.2 Alkalmazások a logikához
  • 4.3. Alkalmazások filozófiai problémákra
  • 4.4 Alkalmazások a hardvertervezéshez
  • 4.5 Alkalmazások a mesterséges intelligencia számára
  • 4.6 Alkalmazások a matematikában

4.1 Alkalmazások a nyelvészetben

Kihívó probléma a nyelvi előfeltevések kezelése, azaz olyan feltételezések kezelése, amelyek csak egy adott mondatban rejtettek be. Tehát például a „Kanada jelenlegi királya Bécsben született” mondat az egzisztenciális feltételezés szerint létezik Kanada jelenlegi királya.

Nem egyszerű feladat megérteni az ilyen mondatok javaslati kezelését, pl. Kritériumok megadása a tagadásuk megfogalmazására, vagy a következtetések valós körülményeinek megértése.

Ezekre a problémákra az egyik típusú megoldás sok igazságfok felhasználására vonatkozik, pl. A rendezett párokkal ellátott termékrendszerekre, mint igazság fokokra: azaz, hogy alkotóelemeik párhuzamosan értékelik, hogy teljesül-e az előfeltevés, és hogy a mondat igaz vagy hamis. De a háromértékű megközelítést szintén megvitatták.

Az MVL eszközök nyelvészetben való alkalmazásának egy másik típusa a természetes nyelvi jelenségek modellezésére irányuló megközelítések. Alapvető ötleteket és néhány alkalmazást kínálnak például Novák / Perfilieva / Močkoř (1999) és Novák (2008) kiadványokban.

4.2 Alkalmazások a logikához

Az MVL rendszerek önmagában a logikába történő alkalmazásának első típusa az, hogy azokat más logikai rendszerek jobb megértése érdekében használják. Ily módon a Gödel-rendszerek abból a megközelítésből származtak, hogy teszteljék, vajon az intuitív logika érthető logikának tekinthető-e. Az MVL rendszerének Łukasiewicz (1920) általi bevezetése kezdetben a (végül sikertelen) gondolatnak vezetett, hogy megértse a lehetőség fogalmát, azaz a modális logikát, 3 értékű módon.

A logika második alkalmazási módja a különféle logikai rendszerek egyesítése, például a rendszerek megfogalmazása osztályozott módozatokkal. Melvin Fitting (1991/92) azokat a rendszereket veszi figyelembe, amelyek meghatározzák az ilyen módozatokat a módozatok és a sok értékű logika összevonásával, és amelyeket szándékosan alkalmaznak a mesterséges intelligencia problémáira.

A logika alkalmazásának harmadik típusa a részleges predikumok és az igazságérték-hiányok modellezése. Ez azonban csak annyiban lehetséges, amennyiben ezek az igazságérték-rések „igazság funkcionálisan” viselkednek, azaz amennyiben az igazságérték-hiányok viselkedése az összetett mondatokban megfelelő igazságfüggvényekkel leírható. (Nem mindig ez a helyzet, pl. Nem olyan készítmények esetében, amelyek túlértékelést használnak.)

4.3. Alkalmazások filozófiai problémákra

Régi filozófiai probléma, hogy megértsük az „igazság” jelentését. A probléma logikus megközelítése abban áll, hogy a formalizált nyelvet (L) egy igazság predikátummal (T) gazdagítják, alkalmazni kell a (L) mondatokra, vagy ami még jobb, ha alkalmazni kell a (L) kiterjesztése (L_ {T}) a predátummal (T).

Ezen ötlet alapján az 1930-as évek közepén A. Tarski kidolgozta az igazság predikátumokkal rendelkező nyelvek ésszerű elméletét. Az egyik eredmény az volt, hogy egy olyan (L_ {T}) nyelv, amely magában foglalja a saját igazság-predikátumát ((T)) és bizonyos kifejező erejét gazdagítja, szükségszerűen következetlen.

A saját igazság-predikátumot tartalmazó (L_ {T}) nyelvek iránti további megközelítést S. Kripke (1975) ajánlott fel, és alapvetően azon az elgondoláson alapszik, hogy a ((T)) részlegesnek tekintik predátum, azaz olyan predátum, amely „igazságérték-résekkel” rendelkezik. Egy olyan esetben, amikor Kripke (1975) megítélése szerint ezek az igazságértési hiányosságok „igazság funkcionálisan” viselkednek, tehát harmadik igazság fokozatként kezelhetők. Az összetett mondatokban való terjedése ezután leírhatóvá válik a háromértékű rendszerek megfelelő igazságszintű függvényei által. Kripke (1975) megközelítésében ez a hivatkozás háromértékű rendszerekre vonatkozott, amelyeket SC Kleene (1938) figyelembe vett a parciális függvények (matematikai) összefüggésében és a rekurziós elmélet predikátumai között.

Az MVL második filozófiájának alkalmazása a régi paradoxonokhoz, mint például a szoriták (halom) vagy a falakrosok (kopasz ember). (Lásd a Sorites paradoxon bejegyzését.) A szoriták esetében a paradoxon a következő:

i. Egy homokmag nem halom homok. És (ii) egy szem homok hozzáadása valamihez, amely nem halom, nem válik halommá. Ennélfogva (iii) egy homok szemcsé soha nem alakulhat halom homoksá, függetlenül attól, hogy hány homokszem kerül hozzá.

Így az (i) valódi előfeltevés téves következtetést ad (iii) a következtetések sorozatán keresztül, a (ii) felhasználásával. Egy meglehetősen természetes megoldás az MVL kiterjesztésén belül, a következtetések osztályozott elképzelésével, amelyet gyakran fuzzy logikának hívnak, ha a halom fogalmát homályosnak vesszük, azaz olyan fogalomként, amely az adott objektumokra csak bizonyosokra vonatkozik (igazság). fokozat. Ezenkívül helyénvaló a ii. Előfeltevésnek csak részben igaznak tekinteni, azonban olyan mértékben, amely meglehetősen közel van az 1. maximális fokhoz. Ekkor minden egyes következtetési lépés a következő formában van:

  • a) (k) a homok szemcséi nem képeznek halomot.
  • (ii) Ha egy szemcsét homokot ad a (k) szemekhez, a ((k + 1)) szemek halommá nem válnak.
  • Ennélfogva
  • (b) ((k + 1)) homok szemcsék nem képeznek halomot.

Ennek a következtetésnek ugyanakkor igazsági fokot kell tartalmaznia az (a) és (ii) helyzetekben, és igazsági fokot kell adnia a (b) következtetéshez. Az MVL-n belüli ilyen típusú érvelés modellezésének döntő ötlete annak biztosítása, hogy a (b) igazság mértéke kisebb legyen, mint az a) igazság mértéke abban az esetben, ha a (ii) igazság mértéke kisebb, mint a maximális.. Valójában tehát a ((n)) homokszemcsék nem halommá válnak: ha egyre növekvő számú szem (ha), akkor hamisnak tűnik.

4.4 Alkalmazások a hardvertervezéshez

A klasszikus javaslati logikát műszaki eszközként használják bizonyos típusú, két stabil állapotú, azaz feszültségszintű „kapcsolókból” épített elektromos áramkörök elemzésére és szintézisére. Egy meglehetősen egyértelmű általánosítás lehetővé teszi egy (m) értékű logika használatát a hasonló (kapcsolók)ból épített áramkörök megvitatására (m) stabil állapotokkal. A sok értékű logika ezen teljes alkalmazási területét sok értékű (vagy akár: fuzzy) váltásnak nevezik. Jó bevezetés az Epstein (1993).

4.5 Alkalmazások a mesterséges intelligencia számára

Az AI valójában a legígéretesebb alkalmazási terület, amely számos olyan területet kínál, ahol az MVL rendszereit alkalmazták.

Az első alkalmazási terület a homályos fogalmakkal és a közérdekű érveléssel kapcsolatos, például a szakértői rendszerekben. Mindkét témát fuzzy halmazok és fuzzy logika modellezik, és ezek az MVL megfelelő rendszereire utalnak. Ezenkívül az adatbázisokban és a tudásalapú rendszerekben szerepel a homályos információk tárolása.

A második alkalmazási terület szorosan kapcsolódik ehhez az elsőhez: az adatok és a tudásbányászat automatizálása. Itt a klaszterezési módszereket veszik figyelembe; ezek nem éles klasztereken keresztül a fuzzy halmazokra és az MVL-re vonatkoznak. Ebben az összefüggésben az MVL rendszerek automatizált tételebiztosítási technikái, valamint az MVL rendszerek logikai programozásának módszerei is érdeklődnek. Ennek a trendnek a része az általános leírási logika, az úgynevezett fuzzy leírási logika közelmúltbeli fejlesztése, amely lehetővé teszi a műszaki eszközök (igazságfokok, összeköttetések, osztályozott predikátumok) beépítését az MVL területéből - a teljes szempontból elsőrendű logika: alapvető - logikai rendszerek, úgynevezett leíró logika, lásd Straccia (2001), Hájek (2005), Stoilos et al. (2008).

4.6 Alkalmazások a matematikában

A matematikán belül három fő téma van, amelyek sok értékű logikához kapcsolódnak. Az első a fuzzy halmazok matematikai elmélete és a „fuzzy” matematikai elemzése, vagy hozzávetőleges érvelés. Mindkét esetben az MVL rendszerekre utal. A második téma a halmazelmélet konzisztencia-igazolásának megközelítése volt a megfelelő MVL rendszer alkalmazásával. És létezik - gyakran csak implicit - hivatkozás az MVL alapvető gondolataira a függetlenségi igazolásokban (pl. Axiómák rendszereihez), amelyek gyakran olyan logikai mátrixokra utalnak, amelyeknek kettőnél több igazságfok van. Az MVL itt azonban inkább pusztán technikai eszköz, mivel ezekben a függetlenségi igazolásokban az igazság fokának intuitív megértése nem érdekli.

5. A sok értékű logika története

A sok értékű logikát mint önálló tárgyat a lengyel logikus és filozófus, Łukasiewicz (1920) hozta létre, és először Lengyelországban fejlesztette ki. Első szándéka egy harmadik, kiegészítő igazságérték felhasználása volt a „lehetséges” számára, és így modellezte a „szükséges, hogy” és „lehetséges, hogy” módszereket. A modális logika e tervezett alkalmazása nem valósult meg. E vizsgálatok eredménye azonban a Łukasiewicz-rendszerek, valamint az ezekkel kapcsolatos elméleti eredmények sorozata.

Alapvetően az Łukasiewicz-megközelítéssel párhuzamosan az amerikai matematikus Post (1921) bevezette a kiegészítő igazságfokok alapötletét, és alkalmazta azt a funkciók reprezentativitásának problémáira.

Később Gödel (1932) megpróbálta megérteni az intuitív logikát sok igazság fokban. Az eredmény a Gödel-rendszerek családja, azaz az intuitív logika nem rendelkezik jellegzetes logikai mátrixgal, csak végesen sok igazságfokozattal. Néhány évvel később Jaskowski (1936) egy intuitív logika végtelen értékű mátrixát készítette. Úgy tűnik azonban, hogy ennek a mátrixnak az igazságszintje nincs szép és egyszerű intuitív értelmezéssel.

A háromértékű logika filozófiai alkalmazását a paradoxonok megvitatására Bochvar orosz logikus javasolta (1938), matematikai alkalmazását pedig a részfunkciókra és kapcsolatokra az Kleene amerikai logikus (1938). Sokkal később Kleene összeköttetései filozófiai szempontból is érdekessé váltak, mint technikai eszköz a Kripke (1975) által kezdeményezett igazság felülvizsgálati elméletében rögzített pontok meghatározására.

Az 1950-es években i. A végtelen értékű, állítólagos Łukasiewicz-rendszerben McNaughton (1951) által definiálható igazságfok-funkciók osztályának analitikus jellemzését mutatták be, (ii) Chang (1958, 1959) ugyanazon rendszer teljességének igazolására szolgált, amely bemutatta a fogalmat. MV-algebrai és Rose / Rosser (1958) által a hagyományosabb albebráért, valamint (iii) Dummett (1959) teljes körű bizonyítékát a végtelen értékű, javaslati Gödel-rendszerre. Az 1950-es években Skolem (1957) is megközelítette a halmozott elmélet konzisztenciájának bizonyítását a végtelen értékű logika területén.

Az 1960-as években Scarpellini (1962) világossá tette, hogy az elsőrendű végtelen értékű Łukasiewicz-rendszer nem (rekurzívan) axiomatizálható. Hay (1963), valamint Belluce / Chang (1963) bebizonyította, hogy egy infinitális következtetési szabály hozzáadása a ((r r _ _ / \ infty}) axiomatizációjához vezet. És Horn (1969) bemutatta az elsőrendű végtelen értékű Gödel-logika teljességét. A tiszta, sok értékű logikán belüli fejlesztések mellett Zadeh (1965) egy (alkalmazásorientált) megközelítést alkalmazott a homályos elképzelések formalizálására általánosított halmazelméleti eszközökkel, amelyet Goguen (1968/69) hamarosan a filozófiai alkalmazásokhoz kötött, és amelyet később sok elméleti megfontolást inspirált az MVL-en belül.

Az 1970-es évek a korlátozott tevékenység periódusát mutatják a tiszta, sok értékű logikában. Sok munkát végeztünk a homályos fogalmakként formalizált homályos fogalmak (számítástechnika) alkalmazásának szorosan kapcsolódó területén (pl. Zadeh (1975, 1979)). És az MVL fontos kiterjesztése volt a következtetés és következtetés fokozatos fogalmával Pavelka-ban (1979).

Az 1980-as években a fuzzy készletek és alkalmazásuk forró téma maradt, amely sok értékű logika módszerével megkövetelte az elméleti alapokat. Ezen kívül voltak az első bonyolultsági eredmények, például a logikailag érvényes képletek halmaza tekintetében, első sorrendű végtelen értékű Łukasiewicz logikában, Ragaz (1983) által. Mundici (1986) elkezdte az MV-algebrák mélyebb tanulmányozását.

Ezek a trendek az 1980-as évek óta folytatódnak. A kutatás magában foglalta az MVL alkalmazását a fuzzy halmazelméletben és azok alkalmazását, az MVL rendszereivel kapcsolatos algebrai struktúrák részletes vizsgálatát, a vonulás fokozatos fogalmainak tanulmányozását, valamint az MVL rendszerek különböző problémáinak komplexitási kérdéseinek vizsgálatát. Ezt a kutatást érdekes munkával egészítették ki a bizonyításelmélettel, az automatizált tétel bizonyításával, a mesterséges intelligencia területén alkalmazott különféle alkalmazásokkal, valamint a t-normákon alapuló végtelen értékű rendszerek részletes tanulmányozásával - amelyeket manapság gyakran (matematikai) fuzzy logikának hívnak.

Bibliográfia

Monográfiák és felmérési dokumentumok

  • Ackermann, R., 1967, Bevezetés a sokrétű logikába, London: Routledge és Kegan Paul.
  • Bolc, L. és Borowik, P., 1992, Sokértékű logika (1. elméleti alapok), Berlin: Springer.
  • ––– 2003, sokértékű logika (2. Automatizált érvelés és gyakorlati alkalmazások), Berlin: Springer.
  • Cignoli, R., d'Ottaviano, I. és Mundici, D., 2000, A sokkal értékelt érvelés algebrai alapjai, Dordrecht: Kluwer.
  • Cintula, P. és Hájek, P., 2010, Háromszög normákon alapuló predikatív fuzzy logika, Fuzzy Sets and Systems, 161 (3): 311–346.
  • Cintula, P., Hájek, P. és Noguera Ch. (szerk.), 2011, Matematikai fuzzy logika kézikönyve (Studies in Logic, 37–38. kötet), College Publications: London.
  • Epstein G., 1993, Többértékű logikai tervezés, Bristol: Fizikai Intézet Kiadó.
  • Fitting, M. és Orlowska, E. (szerk.), 2003, Kettőn túl, Heidelberg: Physica Verlag.
  • Gottwald, S., 1999, Sok értékű logika és fuzzy halmazelmélet, U. Höhle, SE Rodabaugh (szerk.) A fuzzy készletek matematikája: logika, topológia és méréselmélet (A Fuzzy készletek sorozatának kézikönyvei), Boston: Kluwer, 5–89.
  • –––, 2001, értekezés sokoldalú logikáról (Tanulmányok a logika és számítások területén, 9. kötet), Baldock: Research Studies Press Ltd.
  • –––, 2007, Sok értékű logika, D. Jacquette (szerk.) Logikai filozófia (Tudományos filozófia sorozat kézikönyve), Amszterdam: Észak-Holland, 675–722.
  • –––, 2008, Matematikai zavaros logika, Bulletin Symbolic Logic, 14: 210–239.
  • Gottwald, S. és Hájek, P., 2005, T-normán alapuló matematikai fuzzy logika, az E.-P. Klement, Mesiar R. (szerk.), Háromszög normák logikai, algebrai, analitikus és valószínűségi szempontjai, Dordrecht: Elsevier, 275–299.
  • Hähnle, R., 1993, Automatizált levonás többértékű logikában, Oxford: Clarendon Press.
  • –––, 1999, Tableaux a sok értékű logika számára, M. d'Agostino et al. (szerk.) Tableau Methods kézikönyve, Dordrecht: Kluwer, 529–580.
  • ––– 2001, Haladó, sok értékű logika, D. Gabbay, F. Guenthner (szerk.), Filozófiai logika kézikönyve (2. kötet), 2. kiadás, Dordrecht: Kluwer, 297–395.
  • Hájek, P., 1998, A fuzzy logika metamatmatikája, Dordrecht: Kluwer.
  • Karpenko, AS, 1997, Mnogoznacnye Logiki (Logika i Kompjuter, 4. kötet), Moszkva: Nauka.
  • Malinowski, G., 1993, sokértékű logika, Oxford: Clarendon Press.
  • Metcalfe, G., Olivetti, N. és Gabbay, D., 2009, Proof Theory for Fuzzy Logics, New York: Springer.
  • Montagna, F. (szerk.), 2015, Petr Hájek a Mathematical Fuzzy Logic-ról (Kiemelkedő hozzájárulások a logikához, 6. kötet), Cham stb.: Springer.
  • Novák, V., Perfilieva, I. és Močkoř, J., 1999, A fuzzy logika matematikai alapelvei, Boston: Kluwer.
  • Panti, G., 1998, Többértékű logika, Smets P. részében (szerk.) A bizonytalanság és pontatlanság számszerűsített ábrázolása (Kézikönyv az indokolatlan érvelési és bizonytalanságkezelő rendszerekről, 1. kötet), Dordrecht: Kluwer, 25–74.
  • Rescher, N., 1969, sokértékű logika, New York: McGraw Hill.
  • Rine, DC (szerk.), 1977, Számítástechnika és többértékű logika, Amszterdam: Észak-Holland [2. rev. ed. 1984].
  • Rosser, JB és Turquette, AR, 1952, sokértékű logika, Amszterdam: Észak-Holland.
  • Shramko, Y. és Wansing H., 2011, Igazság és hamisság. Vizsgálat általánosított logikai értékekkel (Trends in Logic: 36. kötet), Dordrecht stb.: Springer.
  • Urquhart, A., 2001, Alapvető, sok értékű logika, D. Gabbay, F. Guenthner (szerk.), Handbook of Philosophical Logic, Vol. 2 (2. kiadás), Dordrecht: Kluwer, 249–295.
  • Wojcicki, R. és Malinowski, G. (szerk.), 1977, Selected Papers on Łukasiewicz Sentential Calculi, Wroclaw: Ossolineum.
  • Wolf, RG, 1977, Sok értékű logika felmérése (1966–1974), JM Dunn, G. Epstein (szerk.), A többértékű logika modern felhasználása, Dordrecht: Reidel, 167–323.
  • Zinovev, AA, 1963, A sokkal értékelt logika filozófiai problémái, Dordrecht: Reidel.

Egyéb idézett munkák

  • Belluce, LP és Chang, CC, 1963, A végtelen értékű elsőrendű logika gyenge teljességének tétele, Journal Symbolic Logic, 28: 43–50.
  • Belnap, ND, 1977, Hogyan gondolkodjon egy számítógép, G. Ryle-ben (szerk.), A filozófia kortárs aspektusai, Stockfield: Oriel Press, 30–56.
  • –––, 1977, Hasznos négyértékű logika, JM Dunn, G. Epstein (szerk.), A többértékű logika modern felhasználása, Dordrecht: Reidel, 8–37.
  • Blau, U., 1978, Die dreiwertige Logik der Sprache: szintaxis, Semantik und Anwendung in der Sprachanalyse, Berlin: Gruyter.
  • Bochvar, DA, 1938, Ob odnom trechznacnom iscislenii i ego primenenii k analizu paradoksov klassiceskogo rassirennogo funkcion'nogo iscislenija, Matematiceskij Sbornik, 4 (46): 287–308. [Angol fordítás: Bochvar, DA, Háromértékű logikai kalkulusról és alkalmazásáról a klasszikus kiterjesztett funkcionális kalkulus paradoxonjainak elemzésére, History and Philosophy of Logic, 2: 87–112.]
  • Chang, CC, 1958, Sok értékes logika algebrai elemzése, Transactions American Mathematical Society, 88: 476–490.
  • ––– 1959, Łukasiewicz-axiómák teljességének új bizonyítéka, Transactions American Mathematical Society, 93: 74–80.
  • Cignoli, R., Esteva, F., Godo, L. és Torrens, A., 2000, Basic Fuzzy Logic a folyamatos t-normák és azok maradékainak logikája, Soft Computing, 4: 106–112.
  • Dummett, M., 1959, Állítólagos kalkulus megbontható mátrixszal, Journal Symbolic Logic, 24: 97–106.
  • Dunn, JM, 1976, Intuitív szemantika az első fokú következményekhez és a „kapcsolt fákhoz”, Filozófiai Tanulmányok, 29: 149–168.
  • Esteva, F. és Godo, L., 2001, Monoid t-normákon alapuló logika: a bal-folytonos t-normák logikájához, Fuzzy Sets and Systems, 124: 271–288.
  • Esteva, F., Godo, L. és Montagna, F., 2004, t-normális algebrák által generált BL alfajták egyenlő jellemzése, Studia Logica, 76: 161–200.
  • Fermüller, CG, 2008, Párbeszéd játék sok értékű logika számára - áttekintés, Studia Logica, 90: 43–68.
  • Fermüller, CG és Metcalfe, G., 2009, Giles játékának és az Łukasiewicz logika bizonyító elméletének, Studia Logica, 92: 27–61.
  • Fermüller, CG és Roschger, C., 2014, A játékoktól az igazságfunkciókig: Giles játékának általánosítása, Studia Logica, 102: 389–410.
  • Fitting, MC, 1991/92, Sokszínű modális logika (I, II), Fundamenta Informaticae, 15: 235–254; 17: 55–73.
  • Giles, R., 1974, Nem klasszikus fizika logika, Studia Logica, 33: 397–415.
  • –––, 1975. Łukasiewicz logika és fuzzy set-elmélet. In: Proceedings 1975 Internat. Szimpózium többértékű logika (Indiana Egyetem, Bloomington / IN)}, Long Beach / CA: IEEE Computer Soc., 197–211.
  • –––, 1976, Łukasiewicz logika és fuzzy set-elmélet. Internat. Journ. Man-Machine Studies, 8: 313–327.
  • –––, 1979, A fuzzy érvelés formális rendszere. Fuzzy Sets and Systems, 2: 233–257.
  • Giles, R., 1988, A tagság fogalma. Fuzzy Sets and Systems, 25: 297–323.
  • Gödel, K., 1932, Zum intuitionistischen Aussagenkalkül, Anzeiger Akademie der Wissenschaften Wien (Math.-naturwiss. Klasse), 69: 65–66; - újra kinyomtatva: (1933), Ergebnisse eines mateischen Kolloquiums, 4: 40.
  • Goguen, JA, 1968–69, A nem pontos fogalmak logikája, Synthese, 19: 325–373.
  • Hájek, P., 2005, A fuzzy leírás logikájának általánosabbá tétele, Fuzzy Sets and Systems, 154: 1–15.
  • Hájek, P. és Zach, R., 1994, A sokértékű logika áttekintése 1: Elméleti alapok, készítette: Leonard Bolc és Piotr Borowik, Journal of Applied Non-Classical Logics, 4 (2): 215–220.
  • Hay, LS, 1963, A végtelen értékű predikátum-kalkulus axiomatizálása, Journal Symbolic Logic, 28: 77–86.
  • Jaskowski, S., 1936, Recherches sur le système de la logique intuitioniste, in Actes du Congrès Internationale de Philosophie Scientifique 1936, vol. 6, Párizs, 58–61. [Angol fordítás: Studia Logica, 34 (1975): 117–120.]
  • Jenei, S., 2004, Hogyan építhetünk bal oldali folytonos háromszög normákat - a technika állása, Fuzzy Sets and Systems, 143: 27–45.
  • Jenei, S. és Montagna, F., 2002., Esteva és Godo logikájának MTL logikai standard teljességének igazolása, Studia Logica, 70: 183–192.
  • Kleene, SC, 1938, A rendszámok jelöléséről, Journal Symbolic Logic, 3: 150–155.
  • Kripke, SA, 1975, Az igazság elméletének vázlata, Journal of Philosophy, 72: 690–716.
  • Łukasiewicz, J., 1920, O logice trojwartosciowej, Ruch Filozoficny, 5: 170–171. [Angol fordítás: Łukasiewicz (1970).]
  • ––– 1970, Kiválasztott művek, Borkowski L. (szerk.), Amszterdam: Észak-Hollandia és Varsó: PWN.
  • McNaughton, R., 1951, Tétel a végtelen értékű szenzitív logikáról, Journal Symbolic Logic, 16: 1–13.
  • Mundici, D., 1986, AF C * -algebrák értelmezése Łukasiewicz szenzitív számításban, J. Functional Analysis, 65: 15–63.
  • ––– 1992, Ulam hazugság játékának logikája: C. Bicchieri és ML dalla Chiara (szerk.) Tudás, meggyőződés és stratégiai interakció, Cambridge: Cambridge Univ. Press, 275–284.
  • Novák, V., 2008, A közbenső mennyiségi meghatározók formális elmélete, Fuzzy készletek és rendszerek, 159: 1229–1246.
  • Odintsov, SP, 2009, Shramko-Wansing logikájának axiomatizálásáról, Studia Logica, 91: 407–428.
  • Post, EL, 1920, Az igazságtáblák minden zárt rendszerének meghatározása, Bulletin American Mathematical Society, 26: 437.
  • ––– 1921, Bevezetés az elemi állítások általános elméletéhez, American Journal Mathematics, 43: 163–185.
  • Ragaz, M., 1983, Die Unentscheidbarkeit der einstelligen unendlichwertigen Prädikatenlogik, Archiv matematika, Logik Grundlagenforschung, 23: 129–139.
  • Rose, A. és Rosser, JB, 1958, Sok értékű kijelentési számológép fragmense, Transactions American Mathematical Society, 87: 1–53.
  • Scarpellini, B., 1962, Die Nichtaxiomatisierbarkeit des unendlichwertigen Prädikatenkalküls von Łukasiewicz, Journal Symbolic Logic, 27: 159–170.
  • Shramko, Y. és Wansing H., 2005, Néhány hasznos 16 értékű logika. Hogyan gondolkodjon egy számítógépes hálózat, Journal Philosophical Logic, 34: 121–153.
  • Skolem, Th., 1957, Bemerkungen zum Komprehensionsaxiom, Zeitschrift matematika Logik Grundlagen Mathematik, 3: 1–17.
  • Stoilos, G. Stamou, G., Pan, JZ, Tzouvaras, V. és Horrocks, I., 2007, Indokolás nagyon kifejező, zavaros leírási logikával, J. Artificial Intelligence Res., 30: 273–320.
  • Straccia, U. (2001), Indokolás a homályos leírás logikájában, J. Artificial Intelligence Res., 14: 137–166.
  • White, RB, 1979, A megértés axiómájának konzisztenciája Łukasiewicz végtelen értékű predikátum logikájában, J. Philosophical Logic, 8: 509–534.
  • Wronski, A., 1987, Megjegyzések egy sok értékes logikáról szóló felmérési cikkhez, amelyet Urquhart A., Studia Logica, 46: 275–278.
  • Zadeh, LA, 1965, Homályos készletek, Információ és vezérlés, 8: 338–353.
  • –––, 1975, Homályos logika és hozzávetőleges érvelés, Synthese, 30: 407–428.
  • ––– 1978, a Fuzzy a lehetőségek elméletének alapját adja, a Fuzzy Sets and Systems, 1: 3–28.
  • –––, 1979, A közelítő érvelés elmélete, JE Hayes, D. Michie, LI Mikulich (szerk.), Machine Intelligence 9. New York: Halstead Press, 149–194.

Tudományos eszközök

sep ember ikonra
sep ember ikonra
Hogyan idézhetem ezt a bejegyzést.
sep ember ikonra
sep ember ikonra
A bejegyzés PDF-verziójának előnézete a SEP Barátok társaságában.
inpho ikonra
inpho ikonra
Nézze meg ezt a belépési témát az Internet Filozófia Ontológiai Projektben (InPhO).
phil papírok ikonra
phil papírok ikonra
Továbbfejlesztett bibliográfia erre a bejegyzésre a PhilPapersnél, az adatbázisához kapcsolódó hivatkozásokkal.

Egyéb internetes források

  • Az IEEE CS többértékű logikával foglalkozó műszaki bizottsága, Yutaka Hata, közlemény-szerkesztő.
  • A többértékű logika és a lágy számítástechnikai folyóirat, Dan A. Simovici és Ivan Stojmenovic, a szerkesztõk irányítója.

Ajánlott: