Hilbert Programja

Tartalomjegyzék:

Hilbert Programja
Hilbert Programja

Videó: Hilbert Programja

Videó: Hilbert Programja
Videó: Hilbert's Program 2024, Március
Anonim

Belépés navigáció

  • Nevezés tartalma
  • Bibliográfia
  • Tudományos eszközök
  • Barátok PDF előnézete
  • Szerző és idéző információ
  • Vissza a tetejére

Hilbert programja

Elsőként publikálva 2003. július 31-én; érdemi felülvizsgálat 2019. május 24-ig

Az 1920-as évek elején, a német matematikus, David Hilbert (1862–1943) új javaslatot terjesztett elő a klasszikus matematika megalapozására, amelyet Hilbert programjának hívtak. Felszólít az összes matematika axiomatikus formában történő formalizálására, valamint annak igazolására, hogy a matematika axiomatizálása következetes. Maga a konzisztencia-igazolást csak annak segítségével végezte el, amit Hilbert „finitáris” módszereknek hívott. A véges érvelés különleges episztemológiai jellege ezután megmutatja a klasszikus matematika szükséges indokolását. Noha Hilbert csak 1921-ben javasolta ilyen formájú programját, annak különféle aspektusai alapjául szolgáló munkában gyökerezik, egészen 1900 körül, amikor először rámutatott az elemzés közvetlen következetességének igazolásának szükségességére. A program kidolgozása az 1920-as években jelentősen haladt olyan logikusok közreműködésével, mint Paul Bernays, Wilhelm Ackermann, John von Neumann és Jacques Herbrand. Nagy hatással volt Kurt Gödelre is, akinek a hiányos tételekkel kapcsolatos munkáját Hilbert-program motiválta. Gödel munkája általában azt mutatja, hogy Hilbert-program nem hajtható végre. Ennek ellenére továbbra is befolyásos helyet foglal el a matematika filozófiájában, és Gerhard Gentzennek az 1930-as évek munkájával kezdve az úgynevezett Relativized Hilbert Program munkája központi szerepet játszott a bizonyításelmélet fejlesztésében.akiknek a hiányossági tételekkel kapcsolatos munkáját Hilbert-program motiválta. Gödel munkája általában azt mutatja, hogy Hilbert-program nem hajtható végre. Ennek ellenére továbbra is befolyásos helyet foglal el a matematika filozófiájában, és Gerhard Gentzennek az 1930-as évek munkájával kezdve az úgynevezett Relativized Hilbert Program munkája központi szerepet játszott a bizonyításelmélet fejlesztésében.akiknek a hiányossági tételekkel kapcsolatos munkáját Hilbert-program motiválta. Gödel munkája általában azt mutatja, hogy Hilbert-program nem hajtható végre. Ennek ellenére továbbra is befolyásos helyet foglal el a matematika filozófiájában, és Gerhard Gentzennek az 1930-as évek munkájával kezdve az úgynevezett Relativized Hilbert Program munkája központi szerepet játszott a bizonyításelmélet fejlesztésében.

  • 1. Hilbert-program történelmi fejlődése

    • 1.1 Az alapokkal kapcsolatos korai munka
    • 1.2 A Principia Mathematica befolyása
    • 1.3 Finitizmus és a konzisztencia bizonyítékok keresése
    • 1.4 Gödel hiányossági tételeinek hatása
  • 2. A végső szempont

    • 2.1 Végső tárgyak és finitista episztemológia
    • 2.2 Véglegesen értelmes állítások és érvelés
    • 2.3. Finom műveletek és bizonyítékok
  • 3. Formalizmus, redukcionizmus és instrumentalizmus
  • 4. Hilbert-program és Gödel hiányossági tételei
  • 5. Felülvizsgált Hilbert-programok
  • Bibliográfia
  • Tudományos eszközök
  • Egyéb internetes források
  • Kapcsolódó bejegyzések

1. Hilbert-program történelmi fejlődése

1.1 Az alapokkal kapcsolatos korai munka

Hilbert a matematika alapjairól szóló munkája az 1890-es évek geometriai munkájának gyökereiben rejlik, befejezve befolyásos Geometria Alapjai (1899) tankönyvében (lásd a 19. századi geometria). Hilbert úgy vélte, hogy a tudományos tárgyak szigorú fejlesztésének megfelelő módja axiomatikus megközelítést igényel. Egy axiomatikus kezelés biztosítása során az elméletet az intuíció szükségességétől függetlenül fejlesztenék ki, és megkönnyítené az alapfogalmak és az axiómák közötti logikai kapcsolatok elemzését. Az axiomatikus kezelés szempontjából alapvető jelentőségű, tehát Hilbert, az axiómák függetlenségének és mindenekelőtt konzisztenciájának vizsgálata. A geometria axiómáira vonatkozóan a konzisztencia igazolható a rendszer valósík értelmezésével, és ígya geometria következetességét az elemzés következetességére redukálják. Az elemzés alapja természetesen önmagában is axiomatizálást és konzisztencia-bizonyosságot igényel. Hilbert ilyen axiomatizálást nyújtott be (1900b), de nagyon gyorsan világossá vált, hogy az elemzés konzisztenciája jelentős nehézségekbe ütközött, különösen azért, mert Dedekind munkájának az elemzés alapjainak kedvelt módja kétes feltételezésekre támaszkodott, amelyek hasonlóak azokhoz, amelyek vezetnek a meghatározott elmélet paradoxonjaira és Russell paradoxonjára Frege aritmetikai megalapozásában.különösen azért, mert az elemzés alapjainak kedvező módja Dedekind munkájában olyan kétes feltételezésekre támaszkodott, amelyek hasonlóak azokhoz, amelyek a meghatározott elmélet paradoxonjaihoz vezetnek, és Russell paradoxonjához vezet Frege aritmetikai alapjában.különösen azért, mert az elemzés alapjainak kedvező módja Dedekind munkájában olyan kétes feltételezésekre támaszkodott, amelyek hasonlóak azokhoz, amelyek a meghatározott elmélet paradoxonjaihoz vezetnek, és Russell paradoxonjához vezet Frege aritmetikai alapjában.

Hilbert így rájött, hogy szükség van az elemzés közvetlen konzisztencia-igazolására, azaz arra, amely nem egy másik elméletre való redukción alapul. Az 1900-as (1900a) Nemzetközi Matematikusok Kongresszusához intézett beszédében 23 olyan matematikai problémájának második elemét javasolta, amely a 23 matematikai probléma második eleme, és vázlatot mutatott be Heidelberg-beszédében (1905). Számos tényező késleltette Hilbert alapvető programjának továbbfejlesztését. Az egyik talán Poincaré (1906) kritikája volt azzal szemben, amelyet Hilbert vázlatos konzisztencia-bizonyítékában az indukció gonoszan kör alakú felhasználásaként látott (lásd Steiner 1975, Függelék). Hilbert azt is felismerte, hogy az axiomatikus vizsgálatok jól kidolgozott logikai formalizmust igényelnek. Abban az időben a logika koncepciójára támaszkodott, amely az algebrai hagyományon alapult, különös tekintettel Schröder munkájára,ami nem volt különösen alkalmas a matematika axiomatizálásának formalizmusára. (Lásd: Peckhaus 1990 a Hilbert-program korai kidolgozásáról.)

1.2 A Principia Mathematica befolyása

Russell és Whitehead Principia Mathematica közzététele biztosította a szükséges logikai alapot az alapvető kérdések megújult támadásához. 1914-től Hebertrich Behmann és Hilbert hallgató tanulmányozta Principia rendszerét (lásd Mancosu, 1999 Behmann szerepéről Hilbert iskolájában). Maga Hilbert 1917-ben visszatért az alapvető kérdések munkájához. 1917 szeptemberében beszédet nyújtott be a svájci matematikai társasághoz, melynek címe „Axiomatikus gondolat” (1918a). Ez az első közzétett hozzájárulása a matematikai alapokhoz, 1905 óta. Ebben ismét hangsúlyozza az axiomatikus rendszerek konzisztencia-igazolásának követelményét:megmutatni, hogy minden tudásterületen teljesen lehetetlen az ellentmondások a mögöttes axióma-rendszer alapján.” A számviteli (és a halmazelmélet) konzisztenciájának bizonyítását ismét a legfontosabb nyitott problémákként mutatja be. Mindkét esetben úgy tűnik, hogy nincs semmi alapvető fontosságú elem, amellyel a következetesség csökkenthető lenne, kivéve magát a logikát. És Hilbert azt gondolta, hogy ezt a problémát lényegében Russell Principia munkája oldotta meg. Ennek ellenére az axiomatika egyéb alapvető problémái továbbra sem oldottak meg, ideértve az „minden matematikai kérdés eldönthetőségének” problémáját, amely szintén Hilbert 1900-as címére vezethető vissza.úgy tűnik, hogy nincs semmi alapvető fontosságú elem, amellyel a következetesség csökkenthető lenne, kivéve magát a logikát. És Hilbert azt gondolta, hogy ezt a problémát lényegében Russell Principia munkája oldotta meg. Ennek ellenére az axiomatika egyéb alapvető problémái továbbra sem oldottak meg, ideértve az „minden matematikai kérdés eldönthetőségének” problémáját, amely szintén Hilbert 1900-as címére vezethető vissza.úgy tűnik, hogy nincs semmi alapvető fontosságú elem, amelyre a következetesség csökkenthető lenne, kivéve a logikát. És Hilbert azt gondolta, hogy ezt a problémát lényegében Russell Principia munkája oldotta meg. Ennek ellenére az axiomatika egyéb alapvető problémái továbbra sem oldottak meg, ideértve az „minden matematikai kérdés eldönthetőségének” problémáját, amely szintén Hilbert 1900-as címére vezethető vissza.

Az axiomatika e megoldatlan problémái arra késztették Hilbertet, hogy jelentős erőfeszítéseket szenteljen a logika kidolgozásának a következő években. 1917-ben Paul Bernays csatlakozott hozzá asszisztenseként Göttingenben. Az 1917–1921 közötti kurzus sorozatban Hilbert, Bernays és Behmann közreműködésével, jelentős új hozzájárulást nyújtott a formális logikához. Az 1917-es tanfolyam (Hilbert, 1918b) elsősorban az elsőrendű logika kifinomult fejlesztését tartalmazza, és alapja Hilbert és Ackermann tankönyv Az elméleti logika alapelvei (1928) című kiadványának (lásd Ewald és Sieg 2013, Sieg 1999, és Zach, 1999, 2003).

1.3 Finitizmus és a konzisztencia bizonyítékok keresése

A következő néhány évben azonban Hilbert elutasította Russell logisztikus megoldását az aritmetika konzisztenciaproblémájára. Ugyanakkor Brouwer intuitív matematika megszerezte a valutát. Különösen Hilbert korábbi hallgatója, Hermann Weyl váltott át az intuícióval. Weyl „Az új alapvető krízis a matematikában” (1921) című cikkében Hilbert válaszolt három beszélgetésen, Hamburgban, 1921 nyarán (1922b). Hilbert itt bemutatta saját javaslatát a matematika alapjainak problémájának megoldására. Ez a javaslat beépítette Hilbert 1904-es ötleteit a közvetlen konzisztencia-igazolásokról, az axiomatikus rendszerek koncepciójáról, valamint a matematika axiomatizációjának műszaki fejlődéséről Russell munkájában, valamint az ő és munkatársai által végzett további fejlesztésekről. Újdonság volt az, ahogyan Hilbert a következetességi projektjét a filozófiai jelentőséggel akarta átitatni, amely ahhoz szükséges, hogy válaszoljon Brouwer és Weyl kritikájára: a végső szempontból.

Hilbert szerint van egy kiemelt része a matematikának, a tartalmi elemi számelméletnek, amely csak a „konkrét jelek tisztán intuitív alapjára” támaszkodik. Míg az elvont fogalmakkal való működést „nem megfelelőnek és bizonytalannak” tekintették, létezik a birodalom

extra logikai különálló objektumok, amelyek intuitív módon léteznek azonnali tapasztalatként, mielőtt az összes gondolkodás megtörténik. Ahhoz, hogy a logikai következtetés biztos legyen, ezeket az objektumokat teljes részükben teljes mértékben meg kell vizsgálni, és megjelenítésüknek, különbségüknek, egymás utáni egymásnak (mint maguk a tárgyak) azonnal, intuitív módon létezniük kell ránk, mint olyannak, amely nem képes valami másra redukálható. (Hilbert 1922b, 202; a szakasz szinte szó szerint megismétlődik: Hilbert 1926, 376, Hilbert 1928, 464 és Hilbert 1931b, 267)

Ezek a tárgyak Hilbert számára jelek voltak. A tartalmi számelmélet területe a záró számokból áll, azaz a stroke sorozatból. Ezeknek nincs értelme, azaz nem állnak absztrakt tárgyak mellett, de működtethetők (pl. Összekapcsolva) és összehasonlíthatók. Tulajdonságaik és kapcsolataik ismerete intuitív és logikai következtetések által nem közvetített. Hilbert szerint az így kidolgozott tartalmi számelmélet biztonságos: ellentmondások nem merülhetnek fel pusztán azért, mert a tartalmi számelmélet javaslataiban nincs logikus szerkezet.

Az intuitív-tartalmi jelekkel végzett műveletek képezik Hilbert metamatematikájának alapját. Ugyanúgy, ahogyan a tartalmi számelmélet stroke-szekvenciákkal működik, úgy a metamatmatika a szimbólumok (képletek, bizonyítékok) sorozataival működik. A képletek és a bizonyítékok szintaktikailag manipulálhatók, és a képletek és a bizonyítékok tulajdonságai és összefüggései hasonlóan egy logika nélküli intuitív képességen alapulnak, amely garantálja a képletekkel és a bizonyítékokkal kapcsolatos ismeretek bizonyosságát az ilyen szintaktikai műveletek során. Maga a matematika azonban elvont fogalmakkal működik, pl. Mennyiségi meghatározókkal, halmazokkal, függvényekkel, és logikai következtetéseket alkalmaz olyan elveken alapul, mint például a matematikai indukció vagy a kirekesztett középpont elve. Ezeket a „koncepció-formációkat” és az érvelés módozatait Brouwer és mások kritizálták azon az alapon, hogy véletlenszerű totalitások feltételezését feltételezik a megadottak szerint, vagy hogy magukba foglalják impredztívatív meghatározásokat (amelyeket a kritikusok gonoszan kör alakúnak tartottak). Hilbert célja az volt, hogy igazolja felhasználásukat. Ebből a célból rámutatott, hogy axiomatikus rendszerekben is formalizálhatók (mint például Principia vagy maga Hilbert által kifejlesztett rendszerek), és így a matematikai állítások és igazolások képletekké és axiómákból származnak, a szigorúan körülhatárolt származási szabályok szerint. A matematika, tehát Hilbert „bizonyítható képletek leltárává válik”. Ily módon a matematika bizonyításait metamatematikai, tartalmi vizsgálatnak vetik alá. Hilbert programjának célja az, hogy tartalmi,metamatematikai bizonyíték arra, hogy nem létezhet ellentmondás, vagyis nem lehet a (A) képlet és annak tagadása (neg A) formális származtatása.

A program céljainak ezt a vázlatát Hilbert és munkatársai alakították ki a következő 10 évben. Koncepcionális oldalról a véges álláspontot és a következetesség igazolásának stratégiáját Hilbert (1928) dolgozta ki; Hilbert (1923); Hilbert (1926) és Bernays (1928b); Bernays (1922); Bernays (1930), melyből Hilbert „A végtelenn” című cikke (1926) ismerteti a katonai szempont részletesebb kidolgozását. Hilbert és Bernays mellett számos más ember is részt vett a program műszaki munkájában. A Göttingenben tartott előadásokban (Hilbert és Bernays, 1923; Hilbert, 1922a) Hilbert és Bernays kifejlesztették a ((varepsilon) - calculus) mint számtani és elemzési axiómás rendszerek végleges formalizmusát. Hilbert ott bemutatta a következetesség igazolásának megközelítését az úgynevezett (varepsilon) - helyettesítési módszerrel. Ackermann (1924) megkísérelte kiterjeszteni Hilbert ötletét egy elemzési rendszerre. A bizonyíték azonban téves volt (lásd Zach 2003). John von Neumann, majd a Göttingeni látogató, javított konzisztencia bizonyítékot adott a ((varepsilon)) formalizmus rendszerére (amely azonban nem tartalmazta az indukciós axiómát) 1925-ben (1927-ben jelent meg). Von Neumann munkájára építve Ackermann kidolgozott egy új (varepsilon) - helyettesítési eljárást, amelyet közölt a Bernays-szel (lásd Bernays 1928b). „A matematika megalapozásának problémái” címû, 1928-ban Bolognában (1929), Bolognában tartott matematikusok nemzetközi kongresszusa címû beszédében,Hilbert optimista módon állította, hogy Ackermann és von Neumann munkája megteremtette a számelmélet konzisztenciáját, és hogy az elemzés bizonyítását az Ackermann már elvégezte „annyiban, hogy az egyetlen fennmaradó feladat egy elemi finomsági tétel bizonyítása. tisztán számtani."

1.4 Gödel hiányossági tételeinek hatása

Gödel hiányossági tételei azt mutatták, hogy Hilbert optimizmusa nem megfelelő. 1930 szeptemberében Kurt Gödel Königsberg konferenciáján jelentette be első hiányossági tételét. A közönség von Neumann azonnal felismerte Gödel eredményének jelentőségét Hilbert műsorában. Nem sokkal a konferencia után írt Gödelnek, mondván neki, hogy következtetéseket talál Gödel eredményére. Gödel ugyanazt az eredményt már önállóan is megtalálta: a második hiányosság tétel, amely azt állítja, hogy a Principia rendszere nem bizonyítja a Principia rendszerének következetességére vonatkozó állítás formalizálását (feltéve, hogy van). A konzisztencia-igazolásokban addig alkalmazott összes finitív érvelés módszerét azonban Principialában hivatalossá tették. Ennélfogva,ha a Principia konzisztenciája az Ackermann bizonyítékaiban alkalmazott módszerekkel bizonyítható, lehetővé kell tenni, hogy ezt a bizonyítékot Principialis is formalizálják; de éppen ezért lehetetlen a második hiányossági tétel állítása. Bernays emellett felismerte Gödel eredményeinek fontosságát is, miután 1931 januárjában tanulmányozta Gödel tanulmányát, és írta Gödelnek, hogy (feltételezve, hogy a fejedelmi érvelés formális lehet Principiában is): a hiányos tétel azt mutatja, hogy Principia végső következetességének igazolása lehetetlen. Nem sokkal ezután von Neumann megmutatta, hogy Ackermann konzisztencia-bizonyítéka hibás, és ellenpéldát nyújtott a javasolt ((varepsilon)) - helyettesítési eljáráshoz (lásd Zach 2003).de éppen ezért lehetetlen a második hiányossági tétel állítása. Bernays emellett felismerte Gödel eredményeinek fontosságát is, miután 1931 januárjában tanulmányozta Gödel tanulmányát, és írta Gödelnek, hogy (feltételezve, hogy a fejedelmi érvelés formális lehet Principiában is): a hiányos tétel azt mutatja, hogy Principia végső következetességének igazolása lehetetlen. Nem sokkal ezután von Neumann megmutatta, hogy Ackermann konzisztencia-bizonyítéka hibás, és ellenpéldát nyújtott a javasolt ((varepsilon)) - helyettesítési eljáráshoz (lásd Zach 2003).de éppen ezért lehetetlen a második hiányossági tétel állítása. Bernays emellett felismerte Gödel eredményeinek fontosságát is, miután 1931 januárjában tanulmányozta Gödel tanulmányát, és írta Gödelnek, hogy (feltételezve, hogy a fejedelmi érvelés formális lehet Principiában is): a hiányos tétel azt mutatja, hogy Principia végső következetességének igazolása lehetetlen. Nem sokkal ezután von Neumann megmutatta, hogy Ackermann konzisztencia-bizonyítéka hibás, és ellenpéldát nyújtott a javasolt ((varepsilon)) - helyettesítési eljáráshoz (lásd Zach 2003).írta Gödelnek, hogy (feltételezve, hogy a fejedelmi érvelés formalizálható Principiában) a hiányosság tétel azt mutatja, hogy Principia végleges következetességének igazolása lehetetlen. Nem sokkal ezután von Neumann megmutatta, hogy Ackermann konzisztencia-bizonyítéka hibás, és ellenpéldát nyújtott a javasolt ((varepsilon)) - helyettesítési eljáráshoz (lásd Zach 2003).írta Gödelnek, hogy (feltételezve, hogy a fejedelmi érvelés formalizálható Principiában) a hiányosság tétel azt mutatja, hogy Principia végleges következetességének igazolása lehetetlen. Nem sokkal ezután von Neumann megmutatta, hogy Ackermann konzisztencia-bizonyítéka hibás, és ellenpéldát nyújtott a javasolt ((varepsilon)) - helyettesítési eljáráshoz (lásd Zach 2003).

(1936) Gentzen közzétette az elsőrendű Peano Arithmetic ((PA)) következetességének igazolását. Amint Gödel bizonyította, hogy szükséges, Gentzen bizonyítéka olyan módszereket használt, amelyeket nem lehetett formalizálni magában ((PA)), nevezetesen a véghatások indukciója az ordinal mentén (varepsilon_0). Gentzen munkája a poszt-gödeliai bizonyításelmélet és a Relativized Hilbert Programokkal kapcsolatos munka kezdete. A Gentzen hagyományában szereplő bizonyítékelmélet az axiomatikus rendszereket elemezte annak alapján, hogy a végzetes szempont kiterjesztései szükségesek-e következetességük bizonyításához. Általában a rendszerek konzisztencia-erősségét a rendszer bizonyításelméleti rendjével, azaz az ordinális transzfinites indukcióval mérik, amely mentén elegendő a konzisztencia bizonyításához. (PA) esetén ez a sorrend (varepsilon_0). (További megbeszélés céljábóllásd a bizonyítási elmélet kidolgozásáról szóló bejegyzést.)

2. A végső szempont

Hilbert matematikai filozófiájának sarokköve és 1922b-től kezdve alapvető gondolatának lényegében új aspektusa abban állt, amit a végső szempontnak nevezett. Ez a módszertani szempont a matematikai gondolkodásnak azokra a tárgyakra korlátozódik, amelyek „intuitív módon jelen vannak minden gondolkodás előtti közvetlen tapasztalatként”, valamint azon objektumokkal kapcsolatos műveletekre és érvelési módszerekre, amelyek nem igényelnek absztrakt fogalmak bevezetését a különösképp, anélkül, hogy fellebbezést adna a befejezetlen végtelen összesítésekre.

Számos alapvető és összefüggő kérdés van a Hilbert végső álláspontjának megértésében:

  1. Mik a véges érvelés tárgyai?
  2. Melyek a végesen értelmes állítások?
  3. Melyek a végső soron elfogadható felépítési és érvelési módszerek?

2.1 Végső tárgyak és finitista episztemológia

Hilbert egy jól ismert bekezdésben jellemezte a végső érvelés területét, amely nagyjából ugyanolyan megfogalmazásban szerepel Hilbert 1920-as évek filozófiai cikkeiben (1931b; 1922b; 1928; 1926):

A logikai következtetések alkalmazásának és a logikai műveletek végrehajtásának feltétele, hogy valamit meg kell adni a reprezentációs képességünknek, bizonyos extralogikus konkrét objektumoknak, amelyek intuitív módon jelen vannak azonnali tapasztalatként a gondolkodás előtt. Ahhoz, hogy a logikai következtetések megbízhatóak legyenek, lehetővé kell tenni ezen objektumok teljes felmérését valamennyi részükben, és azonnal meg kell adni azt a tényt, hogy azok előfordulnak, hogy különböznek egymástól, és hogy követik egymást, vagy össze vannak kötve. intuitív módon, a tárgyakkal együtt, mint valami, amely semmire nem redukálható, és nem igényel redukciót. Ez az alapvető filozófiai álláspont, amelyet szükségesnek tartok a matematika és általában az összes tudományos gondolkodás, megértés és kommunikáció szempontjából. (Hilbert, 1926, 376)

Ezek az objektumok Hilbert számára a jelek. A tartalmi számelmélet területén a szóban forgó megjelölések olyan számok, mint a

1, 11, 111, 11111

A kérdésre, hogy pontosan értette Hilbert a számokat, nehéz megválaszolni. Ezek nem fizikai tárgyak (például a tényleges nyomtatás papíron), mivel mindig lehet számot meghosszabbítani egy újabb vonal hozzáadásával (és amint azt Hilbert a „Végtelenben” (1926) is érvel, kétséges, hogy a fizikai világegyetem végtelen). Hilbert (1922b, 202) szerint alakjukat általánosságban és minden bizonnyal felismerhetjük - helytől és időtől függetlenül, a megjelölés gyártásának különleges körülményeitől és a késztermék jelentéktelen különbségeitől függetlenül. Ezek nem szellemi konstrukciók, mivel tulajdonságuk objektív, mégis létezésük intuitív felépítésüktől függ (lásd Bernays 1923, 226). Mindenesetre egyértelmű, hogy logikailag primitívek, azazsem fogalmak (ahogyan Frege számai is), sem halmaza. A legfontosabb itt nem elsősorban metafizikai státuszuk (absztrakt és konkrét ezeknek a kifejezéseknek a jelen értelmében), hanem az, hogy nem lépnek logikai kapcsolatba, pl. Bernays finitizmusának legérettebb ismertetéseiben (Hilbert és Bernays, 1939; Bernays, 1930) a finitizmus tárgyait formális objektumokként jellemzik, amelyeket rekurzív módon generálnak egy ismétlési folyamat; a stroke jelek e formális tárgyak konkrét ábrázolásai. Bernays finitizmusának legérettebb ismertetéseiben (Hilbert és Bernays, 1939; Bernays, 1930) a finitizmus tárgyait formális objektumokként jellemzik, amelyeket rekurzív módon generálnak egy ismétlési folyamat; a stroke jelek e formális tárgyak konkrét ábrázolásai. Bernays finitizmusának legérettebb ismertetéseiben (Hilbert és Bernays, 1939; Bernays, 1930) a finitizmus tárgyait formális objektumokként jellemzik, amelyeket rekurzív módon generálnak egy ismétlési folyamat; a stroke jelek e formális tárgyak konkrét ábrázolásai.

Ugyanilyen nehéz kérdés, hogy Hilbert szerint mi a finitizmus tárgyainak episztemológiai státusza. Az infinitista matematika biztonságos alapjának biztosítása érdekében a védelmi tárgyakhoz való hozzáférésnek azonnali és biztos hozzáférést kell biztosítani. Hilbert filozófiai háttere nagyjából kantiánus volt, csakúgy, mint Bernaysé, aki szorosan kapcsolódott a neo-kanti filozófiai iskolához Leonard Nelson környékén, Göttingenben. Hilbert a finitizmus jellemzése gyakran a kanti intuícióra utal, a finitizmus objektumait pedig mint az intuitív módon adott objektumokat. Valójában, Kant episztemológiájában a közvetlenség az intuitív tudás meghatározó tulajdonsága. A kérdés az, hogy milyen intuíció játszik szerepet? Mancosu (1998b) e tekintetben változást azonosít. Azt állítja, hogy míg a Hilbert korai cikkeiben szereplő intuíció egyfajta érzékelő intuíció volt, későbbi írásaiban (pl. Bernays 1928a) a kanti értelemben a tiszta intuíció egyik formájaként azonosítják. Ugyanakkor nagyjából ugyanabban az időben Hilbert (1928, 469) a periódusban továbbra is azonosítja a játékban alkalmazott intuíciót. Hilbert a (1931b, 266–267) munkában a véges gondolkodásmódot a priori tudás külön forrásaként látja el a tiszta intuíció (pl. A tér) és az ész mellett, állítva, hogy „felismerte és jellemezte a a tapasztalatot és a logikát kísérő tudás.” Bernays és Hilbert egyaránt a kanadai értelemben támasztják alá a finitási ismereteket (anélkül, hogy átjutnánk egy transzcendentális dedukcióhoz), a finitális érvelést olyan érvelésként jellemezve, amely alapja az összes matematikai,és valóban tudományos, gondolkodásmód, amely nélkül lehetetlen lenne ez a gondolkodás. (Lásd Kitcher 1976 és Parsons 1998 a finitizmus epistemológiájáról, és Patton 2014 a Hilbert jelek elméletének történelmi és filozófiai összefüggéseiről.)

2.2 Véglegesen értelmes állítások és érvelés

A végső számokról a legalapvetőbb ítéletek az egyenlőségre és az egyenlőtlenségre vonatkoznak. Ezenkívül a véges szempont lehetővé teszi a védelmi objektumokon végzett műveleteket. Itt a legalapvetőbb az összekapcsolás. A 11 és 111. szám összefűzése „(2 + 3)” formában kerül továbbításra, és az állítás, hogy a 11-vel összekapcsolt 11 ugyanazzal a számmal jár, mint a 11-vel összekapcsolt 11-vel a „(2 + 3 = 3 + 2)).” A valós bizonyításelméleti gyakorlatban, valamint kifejezetten (Hilbert és Bernays, 1934; Bernays, 1930), ezeket az alapműveleteket általánosítják olyan műveletekre, amelyeket rekurzió, paradigmatikusan, primitív rekurzió, például pl. Szorzás és exponencia határoz meg (lásd Parsons 1998 filozófiai nehézségek az exponenciával kapcsolatban és 2007 az intuitív matematika és a finitizmus kibővített megbeszélése céljából). Hasonlóképpen,a büntetőjogi ítéletek nemcsak az egyenlőséget vagy az egyenlőtlenségeket foglalják magukban, hanem alapvető dönthető tulajdonságokat is tartalmazhatnak, például „elsődleges”. Ez végső soron elfogadható mindaddig, amíg az ilyen tulajdonság jellegzetes funkciója önmagában véges: Például az a mûvelet, amely egy számot 1-gyé alakít, ha prím, és 11, egyébként meghatározható primitív rekurzióval, és ennélfogva finitáris. Az ilyen véget érő állításokat a szokásos logikai műveletekkel kombinálhatják a konjunkció, diszjunció, tagadás, de korlátozott számszerűsítés is. (Hilbert, 1926) példát ad arra a kijelentésre, hogy „(p + 1) és (p! + 1) között van egy prímszám”, ahol (p) egy bizonyos nagy prím. Ez az állítás végső soron elfogadható, mivel „pusztán azt az állítást rövidíti”, hogy (p + 1) vagy (p + 2) vagy (p + 3), vagy… vagy (p! + 1) egy prím.

A problémás végső állítások azok, amelyek általános tényeket fejeznek ki a számokról, például az adott számra (n, 1 + n = n + 1). Ez problematikus, mivel - ahogyan Hilbert állítja - „a finitista szempontjából nem képes tagadni” (1926, 378). Ezzel azt jelenti, hogy az ellentmondásos állítás, hogy létezik (n) szám, amelyre (1 + n / ne n + 1) nincs véglegesen értelmezhető. „Végül is nem lehet kipróbálni az összes számot” (1928, 470). Ugyanezen okból kifolyólag a végleges általános javaslatot nem végtelen összefüggésként kell értelmezni, hanem „csak egy hipotetikus ítéletként, amelynek célja valami kijelentés egy szám megadásakor” (uo.). Annak ellenére, hogy problematikusak ebben az értelemben, az általános véges kijelentések különös jelentőséggel bírnak Hilbert bizonyítási elmélete szempontjából,mivel a formális rendszer konzisztenciájának nyilatkozata ilyen általános formájú: a képletek bármely adott sorozata esetén a (P, P) nem jelenti a (S) ellentmondás következtetését.

2.3. Finom műveletek és bizonyítékok

A finitizmus és a Hilbert bizonyítási elméletének megértése szempontjából döntő jelentőségű az a kérdés, hogy milyen műveleteket és milyen bizonyítási elveket kell engedélyezni a finitista szempontjából. Az, hogy szükség van egy általános válaszra, világossá válik Hilbert bizonyító elméletének követelményeiből, azaz nem várható el, hogy egy matematikai formális rendszer (vagy akár egyetlen képletsorozat) esetén „láthatjuk”, hogy következetes (vagy hogy nem lehet egy inkonzisztencia valódi származtatása), ahogyan láthatjuk, pl.: (11 + 111 = 111 + 11). A konzisztencia-igazoláshoz egy olyan művelet szükséges, amely egy formális derivációt követően egy ilyen formát átalakít egy speciális formává, plusz bizonyítékot arra, hogy a művelet valójában ezt megteszi, és hogy a különleges jellegű igazolások nem lehetnek inkonzisztencia bizonyítékai.. Finom konzisztencia bizonyítéknak tekinthető, hogy maga a művelet a finitist szempontjából is elfogadható legyen, és a megkövetelt igazolásoknak csak a véglegesen elfogadható elveket kell használniuk.

Hilbert soha nem adott általános beszámolót arról, hogy mely műveletek és bizonyítási módszerek fogadhatók el a finitista szempontjából, csak a műveletekre és a következtetési módszerekre vonatkoztak a tartalmi védelmi szám elméletben, amelyeket végesnek fogadott el. A tartalmi indukciót hipotetikus, általános jellegű véges kijelentésekben való alkalmazásában elfogadták, kifejezetten Hilbertben (1922b). Ő (1923, 1139) azt állította, hogy az intuitív gondolkodás „magában foglalja a rekurziót és az intuitív indukciót a véges létező totalitások számára”, és egy példában használt exponenciát 1928-ban. Bernays (1930) elmagyarázta, hogyan lehet az exponenciát úgy értelmezni, mint a számok finitáris művelete. Hilbert és Bernays (1934) az egyetlen általános beszámolót adnak a védelmi számi elméletről; szerinta primitív rekurzióval és az indukcióval végzett bizonyítékokkal meghatározott műveletek végső soron elfogadhatók. Ezeket a módszereket formalizálhatjuk egy olyan primitív rekurzív számtani ((PRA) néven ismert rendszerben, amely lehetővé teszi a függvények primitív rekurzióval és indukcióval történő meghatározását mennyiségi meghatározó nélküli képleteken (ibid.). Sem Hilbert, sem Bernays azonban soha nem állították, hogy csak az primitív rekurzív műveletek számítanak végesnek, és valójában már 1923-ban használtak néhány nem primitív rekurzív módszert látszólag finitikus konzisztencia bizonyítékban (lásd Tait 2002 és Zach 2003). Sem Hilbert, sem Bernays soha nem állították, hogy csak az primitív rekurzív műveletek számítanak végesnek, és valójában már 1923-ban is alkalmaztak néhány nem primitív rekurzív módszert látszólag finitikus konzisztencia bizonyítékban (lásd Tait 2002 és Zach 2003). Sem Hilbert, sem Bernays soha nem állították, hogy csak az primitív rekurzív műveletek számítanak végesnek, és valójában már 1923-ban is alkalmaztak néhány nem primitív rekurzív módszert látszólag finitikus konzisztencia bizonyítékban (lásd Tait 2002 és Zach 2003).

Az érdekesebb fogalmi kérdés az, hogy mely műveleteket kell végesnek tekinteni. Mivel Hilbert kevésbé volt teljesen egyértelmű abban, hogy a végső helyzet miként áll, van némi mozgástér a korlátok meghatározásában, episztemológiai és egyéb szempontból is, a finitista művelet és a bizonyítás elemzésének eleget kell tenni. Hilbert a zárószám-elmélet tárgyait (lásd fent) „intuitív módon adta”, „mindegyik részükben megfigyelhetőnek” jellemezte, és azt mondta, hogy alapvető tulajdonságaiknak „intuitív módon létezniük kell” számunkra. Bernays (1922, 216) azt sugallja, hogy a finom matematikában csak „primitív intuitív kogníciók játszanak szerepet”, és az „intuitív bizonyítékok szempontjából” kifejezést használja az 1930, 250 finitizmus kapcsán. A finitizmusnak ezt az elsődlegesen az intuícióval és az intuitív tudással kapcsolatos jellemzését különösen hangsúlyozta (Parsons, 1998), aki azzal érvel, hogy ennek a megértésnek finitabbnak számíthat nem több, mint azok az aritmetikai műveletek, amelyeket az összeadás és szorzás határozhat meg. korlátozott rekurzióval. Különösen, elmondása szerint, az exponencia és az általános primitív rekurzió végső soron nem elfogadható.

Az a tézis, miszerint a finitizmus egybeesik a primitív rekurzív érveléssel, erőteljes védekezést kapott (Tait 1981; lásd még 2002 és 2005b). Tait, Parsons-szal ellentétben, elutasítja az intuíció reprezentativitásának aspektusát, mint a finitúra jellemzőit; ehelyett úgy véli, hogy a finitív érvelés „minimális érvelési forma, amelyet a számokra vonatkozó összes nem triviális matematikai érvelés feltételez”. és elemzi a végső műveleteket és a bizonyítási módszereket, mivel azok a szám fogalmában rejlenek, mint egy véges sorozat formája. A finitizmus ezen elemzését Hilbert állítása támasztja alá, miszerint a finitális érvelés a logikai és matematikai, sőt bármilyen tudományos gondolkodás előfeltétele Hilbert (1931b, 267). Mivel a véges érvelés a matematika azon része, amelyet a számokról szóló minden nem triviális érvelés feltételez,Tehát Tait, "megkérdőjelezhetetlen" derékszögű értelemben, és ez a megkérdőjelezhetetlenség, mint amire csak szükség lenne a végeredményes érveléshez, hogy biztosítsa a matematika epistemológiai alapját, amelyet Hilbert akart.

Kreisel (1960) javasolta egy másik érdekes elemzést a bűnügyi bizonyítékról, amely azonban nem nyújt olyan részletes filozófiai indokolást. Ez azt eredményezi, hogy pontosan ezek a függvények vannak finitárisak, és bebizonyíthatók teljesnek az elsőrendű számtani módszerben ((PA)). A reflexió elvének bizonyításelméleti koncepcióján alapul; részletesebben lásd Zach (2006), elemzéséhez Dean (2015). Kreisel (1970, 3.5. Szakasz) újabb elemzést nyújt azáltal, hogy a „megjeleníthetőre” összpontosítja. Az eredmény ugyanaz: a végső bizonyíthatóság együttmûködõképesnek bizonyul a (PA) pontban levõ bizonyítékkal.

Tait műszaki elemzése azt eredményezi, hogy a finitista függvények pontosan a primitív rekurzív funkciók, és a finitista szám-elméleti igazságok pontosan azok, amelyek bizonyíthatók a primitív rekurzív számtani elméletben (PRA). Fontos hangsúlyozni, hogy ezt az elemzést nem a finitista szempontból végzik el. Mivel a „funkció” és a „bizonyítás” általános fogalmai önmagukban nem finisek, a finitist nem tudja értelmezni Tait azon tézisét, miszerint a (PRA) bizonyítékban minden finitikusan igaz. Tait szerint a finitista bizonyíték megfelelő elemzése nem feltételezi, hogy maga a finitizmus hozzáférhet ilyen nem finitista fogalmakhoz. Kreisel megközelítése és Taitnak adott néhány kritikája, amelyek a reflexió elveire vagy (omega) - szabályokra támaszkodnak, ezt a követelményt követi (lásd Tait 2002, 2005b). Másrészről,Azt lehet állítani, hogy a (PRA) túl erős elmélet ahhoz, hogy formalizálássá tegye azt, amit „a számokról szóló minden nem triviális matematikai érvelés feltételez”: vannak gyengébb, de nem triviális elméletek, amelyek kisebb osztályokhoz kapcsolódnak függvényeket, mint az olyan primitív rekurzív függvények, mint a (PV) és (EA), amelyek a polinomidő és a Kalmar elemi függvényekhez kapcsolódnak (lásd Avigad 2003, hogy mennyi matematikát lehet végrehajtani (EA)). Ganit (2010), Taitéval megegyező elemzés alapján, eljutott a Kalmar-elemi funkciók megfelelő osztályához, mint amelyek finitisták.vannak gyengébb, de nem triviális elméletek, amelyek kisebb függvényosztályokhoz kapcsolódnak, mint a primitív rekurzív jellegűek, mint például a (PV) és (EA), amelyek a polinomidőhöz és a Kalmar elemi függvényekhez kapcsolódnak (Lásd: Avigad 2003, hogy mennyi matematikát lehet elvégezni (EA)). Ganit (2010), Taitéval megegyező elemzés alapján, eljutott a Kalmar-elemi funkciók megfelelő osztályához, mint amelyek finitisták.vannak gyengébb, de nem triviális elméletek, amelyek kisebb függvényosztályokhoz kapcsolódnak, mint a primitív rekurzív jellegűek, mint például a (PV) és (EA), amelyek a polinomidőhöz és a Kalmar elemi függvényekhez kapcsolódnak (Lásd: Avigad 2003, hogy mennyi matematikát lehet elvégezni (EA)). Ganit (2010), Taitéval megegyező elemzés alapján, eljutott a Kalmar-elemi funkciók megfelelő osztályához, mint amelyek finitisták. Ganea (2010) megérkezett a Kalmar-elemi funkciók megfelelő osztályába, mivel ezek finitista. Ganea (2010) megérkezett a Kalmar-elemi funkciók megfelelő osztályába, mivel ezek finitista.

3. Formalizmus, redukcionizmus és instrumentalizmus

Weyl (1925) egyeztető reakció volt Hilbert 1922b és 1923 javaslatára, amely ennek ellenére néhány fontos kritikát tartalmazott. Weyl úgy írta le Hilbert projektjét, hogy a tartalmi matematikát helyettesíti a képletek értelmetlen játékával. Megjegyezte, hogy Hilbert „nem az igazság, hanem az elemzés konzisztenciájának biztosítása” akarja, és egy olyan kritikát javasolt, amely Frege korábbi véleményét tükrözi: Miért kellene a matematika formális rendszerének következetességét okaként hinni a az előzetes formai matematika kodifikálja? A Hilbert értelmetlen képletkészlete nem csupán „az elemzés vértelen szelleme”? Weyl megoldást javasolt:

[I] Ha a matematika továbbra is komoly kulturális aggodalomra ad okot, akkor némi értelmet kell tulajdonítani Hilbert képletjátékának, és csak egyetlen lehetőséget látom annak független intellektuális jelentésnek való hozzárendelésére (beleértve annak transzfinit komponenseit). Az elméleti fizikában előttünk van a példa egy teljesen más jellegű [fajta] ismeretekre, mint a közös vagy fenomenális tudás, amely pusztán azt fejezi ki, amit az intuíció ad. Noha ebben az esetben minden ítéletnek megvan a maga értelme, amely az intuíción belül teljes mértékben megvalósítható, ez az elméleti fizika állításaira egyáltalán nem vonatkozik. Ebben az esetben inkább a rendszer egésze kérdéses, ha a tapasztalatokkal szembesülnek. (Weyl, 1925, 140)

Meglepő a fizikával való analógia, és hasonló ötleteket lehet találni Hilbert saját írásában is - talán Webert befolyásolta Hilbertnek. Noha Hilbert első javaslatai kizárólag a konzisztenciára összpontosítottak, észrevehető fejlemény van Hilbert gondolkodásában egy általános reduktivista projekt irányában, amely a tudomány filozófiájában az akkoriban nagyon gyakori volt (amire Giaquinto 1983 rámutatott). Az 1920-as évek második felében Hilbert a konzisztenciaprogramot egy konzervativitási programmal váltotta fel: A formalizált matematikát az elméleti fizika analógiájával kellett megfontolni. Az elméleti rész legfontosabb igazolása a „valós” matematika konzervativitásában rejlik: amikor az elméleti „ideális” matematika bizonyítja a „valódi” állítást, ez a javaslat intuitív módon is igaz. Ez igazolja a transzfinit matematika használatát: nemcsak belsőleg következetes, hanem csak az igazi intuitív állításokat bizonyítja (és valójában mindent, mivel az intuitív matematika formalizálása része az összes matematika formalizálásának).

1926-ban Hilbert különbséget tett a valós és az ideális képletek között. Ez a megkülönböztetés nem létezett 1922b-ben, és csak 1923-ban utalt rá. Ez utóbbiban Hilbert először a számszerűsítés nélküli számelmélet formális rendszerét mutatja be, amelyről azt mondja, hogy „Az ily módon megszerezhető bizonyítható képletek mindegyikének a véges”(1139). Ezután hozzáadódnak a transzfinit axiómák (azaz a mennyiségi meghatározók) az elmélet egyszerűsítése és kiegészítése érdekében (1144). Itt először vonja le az analógiát az ideális elemek módszerével: „A bizonyítási elmélemben a transzfinit axiómák és a képletek a véges axiómákhoz kapcsolódnak, ugyanúgy, mint a komplex változók elméletében a képzeletbeli elemek a valóshoz kapcsolódnak., és ahogy a geometria, az ideális konstrukciók a ténylegeshez kapcsolódnak”(uo.) Amikor Hilbert,1926-ban kifejezetten bevezeti az ideális javaslat fogalmát, és 1928-ban, amikor először az ideál mellett valós állításokról beszél, egyértelmű, hogy az elmélet valódi része csak eldönthető, változó nélküli képletekből áll. Azt állítják, hogy „közvetlenül ellenőrizhetők” - hasonlóan a természet törvényeiből származó állításokhoz, amelyeket kísérlettel ellenőrizni lehet (1928, 475). A program új képe a következő volt: A klasszikus matematikát egy olyan rendszerben kell formalizálni, amely magában foglalja a tartalmi véges szám elméletének minden közvetlenül ellenőrizhető (számítás alapján) javaslatát. A konzisztencia bizonyítékának meg kell mutatnia, hogy az ideális módszerekkel igazolható valós állítások igazak, azaz a véges számításokkal közvetlenül igazolhatók.(A tényleges bizonyítékok, mint például a (varepsilon) - a helyettesítés mindig ilyen jellegű volt: végezzen finomsági eljárásokat, amelyek kiküszöbölik a transzfinit elemeket a valós állítások, különösen a (0 = 1) bizonyítékaiból.) Valójában, Hilbert azt látta, hogy valami erősebb az igaz: nemcsak a konzisztencia-bizonyíték bizonyítja az igazi képletek igazságát, amely az ideális módszerekkel bizonyítható, hanem a végső általános állítások végleges bizonyítékát is szolgáltatja, ha a megfelelő szabad-változó formula ideális módszerekkel származtatható (1928, 474)..ugyanakkor végeredményes bizonyítékokat szolgáltat az általános vélekedésekről, ha a megfelelő szabad-változó formula ideális módszerekkel származtatható (1928, 474).ugyanakkor végeredményes bizonyítékokat szolgáltat az általános vélekedésekről, ha a megfelelő szabad-változó formula ideális módszerekkel származtatható (1928, 474).

Hilbert további korlátozásokat javasolt az elméletre a konzervativitás mellett: az egyszerűség, a bizonyítások rövidsége, a „gondolatgazdaságosság” és a matematikai termelékenység. A transzfinit logika formális rendszere nem önkényes: „Ezt a képletjátékot bizonyos meghatározott szabályok szerint hajtják végre, amelyekben kifejezzük gondolkodásunk technikáját. […] A bizonyítási elmélet alapvető gondolata nem más, mint a megértésünk tevékenységének leírása, a szabályok jegyzőkönyvének elkészítése, amelyek szerint a gondolkodásunk valóban folytatódik”(Hilbert, 1928, 475). Amikor Weyl (1928) végül elfordult az intuíciótól (okokból lásd Mancosu és Ryckman, 2002), hangsúlyozta Hilbert bizonyító elméletének ezt a motivációját: hogy ne változtassa a matematikát értelmetlen szimbólummá,hanem elméleti tudomává alakítani, amely kodifikálja a tudományos (matematikai) gyakorlatot.

Hilbert formalizmusa tehát meglehetősen kifinomult volt: elkerülte két kritikus kifogást: (1) Ha a rendszer képleteinek nincs értelme, hogyan hozhat létre a rendszerben a levezethetőség bármilyen hitet? (2) Miért akarja elfogadni a (PA) rendszert, és nem más következetes rendszert? Mindkét kifogás Frege-tól ismert; mindkét kérdésre (részben) a valós állítások konzervativitási bizonyítékkal válaszolnak. Ezenkívül a (2) vonatkozásában Hilbertnek egy naturalista elfogadási kritériuma van: a rendszerek megválasztásában az egyszerűség, a kifinomultság, az egységesség megfontolása és a matematikusok által ténylegesen elvégzett megfontolások korlátozzák; Weyl hozzátenné, hogy egy elmélet végső próbája az lenne, hogy fizikában hasznos lenne.

A legtöbb matematikai filozófus, aki a Hilbertről írt, instrumentálisként olvasta (köztük Kitcher 1976, Resnik 1980, Giaquinto 1983, Sieg 1990 és különösen Detlefsen 1986), mivel elolvasta Hilbert magyarázatát, miszerint az ideális állításoknak „önmagukban nincs értelme”. (Hilbert, 1926, 381), mivel azt állítják, hogy a klasszikus matematika puszta eszköz, és hogy a transzfinites matematika állításainak nincs igazságértéke. Amennyiben ez pontos, akkor azt metodikai instrumentalizmusként kell értelmezni: A bizonyításelméleti program sikeres végrehajtása azt mutatná, hogy úgy tehetik magukat, mintha a matematika értelmetlen lenne. A fizikával való analógia tehát nem: a transzfinites állításoknak nincs értelme, csakúgy, mint az elméleti terminusokat tartalmazó állításoknak nincs értelme, de:a transzfinites állításokhoz nincs szükség közvetlen intuitív jelentésre, ugyanakkor az embernek nem kell közvetlenül látnia az elektronokat, hogy róluk teoretikálni tudjon. Hallett (1990), figyelembe véve a 19. századi matematikai hátteret, amelyből Hilbert származik, valamint Hilbert egész karrierjének közzétett és még nem publikált forrásait (különösen Hilbert 1992, az ideális elemek módszerének legszélesebb körű ismertetése) a következő következtetésre jut.:

[A filozófiai kérdések Hilbert általi kezelése] nem azt jelenti, hogy valamiféle instrumentalista agnosztika a létezésről és az igazságról, és így tovább. Éppen ellenkezőleg, nem szkeptikus és pozitív megoldást kínál ezekre a problémákra, egy olyan megoldást, amely kognitív szempontból hozzáférhető módon van kialakítva. És úgy tűnik, hogy ugyanaz a megoldás vonatkozik mind a matematikai, mind a fizikai elméletekre. Ha új fogalmakat vagy „ideális elemeket” vagy új elméleti kifejezéseket elfogadtak, akkor léteznek abban az értelemben, amelyben léteznek bármely elméleti entitás. (Hallett, 239, 1990)

4. Hilbert-program és Gödel hiányossági tételei

Vitattak valami arról, hogy Gödel hiányossági tételeinek milyen hatása van Hilbert programjára, és hogy az első vagy a második hiányossági tétel adta-e a puccsot. A fejlesztésekben közvetlenül részt vevők véleménye kétségtelenül meg volt győződve arról, hogy a tételeknek döntő hatása van. Gödel egy 1930 októberében közzétett összefoglalóban jelentette be a második hiányossági tételt: az olyan rendszerek, mint például a Principia, a Zermelo-Fraenkel halmazelmélet, vagy az Ackermann és von Neumann által vizsgált rendszerek konzisztenciájának igazolása nem lehetséges ezekben a rendszerekben megfogalmazható módszerekkel. Gödel (1931) a teljes változatában nyitva hagyta annak lehetõségét, hogy létezhetnek olyan finitáris módszerek, amelyek ezekben a rendszerekben nem formalizálhatók, és amelyek a szükséges konzisztencia-igazolást eredményeznék. Bernays 1931 januárjában a Gödelhez intézett levelében elsőként reagált arra is, hogy „ha - amint von Neumann is ezt teszi - biztosnak veszi, hogy a végén minden véges megfontolás formalizálható a rendszerben” (P) - úgy gondolom, mint te. hogy semmiképpen sem mint rendezett ember nem jut arra a következtetésre, hogy (P) konzisztenciájának finom demonstrálása lehetetlen”(Gödel, 2003a, 87).

Hogyan befolyásolja Gödel-tételek Hilbert programját? A szimbólumszekvenciák (képletek, bizonyítékok) óvatos („Gödel”) kódolásával Gödel kimutatta, hogy a (T) elméletekben, amelyek elegendő számú aritmetikát tartalmaznak, lehetséges a ((Pr (x) képlet) előállítása., y)), amely "azt mondja", hogy (x) a (kód) a (képlet kóddal megadott) bizonyítéka (y). Pontosabban, ha (ulcorner 0 = 1 / urcorner) a képlet kódja (0 = 1), akkor (Con_T = / forall x / neg Pr (x, / ulcorner 0 = 1 / urcorner)) lehet azt mondani, hogy (T) konzisztens (nincs szám a (T) (0 = 1) deriváció kódja). A második hiányosságra vonatkozó tétel (G2) azt mondja, hogy a (T) és a kódoló berendezéssel kapcsolatos bizonyos feltevéseknél a (T) nem bizonyítja (Con_T). Tegyük fel, hogy volt (T) végső konzisztencia bizonyítéka. Az ilyen bizonyításban alkalmazott módszerek feltehetően formalizálhatók a ((T)) nyelven. („Formalizálható”: azt jelenti, hogy ha a bizonyíték (f) végzetes műveletet használ származtatásokon, amelyek bármilyen (D) származtatást egy egyszerű formájú (f (D)) származékká alakítanak, akkor ott egy képlet (F (x, y)) úgy, hogy minden származtatásra (D, T / vdash F (ulcorner D / urcorner, / ulcorner f (D) urcorner)).) (T) véglegesen az általános hipotetikus kifejezés szerint lenne, hogy ha (D) bármely adott szimbólum-sorozat, akkor a (D) nem a ((T)) képlet derivatációja a (0) 1). A javaslat formalizálása a következő képlet: (neg Pr (x, / ulcorner 0 = 1 / urcorner)), amelyben a (x) változó szabadon fordul elő. Ha a ((T)) konzisztenciájának végleges bizonyítéka lenne, akkor annak formalizálása a következőt eredményezné: (T) (neg Pr_T (x,\ ulcorner 0 = 1 / urcorner)), amelyből (Con_T) származtatható (T) -ben egyszerű univerzális általánosítással (x) -on. A (T_) (Con_T) származékát azonban a G2 kizárja.

Mint fentebb említettük, Gödel és Bernays kezdetben úgy gondolták, hogy a (PA) konzisztencia-igazolásának nehézségei megoldhatók olyan módszerek alkalmazásával, amelyek bár a ((PA)) formailag nem formalizálhatók, mindazonáltal finikusságok. Vita tárgya, hogy ezeket a módszereket a finitizmus eredeti koncepciója szerint finitásnak tekintik-e, vagy az eredeti finitista álláspont kiterjesztését képezik-e. Az új módszerek a Hilbert (1931b; 1931a) által javasolt (omega) szabály véges változatát tartalmazták. Igaz azonban azt mondani, hogy körülbelül 1934 után szinte egyetemesen elfogadták, hogy a bizonyítási módszerek, amelyeket Gödel eredményeit megelõzõen elfogadtak, formalizálhatók a ((PA)) -ban. Az eredeti finitista álláspont kiterjesztését széles körű védelmi alapon javasolták és védték meg, pl. Gentzen (1936) a transzfinites indukció alkalmazását (varepsilon_0) -ig tartotta a konzisztencia bizonyítékában arra, hogy (PA) „vitathatatlan”. Takeuti (1987) újabb védekezést adott. Gödel (1958) a finitista álláspont újabb kiterjesztését mutatta be; a fent említett Kreisel munkája újabb kísérletnek tekinthető a finitizmus kiterjesztésére, miközben megőrzi Hilbert eredeti koncepciójának szellemét.

Detlefsen (1986; 2001; 1979) javasolta egy másik kísérletet Gödel Hilbert-program második tételének megkerülésére. Detlefsen számos védelmi vonalat mutat be, amelyek közül az egyik hasonló a fent leírthoz: azzal érvelve, hogy a (omega) szabály egy verziója véglegesen elfogadható, bár nem képes formalizálni (lásd még Ignjatovic 1994). Detlefsen Gödel második tételének általános értelmezése elleni másik érve a formalizáció fogalmára összpontosít: Az, hogy a „(T) következetes” konkrét formalizálása Gödel formulája által ((Con_T) nem bizonyítható, nem jelenti azt, hogy nem lehetett volna”) Nem lehetnek olyan képletek, amelyek bizonyíthatók a ((T)) -ban és amelyek ugyanolyan joggal bírnak, hogy „((T)) konzisztenciájának formalizálására hívják. Ezek a valószínűségi predikátum (Pr_T) formátumától eltérő formalitásokra támaszkodnak, mint a standard. Ismert, hogy a formalizált konzisztencia-állítások nem állíthatók be, amikor a bizonyíthatósági predikátum bizonyos általános származtathatósági feltételeket teljesít. Detlefsen szerint ezek a feltételek nem szükségesek ahhoz, hogy egy predikátum valódi provabilitási predikátumnak minősüljön, és valóban vannak olyan provalabációs predikátumok, amelyek megsértik a provalencia feltételeit, és amelyek következetességi képleteket eredményeznek, amelyek a megfelelő elméletekben bizonyíthatók. Ezek azonban a bizonytalanság nem szokásos koncepcióitól függnek, amelyeket Hilbert valószínűleg nem fogadott volna el (lásd még Resnik 1974, Auerbach 1992 és Steiner 1991). Ismert, hogy a formalizált konzisztencia-állítások nem állíthatók be, amikor a bizonyíthatósági predikátum bizonyos általános származtathatósági feltételeket teljesít. Detlefsen szerint ezek a feltételek nem szükségesek ahhoz, hogy egy predikátum valódi provabilitási predikátumnak minősüljön, és valóban vannak olyan provalabációs predikátumok, amelyek megsértik a provalencia feltételeit, és amelyek következetességi képleteket eredményeznek, amelyek a megfelelő elméletekben bizonyíthatók. Ezek azonban a bizonytalanság nem szokásos koncepcióitól függnek, amelyeket Hilbert valószínűleg nem fogadott volna el (lásd még Resnik 1974, Auerbach 1992 és Steiner 1991). Ismert, hogy a formalizált konzisztencia-állítások nem állíthatók be, amikor a bizonyíthatósági predikátum bizonyos általános származtathatósági feltételeket teljesít. Detlefsen szerint ezek a feltételek nem szükségesek ahhoz, hogy egy predikátum valódi provabilitási predikátumnak minősüljön, és valóban vannak olyan provalabációs predikátumok, amelyek megsértik a provalencia feltételeit, és amelyek következetességi képleteket eredményeznek, amelyek a megfelelő elméletekben bizonyíthatók. Ezek azonban a bizonytalanság nem szokásos koncepcióitól függnek, amelyeket Hilbert valószínűleg nem fogadott volna el (lásd még Resnik 1974, Auerbach 1992 és Steiner 1991).és valóban vannak olyan bizonyíthatósági predikátumok, amelyek megsértik a provalencia feltételeit, és amelyek következetességi képleteket eredményeznek, amelyek a megfelelő elméletekben bizonyíthatók. Ezek azonban a bizonytalanság nem szokásos koncepcióitól függnek, amelyeket Hilbert valószínűleg nem fogadott volna el (lásd még Resnik 1974, Auerbach 1992 és Steiner 1991).és valóban vannak olyan bizonyíthatósági predikátumok, amelyek megsértik a provalencia feltételeit, és amelyek következetességi képleteket eredményeznek, amelyek a megfelelő elméletekben bizonyíthatók. Ezek azonban a bizonytalanság nem szokásos koncepcióitól függnek, amelyeket Hilbert valószínűleg nem fogadott volna el (lásd még Resnik 1974, Auerbach 1992 és Steiner 1991).

Smorynski (1977) azt állította, hogy már az első hiányossági tétel legyőzi Hilbert programját. Hilbert célja nem csupán a formalizált matematika konzisztenciájának megmutatása volt, hanem egy meghatározott módon történő megmutatása annak bemutatásával, hogy az ideális matematika soha nem vezethet olyan következtetésekhez, amelyek nem állnak összhangban a valódi matematikával. Tehát a siker érdekében az ideális matematikának konzervatívnak kell lennie a valóság szempontjából: amikor a formalizált ideális matematika igazi képletet bizonyít, maga a P (P, P) képletnek (vagy az általa kifejezett finiáris javaslatnak) végeredményben igazolhatónak kell lennie. Smorynski esetében a valós képletek nemcsak a numerikus egyenlőségeket és azok kombinációit tartalmazzák, hanem általános képleteket is tartalmaznak szabad változókkal, de korlátlan számszerűsítők nélkül.

Most Gödel első hiányossági tétele (G1) kijelenti, hogy minden kellõen erõs, következetes formai elméletnek (S) van (G_S) mondat, amely igaz, de nem származtatható (S) -ben. (G_S) valódi mondat Smorynski meghatározása szerint. Most fontolja meg az elméletet (T), amely formalizálja az ideális matematikát, és annak altechnikáját (S), amely formalizálja a valós matematikát. (S) kielégíti a G1 feltételeit, tehát (S) nem származik (G_S) -ból. Ugyanakkor a (T), mivel az összes matematika formalizálása (beleértve azt is, amely szükséges ahhoz, hogy látni tudjuk, hogy (G_S) igaz), származik (G_S). Ezért van egy igazi állításunk, amely az ideális matematikában bizonyítható, nem pedig a valódi matematikában.

Detlefsen (1986, Függelék; lásd még 1990) szintén megvédte Hilbert programját ezen érveléssel szemben. Detlefsen azt állítja, hogy a „Hilbertian” instrumentalizmus elkerüli a G1 érvelését azzal, hogy tagadja, hogy az ideális matematikának konzervatívnak kell lennie a valós részben; mindössze a valósághűségre van szükség. A Hilbert-féle instrumentalizmus csak azt követeli meg, hogy az ideális elmélet ne bizonyítson semmit, ami ellentétes a valós elmélettel; nem szükséges, hogy csak valós állításokat bizonyítson, amelyeket az igazi elmélet is igazol. (Lásd a Zach 2006-at a konzervativitás és a konzisztencia kérdésével kapcsolatban, a további megbeszélésekhez a Gödel-bejegyzés megfelelő szakaszát, a Franks 2009-et Hilbert-projekt kapcsolódó védekezéséhez és újraértékeléséhez, és a McCarthy 2016-ot a alternatív megközelíthetőséghez a provabilitáshoz) következetesség és a G2 miatt maga Gödel.)

5. Felülvizsgált Hilbert-programok

Még akkor sem, ha nem lehet megadni a számtani végső következetesség-igazolást, a konzisztencia-igazolások megtalálásának kérdése mindazonáltal értéke: az ilyen igazolásokban alkalmazott módszerek, bár azoknak meg kell haladniuk a Hilbert eredeti finitizmus-értelmét, valódi betekintést nyújthatnak a számtani és erősebb elméletek. Gödel eredménye azt mutatta, hogy nem létezik abszolút következetesség igazolás az összes matematikáról; tehát a bizonyításelméletben dolgozunk, miután Gödel a relatív eredményekre összpontosított: mind a rendszerhez, amelyhez konzisztencia-igazolást adtak, mind az alkalmazott bizonyítási módszerekhez viszonyítva.

A reduktív bizonyításelmélet ebben az értelemben két hagyományt követett: az első, amelyet főként Gentzen és Schütte után a bizonyítékszakértő teoretikusok hajtottak végre, ordinális elemzésnek nevezett programot folytatott, és ezt példázza Gentzen (PA) indukcióval (varepsilon_0. / varepsilon_0) egy bizonyos transzfinit (bár megszámlálható) ordinal, azonban az „indukció (varepsilon_0) -ig” az itt alkalmazott értelemben nem valóban transzfinit eljárás. Az ordinális elemzés nem végtelen rendszámokkal működik, hanem ordinális jelölési rendszerekkel, amelyek maguk is nagyon gyenge (lényegében véges) rendszerekben formalizálhatók. A rendszer (T) rendszeres elemzését akkor adják meg, ha:(a) előállíthat egy olyan rendi jelölési rendszert, amely valamilyen ordinálnál kevesebbet utánoz (mint az alfa_T), tehát (b) végeredményben igazolható, hogy az alapelv formalizálása (TI (alpha_T)) az indukció (alpha_T)ig a (T) konzisztenciáját vonja maga után (azaz (S / vdash TI (alpha_T) jobbra mutató nyíl Con_T)) és (c) (T) bizonyítja (TI (béta)) mindenki számára (béta / lt / alfa_T) ((S) a finitárius metamatematikát formalizáló elmélet, és általában a (T) gyenge alteóriája. Bármilyen alapvető jelentőséggel bír, az is szükséges, hogy konstruktív érvet adjon a transzfinit indukcióhoz (alpha_T) értékig. Mint fentebb említettük, ezt Gentzen és Takeuti tették a (varepsilon_0), a (PA) bizonyítási elméleti ordinalja számára,de nehezebbé válik, és fokozatosan megkérdőjelezhető filozófiai jelentőséggel bír az erősebb elméletek szempontjából.

Kreisel (1983; 1968) és Feferman (Feferman, 1988; Feferman, 1993a) javasolta Hilbert-program filozófiai szempontból kielégítőbb folytatását bizonyított elméleti szempontból. Ez a munka a Hilbert-program szélesebb körű elképzeléséből származik, amely arra törekszik, hogy korlátozott eszközökkel igazolja az ideális matematikát. Ebben a koncepcióban Hilbert bizonyító elméletének célja az volt, hogy megmutassa, hogy legalább az igazi állítások egy osztályát illetően az ideális matematika nem haladja meg az igazi matematikát. A Hilbert által tervezett végső konzisztencia igazolása ezt megvalósította volna: ha az ideális matematika igazi állítást bizonyít, akkor ez az állítás már valós (azaz véges) módszerekkel bizonyítható. Bizonyos értelemben ez az ideális matematikát valódi matematikává redukálja. Az elmélet (T) egy elméletre igazított elméleti redukciója elméletre (S) azt mutatja, hogy ha egy állítások egy bizonyos osztályát érinti, ha (T) egy állítást bizonyít, akkor (S) azt is bizonyítja, és ennek a ténynek a bizonyítása önmagában véges is. Hilbert bizonyítóelméleti programja tehát az összes matematika bizonyított elméleti redukciójának kutatására vezethető vissza; egy relativizált programban a klasszikus matematikánál gyengébb elméletek redukcióit keresik a gyakran a végső matematikánál erősebb elméletekre. A bizonyítékszakértők számos ilyen eredményt kaptunk, ideértve az elméletek redukcióit is, amelyek arcukra jelentős ideális matematikát igényelnek az érvek igazolására (pl. Elemzési alrendszerek) a végső rendszerekre. (Feferman,1993b) ezeket az eredményeket más eredményekkel kombinálva használta, amelyek azt mutatják, hogy a tudományosan alkalmazható matematika legtöbbjét, ha nem is mindegyikét olyan rendszerekben lehet elvégezni, amelyekben rendelkezésre állnak ilyen redukciók, hogy vitathassák a matematika filozófiájának nélkülözhetetlen érvét. Az ilyen bizonyító elméleti redukciók filozófiai jelentősége jelenleg vita tárgya (Hofweber, 2000; Feferman, 2000).

Az úgynevezett fordított matematika programja, amelyet különösen Friedman és Simpson fejlesztett ki, Hilbert programjának további folytatása. Gödel azon eredményeivel szembesülve, amelyek azt mutatják, hogy a klasszikus matematika nem mindegyike redukálható finitúrára, megválaszolják a kérdést: a klasszikus matematika mekkora részét lehet ilyen redukálni? A fordított matematika arra törekszik, hogy pontos választ adjon erre a kérdésre azzal, hogy megvizsgálja, hogy a klasszikus matematika mely tételei bizonyíthatók a gyenge elemzési alrendszerekben, amelyek redukálhatók a végső matematikára (az előző bekezdésben tárgyalt értelemben). Jellemző eredmény, hogy a funkcionális elemzés Hahn-Banach tétele (WKL_0) néven ismert elméletben bizonyítható (a „gyenge König lemma” esetében); (WKL_0) konzervatív a (PRA) vonatkozásában (Pi ^ {0} _2) mondatoknál (azaza (forall x / létezik yA (x, y)) űrlap mondatai. (Az áttekintést lásd a Simpson 1988-ban, a műszaki kezelést a Simpson 1999-ben.)

Bibliográfia

A bejegyzés első változatának kibővített változata megtalálható Zach-ban (2006).

  • Ackermann, Wilhelm, 1924, „Begründung des” tercium non datur „mittels der Hilbertschen Theorie der Widerspruchsfreiheit”, Mathematische Annalen, 93: 1–36.
  • Auerbach, David, 1992, “Hogyan mondjam el a dolgokat formalizmussal”, a Proof, Logic and Formalization című részében, Michael Detlefsen, London, Routledge, 77–93.
  • Avigad, Jeremy, 2003, „Számelmélet és elemi aritmetika”, Philosophia Mathematica, 11: 257–284. [On-line nyomtatás elérhető online]
  • Bernays, Paul, 1922, „Über Hilberts Gedanken zur Grundlegung der Arithmetik”, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 31: 10–19. Angol fordítás Mancosuban (1998a, 215–222).
  • ––– 1923, „Erwiderung auf die Herrn Aloys Müller: Über Zahlen als Zeichen”, Mathematische Annalen, 90: 159–63. Angol fordítás Mancosuban (1998a, 223–226).
  • ––– 1928a, „Über Nelsons Stellungnahme in der Philosophie der Mathematik”, Die Naturwissenschaften, 16: 142–45.
  • ––– 1928b, „Zusatz zu Hilberts Vortrag über„ Die Grundlagen der Mathematik””, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 6: 88–92. Angol fordítás: van Heijenoort (1967, 485–489).
  • ––– 1930, „A Philosophie der Mathematik und die Hilbertsche Beweistheorie”, Blätter für deutsche Philosophie, 4: 326–67. Újra nyomtatva Bernays-ben (1976, 17–61). Angol fordítás Mancosuban (1998a, 234–265).
  • –––, 1976, Abhandlungen zur Philosophie der Mathematik, Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft.
  • Dean, Walter, 2015, “Aitmetikai reflexió és a stabilitás bizonyíthatósága”, Philosophia Mathematica, 23: 31–64, doi: 10.1093 / philmat / nku026
  • Detlefsen, Michael, 1979, „Gödel második tételének értelmezéséről”, Journal of Philosophical Logic, 8: 297–313. Újra nyomtatva Shankerben (1988, 131–154).
  • –––, 1986, Hilbert-program, Dordrecht: Reidel.
  • ––– 1990, „A Hilbert-program állítólagos megcáfolásáról Gödel első hiányossági tételének felhasználásával”, Journal of Philosophial Logic, 19: 343–377.
  • ––– 2001, „Mit mond Gödel második tétele?”, Philosophia Mathematica, 9: 37–71.
  • Ewald, William Bragg (szerk.), 1996, Kant-tól Hilbert-ig. Forráskönyv a matematika alapjaiban, kötet 2, Oxford: Oxford University Press.
  • Ewald, William Bragg és Wilfried Sieg (szerk.), 2013, David Hilbert előadásai a számtani és logikai alapokról 1917–1933, Berlin és Heidelberg: Springer.
  • Feferman, Solomon, 1988, „Hilbert-program relativizált: Az elméleti és alapvető redukciók igazolása”, Journal of Symbolic Logic, 53 (2): 364–284.
  • –––, 1993a, „Mi mire támaszkodik? A matematika bizonyításelméleti elemzése”, a matematika filozófiájában. A Tizenötödik Nemzetközi Wittgenstein-szimpózium, 1. rész, Johannes Czermak, szerk., Bécs: Hölder-Pichler-Tempsky, 147–171. Fefermanben (1998, 10. fejezet, 187–208) nyomtatva. [On-line nyomtatás elérhető online].
  • –––, 1993b, „Miért ment egy kicsit messzire: a tudományosan alkalmazható matematika logikai alapjai”, PSA 1992, 2: 442–455. Fefermanben (1998, Ch. 14, 284–298) nyomtatva. [On-line nyomtatás elérhető online].
  • ––– 1998, a logika fényében, Oxford: Oxford University Press.
  • –––, 2000, „Van-e megvalósítható indok a reduktív bizonyításelméletnek?”, Erkenntnis, 53: 63–96. [On-line nyomtatás elérhető online].
  • Franks, Curtis, 2009, A matematikai ismeretek autonómiája: Hilbert-program újraértékelve, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Ganea, Mihai, 2010, “A finitizmus két (vagy három) fogalma”, Review of Symbolic Logic, 3: 119–144.
  • Gentzen, Gerhard, 1936, „Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie”, Mathematische Annalen, 112: 493–565. Angol fordítás Gentzenben (1969, 132–213).
  • ––– 1969, Gerhard Gentzen összegyűjtött cikkei, Amszterdam: Észak-Holland.
  • Giaquinto, Marcus, 1983, „Hilbert matematikai filozófiája”, a British Journal for Science Philosophy, 34: 119–132.
  • Gödel, Kurt, 1931, „Über formális unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und Verwandter Systeme I”, Monatshefte für Mathematik und Physik, 38: 173–198. Újra nyomtatva és lefordítva Gödelben (1986, 144–195).
  • ––– 1958, „Über eine bisher noch nicht benütze Erweiterung des finiten standpunktes”, Dialectica, 280–287. Újra nyomtatva és lefordítva Gödelben (1990, 217–251).
  • –––, 1986, Collected Works, vol. 1, Oxford: Oxford University Press.
  • –––, 1990, Collected Works, vol. 2, Oxford: Oxford University Press.
  • –––, 2003, Collected Works, vol. 4, Oxford: Oxford University Press.
  • Hallett, Michael, 1990, „Fizizmus, redukcionizmus és Hilbert”, a Physicalism in Mathemtics, Andrew D. Irvine, szerk., Dordrecht: Reidel, 183–257.
  • Hilbert, David, 1899, „Grundlagen der Geometrie”, a Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauss-Weber-Denkmals-ban Göttingenben, Lipcse: Teubner, 1–92, 1. kiadás.
  • ––– 1900a, „Mathematische Probleme”, Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Math.-Phys. Klasse, 253–297. Előadás a matematikusok nemzetközi kongresszusán, Párizs, 1900. Részleges angol fordítás Ewaldban (1996, 1096–1105).
  • ––– 1900b, „Über den Zahlbegriff”, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 8: 180–184. Angol fordítás Ewaldban (1996, 1089–1096).
  • ––– 1905, „Über die Grundlagen der Logik und der Arithmetik”, Verhandlungen des dritten Internationalen Mathematiker-Congress Heidelberg, 8. 8. 1904. augusztus 13., Krazer A., szerk., Lipcse: Teubner, 174–85.. Angol fordítás van Heijenoortban (1967, 129–138).
  • –––, 1918a, “Axiomatisches Denken”, Mathematische Annalen, 78: 405–15. Előadás a Svájci Matematikusok Társaságában, 1917. szeptember 11-én. Újból nyomtatva Hilbertben (1935, 146–156). Angol fordítás Ewaldban (1996, 1105–1115).
  • ––– 1918b, „Prinzipien der Mathematik”, Paul Bernays előadása. 1917/18. Téli szemeszter. Gépelt. Bibliothek, Mathematisches Institut, Göttingeni Egyetem. Szerkesztette: Ewald és Sieg (2013, 59–221).
  • ––– 1922a, „Grundlagen der Mathematik”, Vorlesung, 1921/22 téli szemeszter. Előadás jegyzetei Paul Bernays. Gépelt. Bibliothek, Mathematisches Institut, Göttingeni Egyetem. Szerkesztette: Ewald és Sieg (2013, 431–527).
  • ––– 1922b, „Neubegründung der Mathematik: Erste Mitteilung”, Abhandlungen aus dem Seminar der Hamburgischen Universität, 1: 157–177. Beszédsorozat a Hamburgi Egyetemen, 1921. július 25–27., Bernays Hilbertben (1935, 157–177) készült jegyzeteivel nyomtatva. Angol fordítás Mancosuban (1998a, 198–214) és Ewaldban (1996, 1115–1134).
  • ––– 1923, „Die logischen Grundlagen der Mathematik”, Mathematische Annalen, 88: 151–165. Előadás a Deutsche Naturforscher-Gesellschaft-ban, 1922. szeptember. Újból nyomtatva Hilbertben (1935, 178–191). Angol fordítás Ewaldban (1996, 1134–1148).
  • ––– 1926, „Über das Unendliche”, Mathematische Annalen, 95: 161–190. Előadás Münster-ben, 1925. június 4.. Angol fordítás van Heijenoort-ban (1967, 367–392).
  • ––– 1928, „Die Grundlagen der Mathematik”, Abhandlungen aus dem Seminar der Hamburgischen Universität, 6: 65–85. Újra nyomtatva: Ewald és Sieg (2013, 917–942). Angol fordítás van Heijenoortban (1967, 464–479).
  • ––– 1929, „Probleme der Grundlegung der Mathematik”, Mathematische Annalen, 102: 1–9. Előadás a matematikusok nemzetközi kongresszusán, 1928. szeptember 3. Újranyomtatva Ewaldban és Siegben (2013, 954–966). Angol fordítás Mancosuban (1998a, 227–233).
  • ––– 1931a, „Beweis des Tertium non datur”, Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Math.-Phys. Klasse, 120-125. Újra nyomtatva: Ewald és Sieg (2013, 967–982).
  • ––– 1931b, „Die Grundlegung der elementaren Zahlenlehre”, Mathematische Annalen, 104: 485–494. Újranyomva Hilbertben (1935, 192–195) és Ewald és Siegben (2013, 983–990). Angol fordítás Ewaldban (1996, 1148–1157).
  • ––– 1935, Gesammelte Abhandlungen, vol. 3, Berlin: Springer.
  • ––– 1992, Natur und matematika Erkennen, Bázel: Birkhäuser. Vorlesungen, 1919–20.
  • Hilbert, David és Ackermann, Wilhelm, 1928, Grundzüge der theoretischen Logik, Berlin: Springer.
  • Hilbert, David és Bernays, Paul, 1923, „Logische Grundlagen der Mathematik”, Vorlesung, téli szemeszter 1922–23. Előadás jegyzetei Paul Bernays, kézzel írott jegyzetekkel Hilbert. Hilbert-Nachlaß, Niedersächsische Staats- és Universitätsbibliothek, Cod. Hilbert 567.
  • –––, 1934, Grundlagen der Mathematik, vol. 1, Berlin: Springer.
  • –––, 1939, Grundlagen der Mathematik, vol. 2, Berlin: Springer.
  • Hofweber, Thomas, 2000, „Bizonyításelméleti redukció mint filozófus eszköz”, Erkenntnis, 53: 127–146.
  • Ignjatovic, Aleksandar, 1994, “Hilbert programja és az omega-szabály”, Journal of Symbolic Logic, 59: 322–343.
  • Kitcher, Philip, 1976, „Hilbert episztemológiája”, Tudományfilozófia, 43: 99–115.
  • Kreisel, Georg, 1960, „Ordinal logika és az informális bizonyítási fogalmak jellemzése”, a matematikusok nemzetközi kongresszusa folytatásában. Edinburgh, 1958. augusztus 14–21., JA Todd, szerk., Cambridge: Cambridge University Press, 289–299.
  • ––– 1968, „A bizonyításelmélet áttekintése”, Journal of Symbolic Logic, 33: 321–388.
  • ––– 1970, „A bizonyítás alapelvei és az adott fogalmakba beletartozó ordinálok”, az intuicionizmus és a bizonyításelmélet részében, A. Kino, J. Myhill és RE Veseley, szerk., Amszterdam: Észak-Holland.
  • ––– 1983, „Hilbert-program”, a matematika filozófiájában, Paul Benacerraf és Hilary Putnam, szerk., Cambridge: Cambridge University Press, 207–238, 2. kiadás.
  • Mancosu, Paolo (szerk.), 1998a, Brouwer-től Hilbert-ig. Vita a matematika alapjairól az 1920-as években, Oxford: Oxford University Press.
  • Mancosu, Paolo, 1998b, „Hilbert és Bernays on Metamathematics”, (Mancosu, 1998a), 149–188. Újra nyomtatva Mancosu-ban (2010).
  • –––, 1999, „Russell és Hilbert között: Behmann a matematika alapjain”, Bulletin of Symbolic Logic, 5 (3): 303–330. Újra nyomtatva Mancosu-ban (2010).
  • ––– 2010, Az érzés kalandja: A matematikai filozófia és a matematikai logika közötti kölcsönhatás, 1900–1940, Oxford: Oxford University Press.
  • Mancosu, Paolo és Ryckman, Thomas, 2002, „Matematika és fenomenológia: O. Becker és H. Weyl közötti levelezés”, Philosophia Mathematica, 10: 130–202. Újranyomás Mancosu-ban (2010).
  • McCarthy, T., 2016, “Gödel harmadik hiányossági tétele”, Dialectica 70: 87–112.
  • Parsons, Charles, 1998, „Finitizmus és intuitív tudás”, a ma matematika filozófiájában, Matthias Schirn, szerk., Oxford: Oxford University Press, 249–270.
  • –––, 2007, Matematikai gondolat és annak tárgyai, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Patton, Lydia, 2014, „Hilbert objektivitása”, Historia Mathematica, 41 (2): 188–203.
  • Peckhaus, Volker, 1990, Hilbertprogramm és Kritische Philosophie, Göttingen: Vandenhoeck und Ruprecht.
  • Poincaré, Henri, 1906, „Les mathématiques et la logique”, Revue de métaphysique et de morale, 14: 294–317. Angol fordítás Ewaldban (1996, 1038–1052).
  • Resnik, Michael D., 1974, „A konzisztencia bizonyítékok filozófiai jelentőségéről”, Journal of Philosophical Logic, 3: 133–47.
  • ––– 1980, Frege és a matematika filozófiája, Ithaca: Cornell University Press.
  • Shanker, Stuart G., 1988, Gödel-tétel, Focus, London: Routledge.
  • Sieg, Wilfried, 1990, “Reflections on Hilbert's program”, in Acting and Reflection, Wilfried Sieg, szerk., Dordrecht: Kluwer, 171–82. Újra nyomtatva Sieg-ben (2013).
  • –––, 1999, „Hilbert programjai: 1917–1922”, Szimbolikus logika közlemény, 5 (1): 1–44. Újra nyomtatva Sieg-ben (2013).
  • ––– 2013, Hilbert programjai és azon túl, New York: Oxford University Press.
  • Simpson, Stephen G., 1988, „Hilbert-program részleges megvalósítása”, Journal of Symbolic Logic, 53 (2): 349–363.
  • –––, 1999, Másodrendű számtani alrendszerek, Berlin: Springer.
  • Smorynski, Craig, 1977, „A hiányos tételek”, a Mathematical Logic Handbook-ban, Jon Barwise, szerk., Amszterdam: Észak-Holland, 821–865.
  • Steiner, Mark, 1975, Matematikai tudás, Ithaca: Cornell University Press.
  • ––– 1991, “Hilbert-program áttekintése: esszé a matematikai instrumentalizmusról (Detlefsen, 1986)”, Journal of Philosophy, 88 (6): 331–336.
  • Tait, WW, 1981, „Finitism”, Journal of Philosophy, 78: 524–546. Újra nyomtatva Tait-ban (2005a, 21–42).
  • –––, 2002, „Megjegyzések a finitizmushoz”, a reflexiókban a matematika alapjairól. Esszék Solomon Feferman, Wilfried Sieg, Richard Sommer és Carolyn Talcott, szerk., Szimbolikus Logika Egyesület, LNL 15. Újranyomás Taitban (2005a, 43–53). [On-line nyomtatás elérhető online]
  • –––, 2005a, A tiszta ok előfordulása: esszé a matematika filozófiájában és annak története, New York: Oxford University Press.
  • –––, 2005b, „Függelék az 1. és 2. fejezethez”, Tait (2005a, 54–60)
  • Takeuti, Gaisi, 1987, Bizonyításelmélet (Tanulmányok logikában: 81), Amszterdam: Észak-Holland, 2. kiadás
  • van Heijenoort, Jean (szerk.), 1967, Frege-tól Gödel-ig. Forráskönyv a matematikai logikából, 1897–1931, Cambridge, Mass.: Harvard University Press.
  • von Neumann, Johann, 1927, „Zur Hilbertschen Beweistheorie”, Mathematische Zeitschrift, 26: 1–46.
  • Weyl, Hermann, 1921, „Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik”, Mathematische Zeitschrift, 10: 37–79. Újra nyomtatva Weyl-ben (1968, 143–180). Angol fordítás Mancosuban (1998a, 86–118).
  • ––– 1925, „Die heutige Erkenntnislage in der Mathematik”, Symposion, 1: 1–23. Újra nyomtatva: Weyl (1968, 511–42). Angol fordítás: Mancosu (1998a, 123–42).
  • ––– 1928, „Diskussionsbemerkungen zu dem zweiten Hilbertschen Vortrag über die Grundlagen der Mathematik”, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 6: 86–88. Angol fordítás van Heijenoortban (1967, 480–484).
  • ––– 1968, Gesammelte Abhandlungen, vol. 1, Berlin: Springer Verlag.
  • Zach, Richard, 1999, “Teljes teljesség posta előtt: Bernays, Hilbert és a javaslati logika fejlesztése”, Szimbolikus logika közlemény, 5 (3): 331–366. [On-line nyomtatás elérhető online]
  • ––– 2003, „A finitizmus gyakorlata. Epsilon-kalkulus és konzisztencia-igazolások Hilbert-programban”, Synthese, 137: 211–259. [On-line nyomtatás elérhető online]
  • ––– 2004, „Hilbert Verunglückter Beweis,„ az első epsilon tétel és konzisztencia igazolások”, Logic History and Philosophy, 25: 79–94. [On-line nyomtatás elérhető online]
  • ––– 2006, „Hilbert programja akkor és most”, Dale Jacquette, szerk., Logikai filozófia. Kézikönyv a tudomány filozófiájáról, vol. 5. Amszterdam: Elsevier, 411–447. [On-line nyomtatás elérhető online]

Tudományos eszközök

sep ember ikonra
sep ember ikonra
Hogyan idézhetem ezt a bejegyzést.
sep ember ikonra
sep ember ikonra
A bejegyzés PDF-verziójának előnézete a SEP Barátok társaságában.
inpho ikonra
inpho ikonra
Nézze meg ezt a belépési témát az Internet Filozófia Ontológiai Projektben (InPhO).
phil papírok ikonra
phil papírok ikonra
Továbbfejlesztett bibliográfia erre a bejegyzésre a PhilPapersnél, az adatbázisához kapcsolódó hivatkozásokkal.

Egyéb internetes források

[Javaslatokkal lépjen kapcsolatba a szerzővel.]

Ajánlott: