Geometria Episztemológiája

Tartalomjegyzék:

Geometria Episztemológiája
Geometria Episztemológiája
Anonim

Belépés navigáció

  • Nevezés tartalma
  • Bibliográfia
  • Tudományos eszközök
  • Barátok PDF előnézete
  • Szerző és idéző információ
  • Vissza a tetejére

Geometria episztemológiája

Elsőként publikálták 2013. október 14-én; érdemi felülvizsgálat 2017. július 31

A geometriai ismeretek tipikusan kétféle dolgot érintnek: az elméleti vagy absztrakt ismeretek, amelyeket a definíciók, tételek és a geometria rendszerének bizonyítékai tartalmaznak; és a külvilág bizonyos ismerete, például a geometria rendszeréből vett kifejezésekkel kifejezve. Az absztrakt geometria és gyakorlati kifejezése közötti kapcsolat jellegét szintén figyelembe kell venni.

Ez az esszé tartja a különböző elméletek a geometria, az okok érthetőség, az érvényesség és a fizikai értelmezhetőség időszakban nagyrészt eljövetele előtt az elméletek a speciális és általános relativitáselmélet a 20 th században. Kiderült, hogy a legrövidebb és a legszorosabb közötti bonyolult kölcsönhatás sok szakaszban működik.

Mielőtt a 19 th század egyetlen geometria tanulmányozták mélység vagy úgy gondolják, hogy pontos és helyes leírása a fizikai tér, és ez volt az euklideszi geometria. A 19 th század maga látta, hogy egy dús új geometriák, amelyek közül a legfontosabbak a projektív geometria és a nem-euklideszi geometria vagy hiperbolikus. A projekciós geometria úgy tekinthető, mint az euklideszi geometria nem metrikus és formális oldalainak elmélyítése; a nem-euklideszi geometria, mint metrikus aspektusainak és következményeinek kihívása. A 20. század nyitó éveireszázadban különféle riemanniai differenciál geometriákat javasoltak, amelyek szigorúan értelmezték a nem-euklideszi geometriát. Jelentős haladás történt az elvont geometriák területén is, mint például David Hilbert. Ebből következik, hogy a „geometria” és a „fizikai tér” nem egyszerű jelentését a 19 th század és a változó felfogása ezek a fogalmak nem egyszerű mintát követik a finomítás. A kapcsolatok tehát bonyolult múlttal is rendelkeznek.

  • 1. Epistemológiai kérdések Euclid geometriájában
  • 2. Az alkalmazott geometria episztemológiai kérdései

    2.1 A mechanika következményei

  • 3. Projektív geometria

    • 3.1 koordináta-transzformációk; Kleinin geometria
    • 3.2 Hilbert és mások az axiomatikus projektív geometrián
  • 4. Nem euklideszi geometria
  • 5. Riemannian geometria

    • 5.1 Geodézia és kapcsolatok
    • 5.2 Riemann és Beltrami, valamint szigorú, nem euklideszi geometria
  • 6. A nem-euklideszi geometria érthetősége

    • 6.1 Herbart filozófiája
    • 6.2 Helmholtz és Poincaré
    • 6.3 Poincaré versus Russell
  • 7. Záró megjegyzés
  • Bibliográfia
  • Tudományos eszközök
  • Egyéb internetes források
  • Kapcsolódó bejegyzések

1. Epistemológiai kérdések Euclid geometriájában

A geometria részletes vizsgálata, amint azt Euclid ismertette, számos problémát derít fel. Érdemes megfontolni ezeket néhány részlet, mert az ismeretelméleti meggyőző állapotát Eukleidész Elemek ben nem vitatott szinte mindenki, amíg a későbbi évtizedekben a 19 th században. A legfontosabb ezek közül a problémák között az egyenes és a sík meghatározásának nem egyértelműsége, valamint a rövid és a legszorosabb, mint alapvető geometriai tulajdonság összetévesztése. (Lásd Heath kiadásában az Euclid's Elements összegyűjtött számos megjegyzését.) A párhuzamos posztulátum következményeit külön kezeljük, lásd a Nem euklideszi geometria szakaszát.

Az Euklidész elemeinek első négy könyve egyenes és körökről szól, de köztudott, hogy az egyenes fogalma csak a legkevésbé kielégítő meghatározást kap. Azt mondják, hogy egy vonal "szélesség nélküli hosszúság", és egy egyenes egy olyan vonal, amely "egyenletesen fekszik a pontokkal". Ez segíthet abban, hogy meggyőzze az olvasókat, hogy közös elképzelésük van az egyenes vonalról, ám nincs értelme, ha váratlan nehézségek merülnek fel egy elmélet létrehozása során - amint látni fogjuk.

Azok számára, akik úgy döntöttek, hogy figyelmesen elolvasják az Elemeket, és megfigyelik a kritikus kifejezések használatát, nyilvánvalóvá vált, hogy a beszámoló bizonyos szempontból rendkívül szigorú, másokban hibás. Az egyenesek szinte mindig véges szegmensekként merülnek fel, amelyeket határozatlan ideig lehet meghosszabbítani, de amint sok kommentátor megjegyezte, bár Euclid kijelentette, hogy van egy szegmens, amely két ponthoz csatlakozik, nem kifejezetten mondta, hogy ez a szegmens egyedülálló. Ez hibás az első kongruencia-tétel bizonyításában (I.4), amely szerint két háromszög két pár oldalával egyenlő és a beépített szög egyenlő, akkor a háromszögek többi oldala egyenlő.

Az I.4 tétel másképpen érdekes. Az I.2. Tétel szigorú és egyáltalán nem nyilvánvaló bizonyítékot hordoz arról, hogy egy síkban az adott vonalszakasz pontosan lemásolható annak egyik végpontjával a sík bármely előírt pontján. Az I.4. Tétel helyesen megköveteli annak igazolását, hogy egy szöget is tetszőleges ponton pontosan lemásolhatunk, de ezt az Euclid ebben a szakaszban nem tudja megadni (egyet az I.23-ban adunk meg, amely azonban ezekre a korábbi eredményekre épül). Ezért kopasz állítást tett, miszerint egy háromszöget pontosan tetszőleges helyzetben lehet lemásolni, ami felmerül azon, hogy miért fordítottak ilyen figyelmet az I.2-re. Valójában a figurák mozgásának teljes koncepciója az arab / iszlám időkben meghosszabbított vita tárgyává vált. (Euclidben levonva lásd Mueller 1981).

Az I. könyv könyvének valószínű olvasata az, hogy egy egyenes értéket úgy kell megérteni, hogy rendelkezik egy iránydal, tehát minden pontban egyenes van minden ponton, és csak egy egyenes van egy adott ponton egy adott irányban. A párhuzamos posztulátum azt mondja, hogy az a vonal, amely egy adott vonalat azonos szöget keresztez, ugyanabba az irányba mutat, és nem teljesül. Ezt azonban értelmezésnek kell tekinteni, és annak pontosítása meglehetősen sok munkát igényel.

Az irányítás mindazonáltal megbízhatóbb jelölt, mint a távolság; Euclid nem azzal a gondolattal indult, hogy a két különálló pontot összekötő egyenes a legrövidebb görbe, amely azokat összekapcsolja. Az elemekben releváns primitív koncepció a szegmensek egyenlősége, mint például egy adott kör összes sugara. Euclid a 4. általános elképzelés szerint kijelentette, hogy ha két szegmens egybeeshet, akkor egyenlõek, és (a zavaró I.4-ben) fordítottot alkalmazta, hogy ha két szegmens egyenlõ, akkor azok egybeeshetnek. A szegmensek olyanok, hogy az egyik kisebb, mint a másik, vagy egyenlők, és az I.20-ban Euklidész kimutatta, hogy „bármely háromszögben a két oldal bármilyen módon összevetve nagyobb, mint a fennmaradó”. Ezt az eredményt háromszög egyenlőtlenségnek hívják,és hosszú utat kell bebizonyítani, hogy a két különálló pontot összekötő vonalszakasz a legrövidebb görbe az ezeken a pontokon. A párhuzamos posztulátum bevezetése után Euklidész megmutatta, hogy a párhuzamos diagram egymással szemben lévő oldalai azonosak, és így a párhuzamos vonalak közötti távolság állandó.

De van egy másik gyengeség az Elemekben, amelyet szintén érdemes megjegyezni, bár kevésbé hívta fel a figyelmet, és ez a sík természete. A síknak van egy másik, nem szabványos meghatározása, amely nyilvánvalóan a vonalhoz hasonlóan van modellezve: „A sík felülete olyan felület, amely egyenletesen fekszik az egyenes vonallal” (és ami nem meglepő módon: „a felület csak olyan, amelynek hossza és szélessége csak „). Ezt követően a „sík” szót nem említik az első négy könyvben, bár ezek kizárólag a sík geometriájára vonatkoznak. Amikor Euklidész a IX. Könyvben a szilárd geometria felé fordult, három tételgel kezdte megmutatni, hogy az egyenes nem fekszik részben síkban, részben nem, hogy ha két egyenes vonalba vágja egymást, akkor egy síkban fekszenek, és minden háromszög fekszik egy síkot, és ha két sík találkozik, akkor egy sorban megteszik. Azonban,csak azt mondhatjuk, hogy állítja ezeket az eredményeket, és valószínűsíthetővé teszi őket, mert nem tudja használni a sík meghatározását, hogy bizonyítsa valamelyik eredményt. Ezek a következő tételek alapját képezik: a sík bármely pontján merőleges van egy síkra, és egy adott ponton egy adott vonalra merőleges minden vonal egy síkot képez.

Az I.4. Szintén problematikus. Tegyük figyelembe, hogy az ad absurdum redukciója érdekében két háromszöggel kell rendelkezni, (ABC) és (A'BC) a közös bázisuk (BC) azonos oldalán, és olyan, amelyben (BA = BA ') és (CA = CA'). Célja, hogy megmutassa, hogy az (A) és (A ') csúcsok tehát egybeesnek, és ehhez - amint azt Gauss megfigyelte (nem publikált megjegyzésekben, lásd Gauss Werke 8, 193) - arra kell használni, hogy a a háromszögek ugyanabban a síkban fekszenek. A sík megfelelő meghatározására van szükség, amely lehetővé teszi ennek az eredménynek a bizonyítását.

Tegyük fel, hogy a tisztán szintetikus geometria az olyan primitív fogalmakkal foglalkozik, mint például az egyenes vonalak és a síkok, a fenti módon. Vagyis alapvető fontosságúnak tartja az egyenes vonal egyenességét és a sík síkját, és vonzza a fent leírt esési tulajdonságokat. Ellenáll annak a gondolatnak, hogy a távolságot mint alapvető fogalmat kell figyelembe venni, vagy annak a gondolatának, hogy a geometriaban szereplő állításokat helyettesítsük a számokra vonatkozó állításokkal (mondjuk koordinátákként), bár nem ellenséges a rajta felépített koordináta geometria szempontjából.

Jelenleg azt is mondjuk, hogy a jelen esetben a metrikus geometria olyan távolság, amely primitív fogalom, tehát a vonalszakaszok azonos hosszúságúak lehetnek, az egymással párhuzamos alakok azonos hosszúságú oldalakkal rendelkeznek, és a geometriai transzformációk megőrzik a hosszakat. Azt is megengedhetjük, hogy a hasonlóságok megengedettek legyenek: ezek olyan transzformációk, amelyek az ábrák méretarányos másolatát eredményezik. (Euklidész elemeiben egyetlen tétel sem függ az ábra tényleges méretétől: minden tétel, amely egy ábrára vonatkozik, az összes méretarányú másolatára vonatkozik.)

Az elemi geometria a modern Nyugaton zavartan mozogott abban, hogy a távolságot az elsődleges primitív fogalommá tegye, miközben gyakran fenntartja az euklideszi hangsúlyt a egyenességre, ezáltal gyakran eloszlatva a különböző fogalmak következményeit. Ennek figyelemre méltó példája ennek ellenére eredményes volt John Wallis érvelése a párhuzamos posztulátum védelmére (1665-ben tartott előadásként és Wallis 1693-ban tették közzé). Mint rájött, az a képessége, hogy tetszőleges méretű másolatot készítsen egy háromszögről, és úgy tűnik, hogy ez az első alkalom, hogy e két rendszer között felismerik az egyenértékűséget:

  1. Euklidész elemei
  2. Euclid elemei eltávolítva a párhuzamos posztulátumot, és feltételezés, hogy tetszőlegesen hasonló számok léteznek.

Az Encylopédie Méthodique-ben (1784: 2. kötet, 132) d'Alembert a geometria fogalmát olyan tudományként definiálta, amely arra tanít bennünket, hogy megismerjük a testek mértékét, helyzetét és szilárdságát. Alapelveit - folytatta - olyan igazságokra alapozta, amelyek olyan nyilvánvalóak, hogy nem támadható meg. A vonal (egy görbe értelmében) egydimenziós, és a két pontot összekötő legrövidebb egyenes az egyenes. A párhuzamos vonalak olyan vonalak, amelyek - bármennyire is kiterjedtek is - soha nem fognak megfelelni, mert mindenhol egyforma távolságra vannak.

Joseph Fourier a Monge-vel folytatott megbeszélés során szintén alapvetõnek vette a távolság fogalmát, ám háromdimenziós térrel kezdte. Ezután egymás után meghatározta a gömböt, a síkot (mint a két adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontokat) és a vonalat (mint a három adott ponttól egyenlő távolságban lévő pontokat). Ez legalább megadta neki a korábban zavaró fogalmak meghatározásait (lásd Bonola 1912, 54).

Adrien-Marie Legendre matematikus volt, aki együttérző volt az Elemek didaktikai céljaihoz, de nem az eredeti megfogalmazásaihoz. Élements de géométrie (1794) több különféle változatát írta annak érdekében, hogy helyreállítsa az euklideszi szigorot a geometria tanításában, amelyet véleménye szerint megsértett olyan szövegek, mint például Clairaut (1741), amely a magátólértetődőségéről. Nagyon különböznek egymástól, amint azt be kellett ismernie, a párhuzamos posztulátum következtetésének sikertelen kísérleteiben.

A Legendre ezekben a kiadásokban határozottan metrikus álláspontot vett fel. Az első kiadás nyitó meghatározása kijelentette, hogy „a geometria olyan tudomány, amelynek tárgya a mérték mértéke”. A kiterjedésnek - magyarázta - három dimenziója, hossza szélessége és magassága; egy vonal hosszúság szélesség nélkül, végtagjait pontoknak nevezzük, és ezért egy pontnak nincs mérete. Az egyenes a legrövidebb út az egyik pontról a másikra; a felületek hossza és szélessége, de nincs magasság vagy mélység; és egy sík egy olyan felület, amelyben, ha két tetszőleges pontot egyenes vonal köti össze, ez a vonal teljes egészében a felületben fekszik.

Ezután a Legendre az elemek tételeinek bizonyítására állította be néhány eredményt, amelyeket Euklidész inkább feltételezett, mint például (Legendre első eredménye): bármelyik két derékszög egyenlő. 3. tétele bizonyította, hogy a két különálló pontot összekötő vonal egyedülálló (létezését hallgatólagosan feltételezték, hogy az egyenes meghatározásának következménye). Az ismert kiadványok kongruencia-tételét minden kiadás követi, amíg a párhuzamos posztulátumot már nem lehetett figyelmen kívül hagyni. Miután biztosították a párhuzamos vonalak létezését, a Legendre megmutatta, hogy ezek egyenlő távolságra vannak.

Valójában Legendre azon kísérlete, hogy helyreállítsa az elemi geometria kezelésének szigorát, nem volt jobb, mint Euclidé, és bizonyos értelemben rosszabb is, nemcsak azért, mert a párhuzamos posztuláció bizonyítására tett kísérletei elkerülhetetlenül kudarcot valltak, hanem azért is, mert többet csempészett a fiókjába, mint amennyire rájött.. De a jelenlegi szempontból legfontosabb jelentése az, hogy az elemi geometriát a távolság fogalmára, vagy inkább pontosabban arra az elgondolásra próbálja kísérletezni, hogy az egyenes vonal bármely pontja között a legrövidebb távolság görbéje. Maga a távolság nincs meghatározva.

Összefoglalva: akkoriban ésszerű nézet volt az, hogy a ház rendjéhez metrikus geometria szükséges, és ezt valószínűleg nem tudta megtenni azáltal, hogy a távolság fogalmát az Euklidész-elemekre modellezett szerkezetre oltotta. Ez a kínai helyzet a hagyományos geometria számára, és valószínűleg megnyitotta az emberek figyelmét az alternatívák lehetőségeire. Természetesen kettőt kellett előállítani. Az egyik, a projekciós geometria tovább erősítette és továbbfejlesztette a geometria szintetikus oldalát. A másik, nem euklideszi geometria új és kihívásokkal teli metrikus geometria volt. De mielőtt rájuk nézzük, a geometria kortárs filozófiai megbeszéléseire fordulunk.

2. Az alkalmazott geometria episztemológiai kérdései

Hasznos túl egyszerűsítés, ha azt mondjuk, hogy 1800 körül az a vélemény volt, hogy egy fizikai tér van (a világegyetem), és hogy ezt a teret az Euklidész Elemek geometriája jellemezte, amely az egyetlen jelölt ilyen feladatra. A viták e geometria szigorú bemutatására és annak pontos alkalmazására vonatkoztak. A geometria által biztosított tudás jellege szintén néhány vita tárgyát képezte.

Locke (lásd a Locke-beli bejegyzést) az arisztotelészi hagyományból arra a gondolatra helyezkedett, hogy az euklideszi geometria és a racionális teológia a tudományos ismeretek példája, ám filozófiáját intuitív, demonstrációs és érzékeny ismeretekben kívánta megalapozni. Az intuitív tudás az, amit azonnal felfognak; a demonstrációs tudás felhasználja a bizonyítás közbenső lépéseit, mint a geometria esetében. A tudás mindkét formája biztos. Az érzékeny tudás nem biztos: ez az, amit érzékeinken keresztül tanulunk, hatásokat mutat, de nem okokat, a legjobb esetben csak részleges és megtévesztő. De mivel Locke bizonyos tudást a esszenciák ismeretére alapozott, amelyet érezte, hogy örökre elrejtünk tőlünk, kénytelen volt megvédeni ezt a tudás gyengébb formáját, amely megfelel az emberi tudásnak. A tér úgy tekinthető, hogy az a tárgyak összes (tényleges és lehetséges) helyzetéből áll; a tiszta tér az a tér, amelyben minden szilárd test eltávolítva, és távolítsa el a primitív koncepciót, amelyet a testek közötti elválasztás megvitatására használunk.

Locke az emberi megértésről szóló esszéjében (1690) ezt állította

Amikor a demonstráció legnagyobb biztonságával bírjuk magunkat, hogy egy háromszög három szöge megegyezik a két jobboldali szöggel, mit gondolunk inkább, akkor észrevesszük, hogy a két jobbhoz eső egyenlőség szükségszerűen egyetért és nem elválasztható a háromszög három szöge? (IV.i.2. Esszé)

majd később

… A derékszögű háromszög gondolata szükségszerűen magában hordozza a szögek két jobbra eső egyenlőségét. Azt sem tudjuk elképzelni, hogy ez a kapcsolat, e két ötlet összeköttetése lehet-e változtatható, vagy bármilyen önkényes hatalomtól függ-e, melyik a választás alapján tette ezt, vagy más módon tette lehetővé. (IV.iii.29. Esszé, 559–560. O.)

A megfelelő tárgyak érzékeny ismerete azonban soha nem rendelkezhet ilyen fokú bizonyossággal, és mivel tudásunk a tárgyakkal kapcsolatos ismereteinkből származik, úgy tűnik, hogy a világ tudományos ismerete eltér a geometria ismereteinketől. Így Locke számára az euklideszi geometria az egyik fajta tudást, a tapasztalat és a tudományos kísérlet pedig egyfajta. Valójában azt lehet mondani, hogy az episztemológiai rés a filozófia napjainkban fennmarad, mégpedig az empirikus és az a priori tudás megkülönböztetése formájában, amelyet továbbra is széles körben elismernek.

A Hume-tal összetett helyzet bonyolultabb, de vitathatóan tisztább is, mivel a rést közvetlenül kezelik. Az emberi természetről szóló értekezésében (1739–1740) megvédte a számtani és az algebra bizonyosságát, de visszatartotta azt a geometria alól, mivel az pontok és vonalak ismerete természeténél fogva pontatlan. Az euklideszi geometria igazságai nem a világ igazságai, hanem egy elvont rendszer igazságai, és igazak maradnának, ha a világon nem lennének olyan számok, amelyek megfelelnének euklideszi ekvivalenseiknek. Meg kell érteni az egyenlő szélességű háromszög tételét, amely két azonos szögű háromszög két oldalának egyenlőségét állítja elő, javasolta Hume, mivel az állítás, hogy adott körülmények között a háromszög két oldala megközelítőleg egyenlő, és így értelmezhető. az állítás bizonyos (lásd Badici 2011 és de Pierris 2012).

Kant metafizikájában (lásd a tiszta ok kritikáját (1781/1787) és a Kant bejegyzésének a térre és időre vonatkozó véleményét) a helyzet megint bonyolultabb vagy kifinomultabb. Kant bevezette az a priori tudás fogalmát, szemben az utólagos és a szintetikus tudást, az analitikus ismeretekkel ellentétben, lehetővé téve olyan tudás létezését, amely nem támaszkodott a tapasztalatra (és tehát priori volt), de jellegénél fogva nem volt tautológiai jellegű (és tehát szintetikus és nem analitikus). Az analitikus állítások priori, az priori nem analitikus állítások vitatott osztálya azokat tartalmazza, amelyek máskülönben nem lennének képesek, és így bizonyos ismereteket szolgáltatnak. Közöttük az euklideszi geometria állításai; Kant szintetikus státuszt tulajdonított a tér ismeretének. Biztonságot tulajdonított az euklideszi geometria szempontjából is. De írta Kant,Nem a filozófus tudja, hogy egy háromszög szögösszege két derékszög - a matematikus, mert a matematikus egy olyan konstrukciót készít, amely bizonyítja az állítás igazságát (lásd Critique, A 716, B 744).

A francia filozófiák közül az 1770-es években a domináns helyzet a kartéziánus volt, amely, amint azt Clairaut Élémens de géométrie (1741) példájával szemlélteti, valószínűleg indokolatlanul naiv volt, amikor ragaszkodott a világos és azonnali ötletekhez. D'Alembert álláspontja az Encylopédie Méthodique-ben (1784) írt cikkeiben kifinomultabb volt. A geometria tárgyait úgy kell megérteni, hogy minden test kivételével a testek kivételével kivételével áthatolhatóak, oszthatók és ábrázolva vannak. Ezek között az objektumok között vannak a szélesség nélküli vonalak és a mélység hiányzó felületek. A geometria objektumaival kapcsolatban megállapított igazságok tisztán elvont és hipotetikusak, mert nincs ilyen, például egy tökéletes kör. A bemutatott tulajdonságok csak akkor tarthatják fenn a tényleges köröket, ha a tényleges tárgy megközelíti a tökéletes kör állapotát,

Bizonyos értelemben korlátok, és ha így lehet megfogalmazni, akkor a fizikai igazságok aszimptotusa, azoknak a tárgyaknak a kifejezése, amelyek olyan közel állnak hozzá, mint amennyit csak akar, anélkül, hogy valaha pontosan megérkeznének. (lásd Encylopédie Méthodique II, 132.)

Ha azonban a matematikai tételek nem állnak pontosan a természetben, akkor ezek a tételek legalább a gyakorlatban kellő pontossággal szolgálnak. A teljes szigorúság igazolásakor azokat a testeket absztrakt tökéletességű állapotban tartásuknak kell tekinteni, amelyben nincsenek valójában.

A geometria szempontjából vizsgált görbék nem tökéletesen egyenesek, sem tökéletesen ívesek, a felületek nem tökéletesen síkok és sem tökéletesen ívelt, de minél közelebb vannak ilyenek, annál inkább megközelítik azt a tulajdonságot, hogy azoknak a tulajdonságainak a tulajdonságai bizonyulnak, amelyek pontosan egyenesek vagy ívelt vonalakhoz vezetnek pontosan sík vagy ívelt felületek.

Ezek a reflexiók - folytatta d'Alembert - elegendőek lennének a szkeptikusok megcáfolásához, akik azt állítják, hogy a geometriai objektumok valójában nem léteznek, és a matematikát ismeretlen mások számára, akik haszontalan és értelmetlen játéknak tekintik azokat.

Úgy tűnik tehát, hogy a filozófusok nem találtak problémát Euclid elemeiben, ám Hume, d'Alembert és mások empirista meggyőződése vitatta a tételek alkalmazhatóságát azon az alapon, hogy a geometria objektumainak nem lehetnek megfelelő tárgyaik a világon. A filozófusok, akik sokkal nyitottabbák a bizonyos ismeretek széles skálájának gondolatát illetően (mint például Kant), megadhatnák a geometriai tételeknek olyan priori igazságok státusát, amelyek nem lehetnek mások.

2.1 A mechanika következményei

A fizikai tér volt az Euclid elemei és a derékszögű koordinált háromdimenziós geometria naiv, háromdimenziós változata, és ezt Newton éppen így tekintette Principia Mathematica-ban (1687). Úgy tervezték, hogy egy semleges arénának nincs saját tulajdonsága, amelyet áthatottak különféle erők, amelyeket a fizikai testek hoztak létre, és amelyek befolyásolták őket. Ezek közül a legfontosabb a gravitációs erő, amelyet a derékszögű hagyomány matematikusai egy rejtélyes, még elfogadhatatlan fogalomnak is tartottak, amikor bevezették, de amely a 19.században Laplace megmutatta, hogy képes jól kezelni a Naprendszer ismert mozgásait. Következésképpen a gravitáció természetes, primitív fogalommá vált, amelyre már nincs szükség további magyarázatra, és 1800 után az embereknek, akik a mágnesesség és az elektromosság új elméletein dolgoztak, ésszerű volt ezeket erõnek tekinteni és adott esetben modellezni., newtoni gravitáción.

A fizikai teret, ahogyan Newton írja a Principia-ban, úgy kell megvizsgálni, hogy a mozgásban lévő testek megfigyelései egymáshoz viszonyítva, és egy önkényes óra alapján időzítik a megfelelő valódi mozgást abszolút térben és időben. Ahogyan Newton az első Scholium végén állította, az értekezésének célja az volt, hogy megmutassa

hogyan lehet a valódi mozgásokat az okokból, következményekből és a látszólagos különbségekből meghatározni, és fordítva, hogyan lehet az okokat és következményeket meghatározni a valódi vagy nyilvánvaló mozgások alapján.

Az világos volt, nem kétséges, Newton előtt tartva a euklideszi jellegének fizikai tér, sőt úgy tűnik, hogy már nincsenek kétségei a csillagászok a 17 th század tér volt leírható a használt kifejezések Eukleidész Elemek. Az is valószínű, hogy a Newton-féle fizika érdemeinek növekvő elismerése megerősítette azt a hitet, hogy a tér háromdimenziós, homogén, izotróp, és hogy úgy írják le, mintha egy végtelen koordináta-rács lenne, így példázzák a tételeket - ha nem pontosan a az elemek meghatározása.

A fizikai tér geometriai szempontjai között, amelyeket Newton megállapított, az első törvényének kimondása:

Minden test fenntartja nyugalmi állapotát vagy egyenletesen egyenesen előrehaladását, kivéve, ha az állapotát a lenyűgözött erők kénytelenek megváltoztatni.

Az is eredménye, hogy egy homogén gömb alakú szilárd anyag ugyanolyan gravitációs hatást gyakorol más testre, mint a test közepére koncentrált egyenlő tömeg. Vagyis az ilyen testek úgy viselkednek, hogy valószínűleg, és nem csupán megközelítőleg ugyanolyanok, mint a pontsúlyok. Ilyen módon a pontok és vonalak fizikai jelentőséggel bírnak a dinamikaelméletében.

Laplace volt a legerõsebb érv, amely azt állította, hogy a fizikai tér engedelmeskedik az euklideszi geometriának. Az 1796-os Exhibition du système du monde-ban (lásd V. könyv, V. fejezet, 472. o.) Érdekes megjegyzést fűzött hozzá (Bonola 1912: 54 idézetében), amelyben elmondta, hogy

A geometriai kísérletek Euclid párhuzamos posztulátumának bizonyítására eddig hiábavalók. Senki azonban nem vonhatja kétségbe ezt a posztulátumot és a tételeket, amelyeket Euklidész ebből következtetett. Így a tér fogalma magában foglal egy speciális tulajdonságot, egyértelmű, amely nélkül a párhuzamok tulajdonságai nem szigorúan megállapíthatók. A határolt régió, például a kör gondolata nem tartalmaz semmit, amely az abszolút nagyságától függ. De ha elképzeljük, hogy a sugár csökkenni fog, akkor mindenképpen elkerüljük a csökkenést a kerületének és az összes felírt ábra oldalának azonos arányában. Ez az arányosság számomra természetesebb posztulátumnak tűnik számomra, mint Euklidészé, és érdemes megjegyezni, hogy újból felfedezik az egyetemes gravitáció elméletének eredményeiben.

Ez feltűnő módon hasonlít a Wallis jóval egy évszázaddal ezelőtti nézetéhez, bár Laplace nem említette Wallis-t, és talán nem is tudott a párhuzamos posztulátumról folytatott megbeszéléséről.

1800 körül tehát általában igaz volt, hogy az euklideszi geometria valósággal kapcsolatos állításaival kapcsolatos problémák a külvilág ismeretével kapcsolatos általános problémák között voltak. A filozófiai és tudományos körökben magabiztos volt az euklideszi geometria érvényessége önmagában.

3. Projektív geometria

A sokak szerint a 19 th század euklideszi geometria elvesztette alapvető státuszt olyan alakzat, úgy tekintették, mint az általánosabb: projektív geometria. (A geometria bevezetéséért a XIXszázad, lásd Szürke 2011. A projektív geometriát a „Tizenkilencedik századi geometria” bejegyzés írja le, lásd a Bioesmat-Martagon 2011. évi különféle szerzők esszéit is.) A projekciós geometria saját alapvető problémájával rendelkezik, hasonlóan az euklideszi geometria távolságához. a kereszt-arány fogalmára vonatkozik, és követnünk kell a projekciós geometria mint független alany létrehozásának lépéseit, meg kell határoznunk a kereszt-arányt ebben a környezetben, és meg kell oldaniuk a felmerült episztemológiai kérdéseket (a Klein Erlangen programjával kapcsolatos eredmény)). Azt is látni fogjuk, hogy a projektív geometria növekedése megteremti az utat Hilbert geometria axiomatizációjához.

A síkprojektív geometria különösen nagy lendületet kapott Jean Victor Poncelet 1822-es könyvéből, a Traité des propriétés projectives des figurákból, ahol megmutatta a projektív módszerek hatalmát a nem metrikus geometria provokatív megfogalmazása során. Az új geometria alapvető jellege abban rejlik, ahogyan azt egyenes vonal legegyszerűbb tulajdonságainak megragadásaként tekinthetjük - két különálló pont határoz meg egy egyedi vonalat, két különálló vonal legfeljebb egy ponton találkozik, miközben elvetjük az távolság és szög.

Poncelet azon követelményeit, hogy a síkok átalakuljanak, és amelyek a vonalakat vonalakká alakítják, Chasles (1837) szigorúbb módon írta át, amely kiemelte a keresztarány invarianciáját. A vonalon négy pont (A), (B), (C), (D) keresztarányát (AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB), és ha a pontokat (A '), (B'), (C '), (D') -re jelöltük egy projektív transzformációval, akkor

[AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB = A'B '{.} C'D' / mathbin {/} A'D '{.} C'B'.)

Ez azonban a témát kellemetlen helyzetbe hozta, és úgy tűnik, hogy általánosabb, mint az euklideszi geometria, mivel az euklideszi metrikus transzformációk projektív transzformációk, de nem fordítva, miközben továbbra is úgy tűnik, hogy alapvető invariánsuk meghatározásakor egy metrikus koncepcióra támaszkodnak.

Ezzel a kérdéssel az 1840-es és 1850-es években Georg Karl Christian von Staudt foglalkozott. Két könyve (1847, 1856–1860) megkísérelte megalapozni a projektív geometria kialakítását, amely autonóm tárgyvá tette az euklideszi geometriától független tárgyat. Nehezen olvashatók és több szempontból hiányosak, de a szigorú elmélet létrehozásának feladata először tekinthető a már megkezdett feladat elvégzésének. Von Staudt azzal érvelt, hogy a sík projektív geometria transzformációi képesek lehetnek a hármas kollineáris pontok bármelyikére való ábrázolására, és a pontok négyszeresének többségére (amelyek közül három nem volt collineáris) a többihez, de a collineáris pontok négyszögét nem tehetik meg. Ezután részletesen tanulmányozta a kolineáris negyedeket. Rövid észrevételeket tett arról is, hogy az euklideszi geometria miként szerezhető meg a projektív geometria segítségével,és ezekből látható, hogy a kollineáris negyedek elmélete a már ismert kereszt-arány elméletre redukálódott, mihelyt az euklideszi távolság fogalmát beillesztették a projektív geometriaba. Ezt a betekintést Klein egyértelművé tette számos dokumentumban az 1870-es évek elején. Az első olvasható projektív geometria tankönyv, és a neve, amely a nevét adta, a Cremona 1873-as Elementi di geometria projettiva volt, és ezt követően a téma gyorsan emelkedett, hogy klasszikus alapvető geometriaré váljon.és a nevét adta Cremona 1873-as Elementi di geometria projettiva-nak, és ezt követően a téma gyorsan felállt, hogy az alapvető klasszikus geometria legyen.és a nevét adta Cremona 1873-as Elementi di geometria projettiva-nak, és ezt követően a téma gyorsan felállt, hogy az alapvető klasszikus geometria legyen.

Alapkoncepciói voltak egy olyan pont pontjai, egyenesei és síkjai, amelyeket (mathbb {R} ^ 3) dúsítottak egy olyan résszel, amelyet gyakran síknak hívtak a végtelenségnél, úgy, hogy bármelyik két síkvonal egybeesik. Előtt axiomatisations az elmélet a végén a 19 th század pont, vonal és sík nem definiált fogalmakat, egy intuitív értelmezése, amely lehetővé tette a kész átjárást projektív és az euklideszi geometria. A geometriai térkép megengedett transzformációi pontokra mutatnak, vonalak egyenesekre és síkok síkokra, és megőrzik a keresztarányt. Átmenetileg hatnak a térre, tehát egyetlen pont, vonal vagy sík sem különös, ezért a tér bármely véges részén párhuzamos vonalak metsző vonalokra térképezhetők és fordítva.

Szintetikus formájában a projektív geometria sikerei nagyrészt az egyszerűsítésre szorítkoztak, amelyet a kúpok tanulmányozása hozott - minden nem degenerált kúp (kör, ellipszis, parabola és hiperbola) vetületét tekintve ekvivalensek. A projektív geometria algebrai formájában szinte nélkülözhetetlennek bizonyult bármilyen fokú sík algebrai görbék vizsgálatában, és kiterjesztve a magasabb dimenziójú projekciós terekre az algebrai felületek tanulmányozására. Mindez hozzájárult ahhoz, hogy a nem-metrikus geometria központi jelentőségű legyen, amely egy kicsit több, mint az egyenes vonal fogalma, valamint a vonalak és síkok előfordulási tulajdonságai.

A projektív geometrianak is volt egy meghökkentő tulajdonsága, úgynevezett kettősség, amelyet Cremona logikai törvénynek tekintett. A sík projektív geometria során meg lehet cserélni a „pont” és a „vonal”, „egybeesés” és „egyidejű” kifejezéseket, és ily módon érvényes állításokat cserélni. Ennek eredményeként a projektív geometria minden meghatározása, tétele és bizonyítása kettős karakterrel rendelkezik. Például a Desargues-tétel állításának kettős formája és annak bizonyítása a tétel és annak bizonyítása fordítottja. Három dimenzióban az „pont” és a „sík” kifejezések azonos módon cserélhetők, a vonalak pedig más vonalakra cserélhetők. Ez érdekes episztemológiai kérdést vet fel: könnyű elképzelni a tér pontokból álló részét, de lehetetlen intuitív módon úgy tekinteni, mint a vonal. Tovább ront a helyzeten,a tér háromdimenziós, ha pontokból áll, de négydimenziós, ha vonalakból áll.

3.1 koordináta-transzformációk; Kleinin geometria

Klein Erlangen programját és a kleini nézetnek a geometria néven ismertté váló leírását a XIX. Századi geometria bejegyzés írja le. A nézet fő forrásaként azt állítják, hogy a geometria meghatározható egy téren ható csoportként, és a geometriai tulajdonság bármely olyan tulajdonság, amely invariáns a megfelelő csoport minden átalakítása során.

Klein ezt a nézetet egy olyan röpcédulában támogatta, amelyet 1872-ben az Erlangen Egyetem professzorává vált, valamint az 1870-es évek folyóiratainak más publikációiban, a geometria újraegyesítése érdekében. Bemutatta egy módját annak bemutatására, hogy a metrikus geometriák, mint például az euklideszi és a nem-euklideszi geometria, valamint más geometriák, például az inverz geometria és a birational geometria, a projekciós geometria különleges eseteinek tekinthetők (mint például affin geometria, amelyet nem 1872-ből tudnak).

Az alapgeometria valódi projektív geometria volt, mondjuk két dimenzióban. Ebben a geometriaban a tér valódi projektív tér, és a csoport az összes projektív transzformáció csoportja. Ez a csoport pontokat, vonalakat egyenesekre, fokos görbéket (n) a (n) fokos görbékre térképez, és ami fontos, hogy négy kollineáris pont keresztmetszetét minden projekciós transzformáció nem változtatja meg. Kleinini szempontból ez azt mutatja, hogy a pontok, egyenesek, (n) fokos görbék és a négy collineáris pont keresztaránya a geometria tulajdonságai.

A projekciós geometria sokféle módon beépítette a többi geometriát. Klein kijelentette, hogy meg lehet törekedni a konfigurációk listájának kiegészítésére, amely esetben az invariánsként tartó csoport általában kisebb lesz, mint a fő csoport, vagy megkísérelheti kibővíteni a csoportot, ebben az esetben az invariáns konfigurációk osztálya általában zsugorodik. Kleinnek csak nemrégiben sikerült bebizonyítania, hogy a nem-euklideszi geometria al-geometriaként merül fel, mivel a figyelmet a kúpos belsejére vetítik a projektív térben, és az alcsoportra, amely a kúp belsejét térképezi magához (lásd Klein 1871, 1873)..

Klein Erlangen-programjának episztemológiai jellege világosabbá válik, amikor megnézzük, hogyan oldotta meg a közismert, kétségbeesett kételyt a projekciós geometria keresztmetszetének meghatározásával kapcsolatban. Klein válasza az euklideszi vagy a nem euklideszi geometria hosszának analógiájával ment végbe. Ezekben a geometriákban a megfelelő csoport megőrzi az egyenes vonalakat, és bármely pontot bármilyen más pontra le lehet vonni, de a csoportban nincs olyan átalakulás, amely egy vonalszakaszt képes hozzárendelni magának a megfelelő alszegmenséhez. Tehát bármilyen tetszőleges, de rögzített vonalszakasz hosszúság-egységnek tekinthető, és a vonalszakaszok mérésére felhasználható úgy, hogy tetszőleges multiplikációkat és al-szorzókat építenek fel, és úgy rendezik el, mintha egy vonalzó lenne. Most egy szegmens hosszának mérésére (AB),az ember egyszerűen leteszi a (A) pontot a vonalzó egyik végén, és látja, hogy a () pont a vonalzóra esik.

Klein betekintése, von Staudt után, az volt, hogy egy pontosan hasonló érv a collineáris pontok négyszögeivel meghatározható a kereszt-arány meghatározására a projektív geometria során. A projektív csoport megőrzi az egyenes vonalakat, és az összes rendezett hármas vonal háromszög hozzárendelhető bármilyen rendezett hármas vonalhoz, és a térkép, amely egy megadott rendezett hármas különálló pontokat küld egy másik rendezett hármas különálló pontokból, egyedi, de nincs olyan transzformáció a csoportban, amely négy collineáris pont negyejét egy tetszőleges ilyen négyzetre képezheti. Tehát bármilyen önkényes, de rögzített kollineáris négynégyzet 'méret' egységnek tekinthető, és egy bonyolult, de nem nehéz érv lehetővé teszi tetszőleges többszörös és rész szorzatok előállítását, amelyek felhasználhatók a kereszt-arányok mérésére, úgy, hogy egy lenne vonalzó. Ahelyett, hogy megadná a részleteket, jobb, ha bemutatja ezt a szuggesztív képet arról, hogy miért lehet ezt megtenni. Mérjük meg a (P), (Q), (R), (S) három soros vonal keresztmetszetét a pontok leképezésével a (A), (B), (C), (D) a valódi vonalon, ahol (A) származik, (C) (infty) és (D) 1-nél, tehát a (B) pozíciója határozza meg a keresztarányt. Ezt egyedileg meghatározzuk, és ha (AB) hossza (x), akkor azt találjuk: (AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB = x).tehát a (B) pozíciója határozza meg a keresztirányt. Ezt egyedileg meghatározzuk, és ha (AB) hossza (x), akkor azt találjuk: (AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB = x).tehát a (B) pozíciója határozza meg a keresztirányt. Ezt egyedileg meghatározzuk, és ha (AB) hossza (x), akkor azt találjuk: (AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB = x).

Az idő nyelvében a hosszúság az euklideszi vagy a nem-euklideszi csoport kétpontos invariánsja, a keresztarány a projekciós csoport négypontos invariánsja.

3.2 Hilbert és mások az axiomatikus projektív geometrián

Gondok vannak bizonyos technikai kérdésekben a projektív geometria, és a minőség növelése szigorúság végén a 19 th századi provokált kísérletek axiomatise a témát. A feladat vették fel a legtöbb energetikailag által Pieri, Peano, és számos más olasz geometers második felében a 19 th századi, és megteremtett egy szigorú figyelembe a valós és komplex projektív geometria két és három dimenzióban (lásd Marchisotto és Smith 2007). De ugyanakkor sikerült a témát szigorú geometriai tanárok képzésére redukálni, és nem értékelték a nyitott kutatási lehetőségeket. David Hilbert hagyta a geometria axiomatikus megközelítésének újjáélesztését (lásd Hallett és Majer 2004).

Hilbert bevezette számos, az elemi projektív geometria kapcsán felmerülő vitába, amelyek arra vonatkoztak, hogy mi eredményezi azt, hogy milyen beállítások milyen eredményeket eredményeznek. A legjelentősebb Desargues-tétel. A 3-dimenziós projektív geometria esetében Desargues-tétel csak az incidencia-axiómák következménye, ám ez egy tétel a projekciós síkban lévő pontokról és egyenesekről (és így a 2-dimenziós geometria esetében), még senki sem volt képes levezetni a 2-dimenziós projektív geometria beesési axiómáiból. Gyanult, hogy valószínűleg nem lehet ezekből az axiómákból levezethetők, és Giuseppe Peano meg tudta mutatni, hogy valóban nem lehet további következtetések nélkül levezetni. Függetlenül,Hilbert példát adott egy olyan geometriára is, amely megfelel a kétdimenziós projektív geometria összes előfordulási axiómájának, de amelyben Desargues tétele hamis. Később egy egyszerűbb példával váltotta fel, amelyet az amerikai matematikus és csillagász, FR Moulton talált Hilbert Grundlagen der Geometrie (1899) későbbi kiadásaiban.

Az axiomatikus geometriákban, amelyeket Hilbert mutatott be, az alapvető tárgyak (pontok, vonalak, síkok) nincs meghatározva. Ehelyett Hilbert meghatározta, hogyan lehet őket felhasználni, és mit lehet mondani róluk. Öt axiómacsaládot mutatott be, az általuk alkalmazott vagy kodifikált fogalmak szerint rendezve. Ezután különféle geometriákat készített, amelyek figyelembe veszik a különféle axiómák rendszereit, és megállapította ezek konzisztenciáját azáltal, hogy koordinátákat adtak a megfelelő gyűrűk és mezők között - geometriái gyakran számos értelmezést vagy modellt alkalmaznak. Ez megadta ezeknek a geometriáknak a számtani konzisztenciáját, és vezetett Hilbert azon érdeklődéséhez, hogy megkíséreljék aritmetikát alapozni az elmélet és a logika valamilyen formájában.

Hilbert megközelítése sikeres volt, mert rájött, hogy létezik az axiómák matematikája, különféle, de egymással összefüggő axiómás sémák és azok következményeinek tanulmányozása. Poincaré Hilbert könyvének áttekintésében (1902) elfogadta az új geometriákat érvényesnek, ám sajnálatát fejezte ki amiatt, hogy szerinte hiányosak, mert hiányzott pszichológiai összetevő. Ez alatt azt értette, hogy ezeket nem lehet belefoglalni annak magyarázatába, hogy hogyan tudunk valamilyen ismeretet a fizikai tér geometriájáról, mert nem voltak képesek természetüknél fogva megszerezni őket.

4. Nem euklideszi geometria

A párhuzamos posztulátum vizsgálata a görög időkben kezdődött, az iszlám világban folytatódott, és a korai modern Nyugaton kezdődött. De még mindig nem egyértelmű okok miatt 1800 körül az emberek könnyebben el tudják képzelni, hogy az Euklidész elemei nem a metrikus geometria egyetlen lehetséges rendszere. Az elképzelhetetlennek a matematikusok közösségén kívüli elképzelhetőségévé válását magyarázó tényezők között szerepelt a tételek felhalmozódása a párhuzamos posztulátumtól eltérő feltételezések alapján. Úgy tűnik, hogy egy ilyen radikális feltételezés újszerű, következetes következményeinek előállítása és az ellentmondás megtalálásának hiánya arra készteti az embereket, hogy fontolják meg, hogy valóban lehet egy egész geometria, amely eltér az Euclid-től.

Ennek a váltásnak a jelző példája az FK Schweikart jogi professzor, aki 1818-ban Gerling-en keresztül, a Marburgi Egyetemen dolgozó kollégájának útján Gaussot küldte, az Euklidészétől eltérő geometriai beszámolóval. Schweikart geometriáját Gauss fogadta el, aki azt válaszolta, hogy az új geometria minden tulajdonsága levezethető, ha értéket adnak egy állandónak, amely Schweikart számlájában megjelenik. De az, amit Gauss elfogadott, és milyen okokból, kevésbé világos. Gauss már hibát talált az Euklidész-elemek számos védekezésében, és az évek múlásával teljesen biztos volt benne, hogy új, kétdimenziós geometria létezik, amely különbözik az euklideszi sík geometriájától. Ez a geometria olyan képletekkel írható le, amelyekről úgy látta, hogy hasonlítanak a gömb alakú geometriához. De nem írta le az ilyen típusú háromdimenziós geometriát, nyitva hagyva annak lehetőségét, hogy a kétdimenziós geometria valamiféle formális, értelmetlen furcsaság. Másrészt, Bessellel folytatott levelezésben világossá tette, hogy nem tulajdoníthatja az euklideszi geometrianak a bizonyosságot, amelyet a számtani feladatra adott, ami a priori volt, és ő és Bessel egyaránt nyitva tartották annak a lehetőségét, hogy a világ csillagászati régiói valószínűleg nem legyen euklideszi.

Ezért a tér első, matematikai szempontból az Euclid-től eltérő kifejezésének jóváírásához a magyarországi Bolyai Jánosnak és az oroszországi Nicolai Ivanovich Lobachevskii-nek kell jutalmazni. Bolyai „Függelék a tudományos gyakorlatban az abszolút veram-kiállításokról” (1832) és Lobachevskii a „Neue Anfangsgrunde der Geometrie” -ben (1835) és a Geometrische Untersuchungen-ben (1840) ismét a párhuzamos posztulátumot azzal a feltételezéssel váltotta fel, hogy egy sor és egy pont adódik nem ezen a vonalon, sok olyan vonalon van a ponton, amely az adott pont és az adott vonal által meghatározott síkban fekszik, és amelyek nem felelnek meg az adott vonalnak. Ezek közül, amint azt később megmutatták, minden irányban egy vonal aszimptotikus az adott vonalhoz képest, és ezek az aszimptotikus vonalak megosztják az összes többi vonal családját az adott síkon és az adott ponton keresztül két családba:azokat, amelyek megfelelnek az adott vonalnak, és azokat, amelyek nem. Ezután sok munkát követett, mindkét esetben híresen hasonló, különösképpen annak megmutatására, hogy a feltételezéseik által leírt háromdimenziós térben van egy felület, amelyen az euklideszi geometria tart, és hogy le lehessen vonni a síkban háromszögeket leíró trigonometrikus képletek létezését. Ezek a képletek a gömb háromszögeinek megfelelő képleteire hasonlítanak.

Mindez meggyőzte mind Bolyai, mind Lobachevskii-t, hogy az új geometria lehet a fizikai tér leírása, és ezentúl empirikus feladat annak eldöntése, hogy az euklideszi geometria vagy a nem-euklideszi geometria igaz-e. Lobachevskii még csillagászati eszközökkel próbálta meghatározni az ügyet, de eredményei teljesen meggyőzőek voltak.

Természetesen igaz, hogy az új geometriában nem következetes következtetések zárják ki az ellentmondás lehetőségét, hanem az új geometria érdekes kapcsolata a gömb alakú geometriával és a háromszögek trigonometrikus képleteinek létezése erősen javasolt hogy az új geometria legalább következetes volt. Azok, akik elfogadták, és az 1860-as évek előtt nagyon kevesen voltak, mindazonáltal valószínűleg jobb beszámolót fogadtak, mint amit Bolyai és Lobachevskii nyújtottak. Mielőtt hozzákezdenénk, érdemes szünetet tartani a képletek értékelése szempontjából, mivel sok geométernek meg kellett találnia azokat az új geometria érvényességének meggyőző bizonyítékait, még Riemann és Beltrami újraformulációja után is (például Enriques fő esszéjében). (1907) a geometria alapelveiről).

Nemcsak hogy vannak képletek, hanem arra is utalnak, hogy a geometria alternatív formálására vonatkoznak, amelyben az Euclid Elemeiben leírt geometria bizonyulhat, hanem egy különleges eset. Ha lehetne más módon meghatározni a geometria fogalmát, amely különféle esetekben ezeket a képleteket eredményezné, akkor nyitva állna mindenféle geometriai kérdés átgondolása, amelyet a kritikus vizsgálat meg nyitott. Az 1830-as és 1840-es években a legmegfelelőbb személy Gauss volt. Nagyon jól tudta, mit tett Bolyai és Lobachevskii, és differenciál geometriája lehetőséget adott neki a továbblépéshez, de kíváncsi, hogy nem tette. Az 1840-es évek elején néhány megjegyzést írt, amelyek azt mutatják, hogy az új kétdimenziós geometriát összekapcsolhatja az állandó negatív görbület felületén levő geometriával, ám ezzel a megfigyeléssel semmit nem tett.

Másrészt pusztán a képletek létezése nem lenne elegendő ahhoz, hogy geometriai jellegűek legyenek. Ezt a geometriai megalapozás szükségességét Lobachevskii elismerte legkorábbi kiadványaiban, de mivel oroszul jártak, Oroszországon kívül nem olvasták őket (és az orosz matematikusok sem értékelték őket). Az 1840-es röpiratban elhagyta az ilyen jellegű megfontolásait, amelyek hírnevének nagy része mára függ, ám visszahozta ezeket az előadása, a Pangéométrie (1856), amely azonban nem volt jobb, mint a korábbi verziók..

Lobachevskii először azzal érvelt, hogy a geometria a térben lévő test tudománya, és hogy a tér háromdimenziós. A legeredetibb koncepció az érintkezés volt, és ennek ellentéte a két testet elválasztó vágás. Két, egymással nem érintkező testet elválasztanak egymástól, és egy megfelelő harmadik test, amelyikkel érintkezésbe kerülnek, megmérik a távolságot közöttük, ezt a fogalmat egyébként nem határozták meg. Ezért meghatározhatott egy gömböt annak központjával egy adott ponton, mint az összes pontot, amely egy adott ponttól egyenlő távolságra van. Ezután megmutatta, hogyan lehet egy síkot meghatározni az intuíció begyűjtésével, amely szerint két különálló pont megadása esetén a sík a térben lévő pontok gyűjteménye, amelyek a két adott ponttól mindkét távolságra vannak. Szerinte a két pont megadásával egy sík a két azonos sugárú gömbön közös pontok halmaza,az egyik az egyik pontra, a másik a másikra összpontosít. Egy sor hasonlóan meghatározható.

Az intuícióval, hogy a távolság az elsődleges fogalom, a mozgás nagyobb felértékelődése jön, vagy legalábbis annak eredménye, hogy tárgyakat mozgathatunk anélkül, hogy megváltoztatnánk őket. Elképzelhető egy merev test szállítása körül, mondjuk egy kocka egység hosszúságú oldalaival, és egyik oldalának használata a hosszúság megjelölésére. Később látni fogjuk, hogy a benne rejlő lehetőségeket a folyamat alkalmat egy tyúk-tojás közötti vita Bertrand Russell és Henri Poincaré végén a 19 th században.

Az új geometria radikális kihívást jelentett az euklideszi geometria szempontjából, mivel tagadta a hagyományos geometria azon állítását, hogy bizonyosságot ad, és azt állítja, hogy ez az egyetlen logikus rendszer a geometria megvitatására. Kihasználta a szakértők által ismert feszültséget a legszorosabb és a legrövidebb fogalmak között is. De más módon is szokásos volt. Nem ismertett új fogalmakat az ismert fogalmakról, mint például az egyenes vagy a távolság, egyetértett az euklideszi geometria szögekkel, csupán eltérő intuíciót kínált a párhuzamos vonalakkal kapcsolatban, eltérő intuíció alapján, az egyenes vonalok távoli viselkedéséről. Támogatói nem adtak szkeptikus következtetést. Bolyai és Lobachevskii nem mondták: "Lásd, két logikus, de összeegyeztethetetlen geometria létezik, így soha nem tudhatjuk, mi igaz." Helyette,kinyújtották a reményt, hogy a kísérletek és a megfigyelések döntést hoznak. Az az episztemológiai ár, amelyet az embereknek fizetniük kellene, ha a csillagászati megfigyelések az új geometria mellett jöttek volna, bizonyos értelemben enyhe lett volna: kellett volna mondani, hogy az egyeneseknek váratlan tulajdonságai vannak, de csak egy nagy távolságokon vagy figyelemre méltó mikroszkópokkal detektálható. Az biztos, hogy az euklideszi geometria sok tételét ezután újra kell dolgozni, és ismert euklideszi párjuk csak nagyon jó közelítésként jelenik meg. De ez nagyjából összehasonlítható a helyzettel, amelyet a newtoni mechanika a speciális relativitáselmélet megjelenése után talált meg.bizonyos értelemben enyhe volt: kellett volna mondani, hogy az egyeneseknek váratlan tulajdonsága van, ám csak egy nagy távolságból vagy figyelemre méltó mikroszkópokkal detektálható. Az biztos, hogy az euklideszi geometria sok tételét ezután újra kell dolgozni, és ismert euklideszi párjuk csak nagyon jó közelítésként jelenik meg. De ez nagyjából összehasonlítható a helyzettel, amelyet a newtoni mechanika a speciális relativitáselmélet megjelenése után talált meg.bizonyos értelemben enyhe volt: kellett volna mondani, hogy az egyeneseknek váratlan tulajdonsága van, ám csak egy nagy távolságból vagy figyelemre méltó mikroszkópokkal detektálható. Az biztos, hogy az euklideszi geometria sok tételét ezután újra kell dolgozni, és ismert euklideszi párjuk csak nagyon jó közelítésként jelenik meg. De ez nagyjából összehasonlítható a helyzettel, amelyet a newtoni mechanika a speciális relativitáselmélet megjelenése után talált meg.és az ismerős euklideszi társaik csak nagyon jó közelítésnek tűnnek. De ez nagyjából összehasonlítható a helyzettel, amelyet a newtoni mechanika a speciális relativitáselmélet megjelenése után talált meg.és az ismerős euklideszi társaik csak nagyon jó közelítésnek tűnnek. De ez nagyjából összehasonlítható a helyzettel, amelyet a newtoni mechanika a speciális relativitáselmélet megjelenése után talált meg.

5. Riemannian geometria

A sokkal jelentősebb változás Bernhard Riemann Gauss-féle differenciálgeometria nagy kiterjesztésével érkezett. Sok episztemológiai kérdést már felvetették Gauss munkájával (1828), tehát először erre fordulunk.

Gauss mélyen átgondolta, hogy mit kell meghatározni egy felületet, és úgy találta, hogy az egymást követő általánosítás három meghatározása lehetséges. Feltételezhető, hogy legalább a helyszínen a felület megadható (z = f (x, y)) formában (x) és (y) egyes funkcióira. Ez igaz a szféra régióira, de nem mindegyikre egyszerre. Általánosabban véve feltételezhető, hogy a felület azon pontokból áll ((x, y, z)), amelyek kielégítik a (f (x, y, z) = 0) alak egyenletét, mivel gömb van. Általánosabban fogalmazva - mondta Gauss - valószínű, hogy egy felületet lokálisan adtak három függvény, mindkét változónak ((u) és (v). Ezt a két változót úgy kell értelmezni, mint egy síkban lévő pontok koordinátáit, valamint a (x (u, v), y (u, v)) és (z (u, v)) függvényeket együtt adja meg a felületen lévő pontok koordinátáit az űrben. Ebben a beállításbana felület egy darabjának minden pontja (u) és (v) koordinátával rendelkezik a síkban. A felületen lévő két pont közötti távolságot, amely síkban a ((u, v)) és ((u + du, v + dv)) -nek felel meg, a Pitagorasi tétel egy változata adja meg a forma

) tag {*} ds ^ 2 = E (u, v) du ^ 2 + 2F (u, v) dudv + G (u, v) dv ^ 2)

ahol (E, F) és (G) a (x, y) és (z) függvényekkel kerül meghatározásra, és kielégítik (EG - F ^ 2 / gt 0).

Gauss képes volt meghatározni a felület görbületének egy pontját egy ponton, és valami figyelemre méltó dolgot talált benne: a görbület mértéke csak (E, F) és (G) függvényeitől és azok származékaitól függ a (u) és (v) vonatkozásában, de a (x (u, v), y (u, v)) és (z (u, v)) függvényeknél nem. A pontos kifejezés hosszú és bonyolult, de arra utal, amint Gauss rámutatott, hogy a felület egy pontjának egy ponton mért mértéke belső: azt teljes mértékben a felszínen végzett mérések határozzák meg, és nem jár semmiféle kérdés. harmadik dimenzió derékszögben a felülettel. Metrikának és a távolság képletének (*) megadásával a görbület megtalálható. Ha például a távolság képlete a gömb sík térképére vonatkozik,a görbület a gömb sugara négyzetének viszonossága.

Gauss azt is megvizsgálta, mikor lehet az egyik felületet egy másikra leképezni úgy, hogy a távolságok ne változjanak: ha az egyik felületen lévő két pont (P) és (Q) egymástól (d) távolságra helyezkedik el, akkor így vannak a képeik a másik felületen is. Gauss meg tudta mutatni, hogy ehhez szükséges feltétel az, hogy a megfelelő pontok görbületei azonosak. Például a henger és a sík lokálisan izometrikus; bár ívelt, a henger Gauss értelmében nulla görbülettel rendelkezik, csakúgy, mint a sík, ezért lehetséges egy forgó dobból kinyomtatni.

Ez azt jelenti, hogy vannak olyan geometriai tulajdonságok, amelyek egy felület térképéből levezethetők, amelyek függetlenek a térkép részleteitől, és magukra a felületre vonatkoznak. Gauss-görbéje minden pontban ismert, és vannak más tulajdonságok is, amelyek levezethetők a (ds ^ 2) megismeréséből, például a két pont közötti legrövidebb hosszúságú görbe (bizonyos feltételek mellett).

Nem azonnal felismerték, hogy Gauss megközelítése lehetővé tette a matematikusoknak, hogy a felületeket a síknak egy adott metrikájú régiójaként határozzák meg, amelyet nem lehet az euklideszi háromdimenziós tér felületéből nyerni. Természetesen, ha valamely felületet egy térképként definiálunk egy (mathbb {R} ^ 2) darabtól (mathbb {R} ^ 3) darabig, akkor természetesen a (mathbb {R} ^ 3). De ha valamely felületet egy (mathbb {R} ^ 2) régiónak definiál egy adott metrikával, akkor lehet, hogy a (mathbb {R} ^ 3) felületben nincs olyan felület, amelyre megfelel. Úgy tűnik, hogy elsőként értékelte ezt Riemann, aki ezt az ötletet tetszőleges számú dimenzióra is kiterjesztette.

Riemann elképzelései mélyek és naivak voltak, és ezért nehezen tudták pontosan fogalmazni, ám eleinte elégedettek lehetünk azzal, hogy naivnak tekintünk. Azt hitte, hogy adnak neki egy teret („sokrétűségnek” nevezte), amelyben bármelyik ponton egy koordinátarendszert el lehet helyezni legalább egy tetszőleges kiindulási ponthoz közeli minden ponton, és ha ezt teszik, akkor minden pont összekapcsolva a kiindulási ponttal (n) számok listájával, azt mondta, hogy a tér (n) - dimenziós. Úgy gondolhatjuk, hogy erre a folyamatra térképet szolgáltatunk a tér legalább azon részéről, amely a kiindulási pont közelében helyezkedik el a (mathbb {R} ^ n) oldalra. Eddig ez csak akkor különbözik a felszíni esettől, hogy két dimenziót a ((n)) helyettesített.

Ezután azt állította, hogy létezik eszköz annak megállapítására, hogy mi a távolság végtelenül, a (ds ^ 2) képlet általánosításával 2-ről (n) változóra. (Megengedte még, hogy egészen más képleteket is használjon, de az elméletnek azt a részét nem írjuk le, amely sok éven át megdöbbent).

Ezután megvizsgálta, hogy a görbületnek ez a lényeges tulajdonsága fennmarad-e a magasabb dimenziókban is, így van. Ez alapvetően azért van, mert a (n) - dimenziós objektumnak sok 2-dimenziós felülete van, amelyre a Gauss-elmélet vonatkozik, tehát egy (n) - dimenziós objektum görbületének fogalma egy ponton egy a ponton áthaladó 2-dimenziós felületek figyelembevétele.

Most azt kérdezte: mi többet akarunk még geometriai elvégzéséhez? Vannak a tér olyan tulajdonságai, amelyek függetlenek a koordinátarendszertől. Ha két különböző koordinátarendszer ad eltérő koordinátákat, de úgy hajtja végre, hogy megmaradjon a pontok közötti távolság, akkor bármelyik rendszer lehetővé teszi geometria elvégzését, és amikor azt találjuk, hogy a két koordinátarendszer megegyezik a görbékkel minden ponton, a pontok közötti távolságon, és így tovább.

Mivel a (ds ^ 2) képlet csak néhány korlátozással íródott le, nem indokolt azt feltételezni, hogy a riemanniai geometria meghatározása az előző euklideszi geometria vonatkozásában történik. Nincs állítás, miszerint egy (n) dimenziós riemanniai geometriát térképpel kell elérni egy bizonyos euklideszi (N) - dimenziós euklideszi tér (n) - dimenziós részhalmazából. Ez azt jelenti, hogy a geometria elvégezhető bármilyen euklideszi geometriára való hivatkozás nélkül: Az euklideszi geometria már nem jár episztemológiai szempontból más geometria bármely tanulmányozása előtt. Euklidész uralma elméletileg véget ért.

5.1 Geodézia és kapcsolatok

Tekintettel a távolság fogalmára egy elosztón, lehet beszélni a geodéziaról is - a két pontot összekötő geodézia a két pont közötti legrövidebb hosszúságú görbe. Fel lehet vetni a létezéssel és az egyediséggel kapcsolatos kérdéseket, és gyakran megválaszolhatók. Jelentős előrelépést tett Tullio Levi-Civita 1917-ben és Hermann Weyl 1918-ban, Einstein általános relativitáselméletének ihlette, amikor megmutatták, hogyan lehet meghatározni a párhuzamosságot egy ívelt elosztón (Levi-Civita hozzájárulásáról lásd: Bottazzini 1999 és tovább) Weyl hozzájárulását lásd Scholz 2001). Durván szólva, Weyl bemutatójában (1918) két vektor különféle pontokban párhuzamos, ha görbe mentén nem változó vektorok családjába tartoznak. A görbület hatása, hogy ez a meghatározás független a vektor családtól, de függ a görbétől, kivéve ha a görbület nulla; Egy tipikus elosztón lévő vektorokról csak azt mondhatjuk, hogy egy görbe mentén párhuzamosak.

A távoli párhuzamosság fogalma lehetővé teszi egy vektor tetszőleges görbe mentén történő mozgatását oly módon, hogy minden pontban maga mellett maradjon. Ezt úgy hívták meg, mint a kapcsolat létesítésének módját a különböző pontok között, és az elméletet elosztócsatlakozók kapcsolatainak elméletévé vált. Különösen azt lehet megkérdezni, hogy egy görbe érintővektor-családja egy-egy olyan vektorból áll-e, amelyek párhuzamosak a kezdőpont érintőjével. Ha igen, akkor a görbe természetes jelölés, amelyet a végpontjai között a legszorosabb görbének kell tekinteni, mivel az érintõvektor soha nem gyorsul fel a görbe mentén.

A kapcsolatokat a metrikától függetlenül lehet meghatározni, de ha a metrika és a kapcsolat kompatibilis, akkor kimutatható, hogy ennek a görbének minden apró darabja a legrövidebb görbe, amely összeköti a végpontját, tehát a csonk legszorosabb görbéi a geodézisek. A modern differenciál geometriában a geodézist kapcsolatok útján határozzák meg.

5.2 Riemann és Beltrami, valamint szigorú, nem euklideszi geometria

Riemann „Ueber die Hypothesen…” (előadása 1854-ben, 1867-ben posztumálisan megjelent) és Beltrami „Saggio” (1868) eltérő, de egyenértékű beszámolóját jelentette a kétdimenziós nem-euklideszi geometria bemutatásával, mint a belső geometriája. egy új mérőszámú lemezt. Riemann beszámolója, amelyet (n) dimenziókban rögzítettek, egyetért azzal, amelyet Poincarénak sok rövid publikációban kellett felhasználnia 1880-ban és 1881-ben, de csak kifejezetten írja le fõ tanulmányában (Poincaré 1882). Ebben a mutatóban a geodézia a tárcsa határára merőleges körívek, és a szögek helyesen vannak ábrázolva. Beltrami verziójában a geodézia egyenes vonalú szegmensekkel jelenik meg, amelyek a lemez akkordjai. A Riemann és Beltrami lemezek gyorsan meggyőzték a matematikusokat, hogy Bolyai és Lobachevskii nem-euklideszi geometriája megtörtént,elvégre szigorú matematikai értelemben kell értelmezni. Poincaré hozzájárulása egy évtizeddel később az volt, hogy a nem-euklideszi geometriát bizonyos matematikai témák természetes geometriájává tegye, elsősorban a Riemann-felületek fejlődő és fontos témájává.

Nem szabad figyelmen kívül hagyni a matematika bármely részének szigorú beszámolójának fontosságát, ám a riemanniai geometria elfogadása a nem-euklideszi geometria beállításánál meghaladta a következetes formalizmus bemutatását. Ez azt a nézetet elfogadja, amely szerint a geometria bármi leírható a riemanniai formalizmusban. Az ajtó kinyílik annak a nézetnek, hogy sok geometria létezik, amelyek mindegyikének konzisztensnek kell lennie, és amelyek egyikének sem kell hivatkoznia az euklideszi geometriára. A tárgyalt „tér” dimenzióinak száma, a „tér” topológiai jellege és a pontos metrika mind érdektelenség. Van egy olyan 2-dimenziós geometria, amely ilyen és ilyen, mert megfelelő mutató található; mert létezik egy térkép is,nem azért, mert a (mathbb {R} ^ 3) felületet a megfelelő tulajdonságokkal találták meg. Valójában később megmutatták (Hilbert 1901), hogy (mathbb {R} ^ 3) területén nincs olyan felület, amely pontosan megfelel a nem-euklideszi 2-dimenziós térnek.

Riemann egyértelmű volt, hogy ennek a geometriai módszernek az episztemológiai következményei óriásiak. A matematikusoknak nem kell többé elválasztaniuk néhány alapvető intuíciót a fizikai térről gondolkodásukból, például az egyenes vonalak vagy körök jellegéből és tulajdonságaiból, és törekedniük kell egy valódi geometria felépítésére ezen intuíciók bizonyos axiomatikus kifejezése alapján. A gondolkodásnak inkább az ellenkező irányba kell mennie: a matematikusok szabadon építhették meg végtelenül sok geometriát és láthatták, melyik vonatkozik a fizikai térre. Ezzel összefüggésben hamarosan bebizonyosodott, hogy lehetséges az elméleti mechanika elvégzése a nem-euklideszi geometria beállításánál is.

6. A nem-euklideszi geometria érthetősége

A projektív geometria episztemológiai jelentőségét a klasszikus geometria természetére és szigorúságára gyakorolt hatásai határozzák meg. A nem-euklideszi geometria episztemológiai jelentősége inkább azon a lehetőségen nyugszik, hogy az euklideszi geometria bármilyen módon igaz is lehet. Ezért fordulhat 19 -én századi vizsgálatok érthetőségét geometria.

6.1 Herbart filozófiája

Johann Friedrich Herbart Kant utódjává vált Königsbergben 1808-ban, ahol 1833-ig Göttingenbe ment, ahol 1841-ben meghalt, de nem volt ortodox kanti. Legfontosabb munkája, az 1824–1825 közötti kétkötetes Psychologie als Wissenschaft neu gegrundet auf Erfahrung, Metaphysik és Mathematik, a filozófia pszichológiáját kívánta megalapozni, és a tapasztalatokat és a metafizikát egyformán kezeli. Néhány meglehetősen fantáziadús matematika segítségével megkísérelte megmutatni, hogy működik a memória, és hogy bizonyos típusú ismétlődő ingerek miatt az agy megtanulja megismerni például vonalakat, párhuzamos vonalakat, keresztező vonalakat és felületeket. Herbart véleménye szerint nincsenek veleszületett ötletek; A vizuális teret a tapasztalatból építik fel, leginkább a térségi folyamatok folytonosságának következtetésének fogalmi cselekménye révén. A fogalmakat az emlékcsoportok generálják, amelyekre a logika az eredetüktől függetlenül működik. Herbart így elkerülte a logika alapját a pszichológiában.

Herbart ötletei befolyásolták Riemannot (lásd Scholz 1982). Riemann a természettudományt a természet fogalmának pontos megfogalmazással történő megértésének kísérletének tekintette, amelyet a velük szerzett tapasztalataink fényében módosítani kell. Azt vélte, hogy a legsikeresebb koncepciók meglehetősen elvontak lesznek, és egyetértett Herbart-lal, hogy a kanti módon nem lehetnek priori. Sőt, az észlelésük eredete adta ezeknek a fogalmaknak a tudomány szempontjából jelentőségét. A jegyzetekben, amelyeket saját magának írt (lásd Riemann Werke 1990: 539), Riemann elmondta, hogy egyetértett Herbarttal a pszichológia és az episztemológia kérdéseiben, de nem ontológiában, vagy a tér, idő és mozgás fogalmainak felépítésével kapcsolatos elképzeléseivel nem. A nézeteltérés mélyebb együttérzést fed el. Herbart az okozati összekapcsolódással rendelkező, de különálló monádok háromdimenziós való világát támogatta,amelyet az elme a folyamatosság fogalmán keresztül kezeli, amelyet átad, ezáltal diszkrét tapasztalatait lehetőségek spektrumává alakítva. Riemann nem látta okot arra, hogy a figyelmet három dimenzióra korlátozza, és a lehetőségek folyamatos spektrumát áthelyezte az általa létrehozott nagyon általános geometriai koncepciókba.

Ez csökkentette, vagy talán hátrahagyta a tapasztalat szerepét, amelyet Herbart hangsúlyozott. Riemann tudatosította, amit Herbart mondott, természetesen történt: ha a tapasztalatok olyan fogalmakat generálnak, amelyekkel a világot ábrázoljuk, akkor - mondta Riemann - engedje, hogy a matematika pontosabb és rugalmasabb fogalmakat generáljon, amelyekkel tudományt folytathat.

6.2 Helmholtz és Poincaré

Riemann elképzelései Hermann von Helmholtz-t befolyásolták, aki számos befolyásos esszét publikált arról, hogy a geometria ismerete mi lehetséges. „Über die thatsächlichen Grundlagen der Geometrie” című könyvében (1868) arra törekedett, hogy megmutassa, hogyan lehet csak korlátozott számú riemanniai geometriát felépíteni, amelyben a merev testmozgás fogalma létezik. Azt állította, hogy a merev testekkel kapcsolatos tapasztalataink tanítják nekünk, hogy milyen a tér, és különösen milyen a távolság. Azt állította továbbá, hogy a merev testmozgásokat elismerő kétdimenziós tér lehet az euklideszi sík vagy a gömb. Beltrami azt írta neki, hogy rámutasson arra, hogy figyelmen kívül hagyta a nem-euklideszi geometria lehetőségét, és Helmholtz nemcsak egyetértett azzal,de írt egy további esszét (1870), amelyben elmagyarázta, hogyan lehetne tudni ezt a geometriát a kanti értelemben (szintetikus a priori). Sok kantiiak megtagadták a meggyőződést, valószínűleg abból az értelemben, hogy Kant biztosan úgy gondolta, hogy ilyen jellegű kifogástalan ismeretekkel rendelkezünk az euklideszi geometriáról, ám Henri Poincaré egy olyan személy, akit ezek az ötletek valószínűleg befolyásoltak (lásd Gray 2012).

Amint Poincaré elkezdett népszerű filozófiai esszéit írni a geometria témájáról, világossá tette, hogy legfőbb aggodalma az, hogy hogyan támaszkodhatunk bármilyen geometriára. Jól tudatában volt a riemanniai geometriák széles skálájának, és Helmholtz spekulációjának arra a következtetésére, amelyet addig szigorúan tett Sophus Lie munkájában, hogy nagyon korlátozott számú geometria engedi meg a merev testmozgásokat. Az „A geometria alapjain” (1898) című írásban aggodalma az episztemológia volt.

Poincaré azzal érvelt, hogy az elme gyorsan felismeri, hogy képes kompenzálni bizonyos látási mozgásokat. Ha egy pohár felé fordul, akkor hátrafelé járhat úgy, hogy az üveg változatlannak tűnik. Ugyanezt megteheti, ha megdönti vagy forgatja. Az elme ezeket a kompenzációs mozgásokat tárolja, és rájön, hogy követheti egymást, és az eredmény harmadik kompenzáló mozgás lesz. Ezek a mentális cselekedetek matematikai objektumot képeznek, amelyet csoportnak neveznek. Az elme azonban nem képes kompenzáló mozgásokat generálni más látott mozgásokhoz, például a bor mozgása az üvegben, amint körbeforog. Ilyen módon az elme kialakítja a merev testmozgás fogalmát, amely pontosan az a mozgás, amelyhez az elme kompenzáló mozgást képezhet.

Poincaré ezután megvizsgálta, hogy mely csoportban lehet a kompenzációs mozgások csoportja, és megállapította, hogy amint azt Helmholtz javasolta és Lie aztán bizonyította, ilyen csoportok szigorúan korlátozott gyűjteménye áll rendelkezésre. Legfõbb csoportok voltak azok a csoportok, amelyek az euklideszi és a nem-euklideszi geometriából származnak, és elvont csoportként különböznek egymástól. De melyik volt helyes?

Poincaré ellentmondásos véleménye az volt, hogy soha nem lehet tudni. Az emberek az evolúción keresztül és csecsemőként szerzett tapasztalataink révén választják ki az euklideszi csoportot, és így mondják, hogy az űr euklideszi. De egy másik faj, eltérő tapasztalatokra támaszkodva, kiválaszthatja a nem-euklideszi csoportot, és így mondhatjuk, hogy a tér nem euklideszi. Ha találkoznánk egy ilyen fajjal, akkor nem lenne kísérlet, amely eldöntené a kérdést.

El lehet képzelni - mondta -, hogy nagy háromszöget készítsen és megmérje a szöget. A háromszög oldalait, mondjuk, fénysugarak képezik. Tegyük fel, hogy a kísérleti hiba keretein belül a kísérlet eredménye az, hogy a háromszög szögösszege kisebb, mint (pi), az eredmény megegyezik a nem-euklideszi geometriával, de nincs összhangban az euklideszi geometriával. Az egyetlen következtetés, amelyet levonhatunk - mondta Poincaré - az, hogy vagy a fénysugarak egyenes vonal mentén haladnak, és a tér nem-euklideszi, vagy hogy a tér euklideszi és a fénysugarak görbe mentén haladnak.

Így összegezhetjük érvelését. A külvilág geometriájával kapcsolatos tudásunk azon a mentális képességünkön alapszik, hogy kemény testmozgásokkal foglalkozzunk. Ezeknek a csoportoknak nagyon korlátozott tárolója van, de egyik kísérlet sem tudja eldönteni közöttük. Csak annyit tehetünk, hogy választunk, és a legegyszerűbbet választjuk. Amint történik, ez volt az euklideszi csoport, mert - mondta Poincaré - azt tapasztaltuk, hogy egyik tulajdonsága, amely nem oszlik meg a nem euklideszi csoporttal, különösen egyszerű. De az emberi fajt, mint amilyen, választották, és ez a választás veleszületett az emberi tudatban. A tudás megszerzésének módja és az a tény miatt, hogy egynél több megfelelő csoport létezik, soha nem tudhatjuk, hogy a tér euklidészi vagy nem-euklideszi, csak hogy euklideszi alakban építjük fel.

A Dant an sich (önmagában a dolog) tudatlanságának és a megjelenés világának való ragaszkodásunknak a kanti doktrínának ez a csavarása Poincaré, mint dolgozó fizikus számára vezetett, ám fontos különbséget tenni. Az éppen kifejtett nézőpont Poincaré geometriai konvencionizmusának filozófiája. Támogatta a konvencionizmust a tudomány más területein, azzal érvelve, hogy a természet törvényeinek (Newton törvényei, az energiamegtakarítás és így tovább) nem empirikus kérdések, amelyek felülvizsgálhatók, sem abszolút igazságok, hanem jól megalapozott eredmények, amelyek magasabb szintre emelkedtek. az axiómák szerepét a jelenlegi tudományos elméletekben. Megtámadhatók voltak, de csak akkor, ha egy egész tudományos elmélet megtámadása lenne, nem azért, amikor furcsa megfigyelésekre került sor. Poincaré szerint egy műholdakkal szemben, amelyek úgy tűnik, hogy nem tartják be Newton törvényeit, fontolóra kell vennie egy még még észrevétlen erőt a munka során, és ne törekedjen Newton újraírására. De új elméletet lehet javasolni, amely a természet törvényét újraíró különféle feltevéseken alapul, mivel ezek a törvények nem örök igazságok - ilyen dolgokat soha nem tudhatnánk. És ha új elméletet kellene javasolni, akkor az egyszerűség kedvéért csak az új és a régi közül lehet választani.az egyszerűség kedvéért csak az új és a régi választhat.az egyszerűség kedvéért csak az új és a régi választhat.

A döntő különbség az, hogy a tudományos konvencionizmus magas szinten működik. A döntéseket tudatosan és intellektuálisan hozzák meg, a vita csak azok számára nyitott, akik jelentős számú speciális végzettséggel rendelkeznek. A geometriai konvencionizmus az elmén működik, még mielőtt bármiféle formális utasításra képes lenne, és ha nem működne, akkor a szerencsétlen alany képtelen lenne a külvilág ismeretére.

6.3 Poincaré versus Russell

Poincaré nézetei ütköztek vele Bertrand Russelltel az 1890-es években, amikor kilépett rövid hegeliai szakaszából, és belépett a kanti fázisba. Russell megpróbálta a kanti nyelvet a priori létrehozni azzal érvelve, hogy létezik egy alapvető geometria, amely a projektív geometria, és szintetikus ismeretekkel rendelkezünk róla (lásd Griffin 1991 Russell-en és Nabonnand 2000 az ellentmondáson).

Nem lehet kétséges, hogy Poincaré, sokkal nagyobb matematikai ismereteivel, nyert nagy részt a vitában, ahogy Russell - jellegzetes hajlandóságával elismerni hibáit - hajlandó volt elismerni. De a köztük lévő megközelítés jelentős különbségét soha nem sikerült megoldani. Poincaré elemzése a merev testek gondolatával kezdődött, amelyből létrejön a távolság fogalma. Russell éppen ellenkezőleg állította, hogy bármit is felfedezhetünk a távolság fogalmával, azt tudjuk, mielőtt megkezdenénk, hogy London és Párizs közötti távolság több mint egy méter. Ezt Poincaré tagadta „Russell M. Fondements de la géométrie: à javaslat d'un livre de M. Russell” című könyvében (1899).

Poincaré véleménye szerint csak akkor tudjuk, mi az a távolság az egyik ponttól a másikig, amikor megtudtuk, milyen merev testek vannak, és ez a tudás veleszületett lett bennünk. Russell véleménye szerint a távolság fogalmának megvitatásakor nem is gondolhatnánk arra, hogy London és Párizs között a távolság kevesebb, mint egy méter - tudnánk, hogy nem a távolságról beszélünk, ha valami ilyesmit mondunk. Poincaré ragaszkodott ahhoz, hogy az, amit tudunk, mindig attól függ, hogyan tudjuk; ilyen elemzés nélkül az állítások egyáltalán nem voltak tudás-állítások. Russell azt akarta, hogy a távolság alapvető intuíció legyen.

A matematikai ábra megvilágíthatja a nézeteltérést. Poincaré esetében beszéljünk az úgynevezett rendes geometriaról, a térérzetről, amely a fejlett oktatás előtt van, valójában arról a képességről, hogy meg kell mérnünk a dolgokat. Megrajzolhatunk egy merev testet, és vonalzóként használhatjuk. Azért, mert meg tudjuk csinálni, beszélhetünk a helyek közötti távolságról. Ha absztraktbbá szeretné tenni a beállítást, akkor kell lennie egy szóköznek és egy csoportnak, amely a térben működik és pontokat mozgat a térben. Ha ennek a csoportnak az a tulajdonsága, hogy annak ellenére, hogy egy adott terület egy része körül mozog, soha nem térképezik fel a megfelelő részhalmazra, akkor merev testeket építhet és a távolságról beszélhet.

Russell számára szabadon szabad szóközt venni, és az egyes pontpárokhoz „távolságot” rendelni (néhány egyszerű szabálytól eltekintve, amelyeket kihagyok). A távolság ezen érzéséhez viszonyítva elmondhatjuk, hogy egy régió mozgatásakor az abban lévő pontok azonos távolságban maradnak-e egymástól, vagy sem. Ezt a távolság érzékelése érdekében tettük a Föld felszínén, és megtehetjük, függetlenül attól, hogy van-e valamilyen merev testmozgás is. Matematikai szempontból Russell örülne annak, amit metrikus térnek neveznek. A lényeg nem az, hogy valaki metrikát kényszeríthetne a Föld felületére, amelyben egy adott pár pár, mondjuk Cambridge-ben, méter távolságra volt egymástól, London és Párizs pedig csak fél méter távolságra helyezkedtek el, de lehet, beszélj a távolságról anélkül, hogy feltételeznénk egy csoport fellépését. Egyes metrikus terek elismerik a távolságot megőrző csoportok működését,mások nem, de a távolság meghatározható anélkül, hogy egy csoportról beszélnénk. Poincaré soha nem került szembe pontosan azzal, hogy az érvelés-metrikus terek a 20-as találmány találmányath században, de tudjuk, hogy mit mondott volna. Azt mondta volna, hogy érvényes matematika, de teljesen formális, és nem tekinthető valós tudásnak, mivel nem rendelkezik pszichológiai dimenzióval. Ezt tudjuk, mert az ő kritikája volt az axiomatikus geometriákkal, amelyeket Hilbert épített (lásd alább).

Poincaré érvei Federigo Enriques olasz matematikus kifogásaival is megegyeztek. Poincaré azt állította, hogy a geometriai konvencionista érvelés érvényességének megértésének egyik módja az volt, ha olyan lemezt vettünk figyelembe, amelyben minden ugyanabból az anyagból készült, amely felmelegszik, miközben melegszik, és amelyben a hőmérséklet a a lemez közepén. Ez a Poincaré által megadott funkció biztosította, hogy a tárcsa metrikája, amelyet a tárcsával megegyező anyagból készült rudakkal mérnek, a nem-euklideszi geometria. A lemezen élő lények arról számolnak be, hogy űrük nem euklideszi; Azt válaszolnánk, hogy ott volt euklideszi tér, de a hőmérséklet-torzító hatásnak kitéve. Egyértelmûen mindkét oldal fenntarthatja pozícióját önelmondásoktól mentesen.

Enriques a Problemi della Scienza (1906) című kiadványában azzal érvelt, hogy ez indokolatlan. A lényeknek helyes lenne, ha geometriájukat tulajdonítanák térükhöz (és valójában nem euklideszi geometriához), mert a torzító erő nem hatalmazható bennük. Geodéziaik be vannak építve a térbe, és ésszerűtlen lenne tőlük, ha a geodézia útját egy "erő" működésére sorolnák, mert ez a "erő" nem volt olyan, amit elvben még manipulálni tudtak volna. Hő, a hatalmas tárgyak gravitációs hatása, ezek a torzító hatások megengedettek, mert megváltoztathatók. Ha a fenti kísérletben azt állítják, hogy a tér euklidészi, de az egyenes vonalra jelöltünk deformálódott, akkor lehetővé kell tenni a deformáció mértékének változtatását. Lehet, hogy a kísérletet bármilyen hatalmas tárgytól távolabb, a világ üres területein végezzük. Ha a különféle kísérletek enyhén eltérő eredményeket adnának, akkor Poincaré tudományos konvenciók megváltoztatásának saját kritériumaival összhangban valami olyasmit keresne, amely felelős a fénysugarak egyenes vonalától való eltéréséért. De ha az összes kísérlet egyetértett, Enriques azt állította, hogy ésszerű lenne azt a következtetést levonni, hogy a fénysugarak a geodézia mentén mozognak, és a tér geometriája nem euklideszi. De ha az összes kísérlet egyetértett, Enriques azt állította, hogy ésszerű lenne azt a következtetést levonni, hogy a fénysugarak a geodézia mentén mozognak, és a tér geometriája nem euklideszi. De ha az összes kísérlet egyetértett, Enriques azt állította, hogy ésszerű lenne azt a következtetést levonni, hogy a fénysugarak a geodézia mentén mozognak, és a tér geometriája nem euklideszi.

Érdemes megjegyezni, hogy az elméleti geometria és a gyakorlati tapasztalatok közötti kapcsolatokról, valamint a geometria által szolgáltatott tudás természetéről szóló ötletek egyre kifinomultabb részei az egész matematika változásainak családjába tartoznak 1900-ig. A matematika önálló tudományága alakult ki. ez egyre nagyobb hangsúlyt fektetett a téma formális szempontjaira, és bonyolult és gyakran távoli kapcsolatot mutatott a tapasztalat világával. A matematika modernista fordulatát különféle helyeken tárgyalják (lásd Grey 2008 és az ott hivatkozott irodalom).

7. Záró megjegyzés

Ez az esszé megvizsgálta a fő ágak a fejlesztés geometria, amíg a korai években a 20 th század címszavak alatt elméleti vagy absztrakt tudás, tapasztalati és egyéb elemzéseket az érthetőség ilyen ismeretek, valamint a deduktív jellegét, hogy a tudás.

Az egyenes vonal státusa az elemi euklideszi geometria szempontjából, mind a két pontját összekötő legrövidebb görbe és a mindig ugyanabba az irányba mutató görbe kiszakításakor. Az egyik vizsgálati vonal olyan geometriákhoz vezetett, amelyek hangsúlyozták az egyenesességet mint alapvető tulajdonságot (tipikusan a projektív geometria), a másik pedig olyan geometriákhoz vezettek, amelyek a legrövidebb szempontot hangsúlyozták. Az előző megközelítést a kezdetektől nem metrikus szemléletűnek tekintették, és a geometria, mint deduktív vállalkozás formális, sőt axiomatikus vizsgálatainak kedvelt aréna lett. Az árnak kevesebb és kevésbé kellett mondani a fizikai helyet (amint Poincaré megfigyelte). A geometria fogalmát radikálisan kibővítették, de olyan módon, amelyet nem szándékoztak egy érthető tér elszámolására.

A metrikus beszámoló Euclid elemeiben a jelentős homályosság fokozatos megvilágításához vezetett: a párhuzamos posztulátum. Mert sok a 19 th században, ez volt az egyetlen alternatívája az euklideszi, hogy javasolták érthető geometria, annak ellenére, hogy általánosan elfogadott, hogy csak a legkényesebb kísérletek remélhette dönteni az ügyben. Poincaré vitatott véleménye szerint egyetlen kísérlet sem dönthet úgy, és ez fontos kérdéseket vet fel az absztrakt fogalmak értelmezésének módja kapcsán.

Az Euclid kétezer éve fennálló geometriarendszer egyik alternatívájának szemet gyönyörködtető gondolatán túl a metrikus geometriák áttekintése is utalt Gauss differenciális geometria munkájába, amelyet Riemann kidolgozott. Itt végre sikerült megmagyarázni a legegyszerűbb és a legrövidebb közötti kapcsolatot egy megfelelő általános környezetben. Lehetséges volt a geometria megvitatása is, mint olyan hosszúság, szög, alak és méret naiv elképzeléseiből kialakult ötlet, amely kifinomult és szigorú módon történik, anélkül, hogy axiómákra vonzanák, függetlenül attól, hogy ezeket az axiómákat szánták-e vagy sem mint érthető tapasztalatok lepárlása. Ilyen módon lehetővé vált a geometriai ötletek újszerű alkalmazása és újszerű alkalmazása.

Végére az első évtizedében a 20 th századi, egyértelmű volt, hogy az euklideszi geometria elvesztette kiemelkedő helyet. Jobb formális, axiomatikus rendszerek voltak (mint például Hilbert és néhány matematikus javasolta a Peano körüli iskolában). Voltak gazdag rendszerek, amelyek alapvetőek, abban az értelemben, hogy a hagyományos geometria alakjainak kevesebb tulajdonságát használják, mint például az egyenes (a projekciós geometria sok változata). És volt rengeteg metrikus geometria, természetesebb kiindulási pontokkal és mélyebb elméletekkel.

Ennek eredményeként sokkal kifinomultabbá váltak azok a gondolatok, amelyek szerint bármilyen elméleti geometria kapcsolódhat a körülöttünk lévő térhez. A geometria igazságát már nem magától értetődőnek tekintették, hanem bizonyos mértékben empirikusá vált, és a geometria érthetőségére vonatkozó filozófiai elképzelések szintén elmélyültek.

Bibliográfia

  • d'Alembert, J. le Rond, 1784, Encylopédie Méthodique: Mathématique.
  • Badici, E., 2011, „Az egyenlőség standardjai és Hume szemlélete a geometria szempontjából”, Pacific Philosophical Quarterly, 92 (4): 448–467.
  • Beltrami, E., 1868, „Saggio di interpretazione della geometria non Euclidea”, Giornale di Matematiche, 6: 284–312, az Opere matematiche I: 374–405-ben. Angol fordítás J. Stillwell, 1996, Hiperbolikus geometria forrásai (matematika története 10), amerikai és londoni matematikai társaságok, p. 7-34.
  • Bioesmat-Martagon, L., 2011, Észak-életrajz a világűr vetítéséhez, Nancy: Nancy Presses Universitaires de Nancy, Gyűjtési történelem geometria, 2.
  • Bolyai, J., 1832, „Függelék a tudományos gyakorlatban az abszolút veram-kiállításokról”, Bolyai W. és Bolyai J., 1832-ben, a Tentamen juventutem stúdiójában az Elementa Matheosis purae-ban stb., Maros-Vásérhely, 2 v. Angol fordítás: GB Halsted, „A világ tudományos abszolútja”, Függelék Bonola 1912-ben és JJ Gray-ban, 2004, Bolyai János, Nem-euklideszi geometria és a Tér jellege, Burndy Könyvtár, MIT.
  • Bonola, R., 1906, La geometria non-Euclidea, Bologna: Zanichelli, angol fordítás. reprint, New York: Dover, 1955.
  • Bottazzini, U., 1999, „Ricci és Levi-Civita: a differenciális invariánsoktól az általános relativitáselméletig”, JJ Gray (szerk.) A szimbolikus univerzum: geometria és fizika 1890–1930, Oxford: Oxford University Press.
  • Chasles, M., 1837, Aperçu historique sur l'origine and le développement des méthodes en géométrie… Mémoire de géométrie, stb. tom. 11, Bruxelles.
  • Clairaut, AC, 1741, Elémens de géométrie, Párizs: David Fils. Újranyomás 1920, Párizs: Gauthier-Villars.
  • Cremona, L., 1873, Elementi di geometria projettiva, Torino. Angol fordítás: C. Leudesdorf, 1885, Projektív geometria elemei, Oxford: Clarendon Press.
  • Enriques, F., 1906, Problemi della Scienza. Angol fordítás: K. Royce, 1914, Tudományos problémák, Chicago: Nyílt Bíróság.
  • Enriques, F., 1907, „Prinzipien der Geometrie”, Encylopädie der Mathematischen Wissenschaften, III. I.1,1–129, Lipcse, Teubner.
  • Euclid, az Euclid elemeinek tizenhárom könyve, fordítás és kommentárok Sir TL Heath-től, New York: Dover Publications, 1956.
  • Gauss, CF, 1828, „Disquisitiones generales circa superficies curvas”, Commentaes societatis regiae scientiarum Gottingensis recentiores. 1870-ben újranyomtatva, Carl Friedrich Gauss Werke, 4: 217–258; és P. Dombrowski (szerk.), 1978, 150 évvel azután, hogy Gauss '' Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas '' latin eredetű, A. Hiltebeitel és J. Morehead angol fordításának újbóli nyomtatásával, 1902, Astérisque 62, Párizs: Société mathématique de France; és P. Pesic (szerk.), 2005, ívelt felületek általános vizsgálata, New York: Dover Books.
  • Gauss, CF, 1900 Werke 8, Lipcse: Teubner.
  • Gray, JJ, 2008, Platón szelleme: A matematika modernista átalakulása, Princeton: Princeton University Press.
  • –––, 2011, A világok a semmiből; persze a geometria történetében a 19. th század 2. átdolgozott kiadás., London: Springer.
  • ––– 2012, Henri Poincaré: tudományos életrajz, Princeton: Princeton University Press.
  • Griffin, N., 1991, Russell idealista gyakorlati képzés, Oxford: Clarendon Press.
  • Hallett, M. és U. Majer (szerk.), 2004, David Hilbert előadása a geometria alapjairól, 1891–1902, Berlin: Springer.
  • Helmholtz, H. von, 1868, „Über die thatsächlichen Grundlagen der Geometrie”, Nachrichten K. Ges. Wissenschaften zu Göttingen, 9. Angol fordítás, MF Lowe, 1921, „A geometria alapjául szolgáló tényekről”, Epistemological Writings, RS Cohen és Y. Elkana (szerk.), Boston Studies in the Science Philosophy, Boston: Reidel, 37. kötet, 39-57.
  • ––– 1870, „Über den Ursprung und die Bedeutung der geometrischen Axiome”, Vorträge und Reden, vol. 2, 1–31. Angol fordítás “A geometria axiómáinak eredetéről és jelentőségéről”, az Epistemological Writings-ban, 1–25.
  • ––– 1921, Schriften zur Erkenntnistheorie, Berlin: Springer, P. Hertz és M. Schlick (szerk.), 1977, fordította: MF Lowe, mint episztemológiai írások, RS Cohen és Y. Elkana (szerk.), Reidel.
  • Herbart, JF, 1824–1825, Psychologie als Wissenschaft neu gegründet auf Erfahrung, Metaphysik, und Mathematik, 2 vols, Königsberg: AW Unzer.
  • Hilbert, D., 1899, Grundlagen der Geometrie, Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauss-Weber-Denkmals Göttingenben, Lipcse: Teubner, sok későbbi kiadás. A 10. kiadás angol verziója, L. Unger, 1971., A geometria alapjai, Chicago: Open Court.
  • ––– 1901, „Über Flächen von konstanter Gaussscher Krümmung”, Az American Mathematical Society 2: 87–99 tranzakciói. Gesammelte Abhandlungen, 2: 437–448.
  • Hume, D., 1739–1740, Az emberi természet traktata, London. Kereshető szöveg az emberi természet tragédiájában, David Hume, az eredeti kiadásból három kötetben nyomtatva, analitikus mutatóval szerkesztve, LA Selby-Bigge, MA (Oxford: Clarendon Press, 1896). [online kereshető Hume 1739]
  • Kant, I., 1781, 1787, Kritik der reinen Vernunft; fordító Norman Kemp Smith, 1929, Immanuel Kant „A tiszta ok kritikája”, 2. kiadás. ismétlés. 1970, London: Macmillan.
  • Klein, CF, 1871, „Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie”, Mathematische Annalen, 4: 573–625. Ugyancsak a Gesammelte Mathematische Abhandlungen 1-ben, (XVI. Szám): 254–305, Berlin: Springer.
  • ––– 1872, Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen, Eintritt program a filozófiai tudományok tényezőiben és a Senat der Eritegen Universität zu Erlangenben, Deichert, Erlangen, a Gesammelte Mathematische Abhandlungen 1-ben (4, XXVII.). Angol fordítás: MW Haskell, 1892–1893, a New York Mathematical Society 2: 215–249 közleménye, Berlin, Springer.
  • ––– 1873, „Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie. (Zweiter Aufsatz)”, Mathematische Annalen, 6: 112–145, Gesammelte Mathematische Abhandlungen 1, (XVIII. Szám): 311–343, Berlin: Springer.
  • Laplace, P.-S., 1796, „Exhibition du système du monde”, Párizs: Crapelet, Párizs, VI. Oeuvres, Gauthier-Villars, 1884
  • Legendre, A.-M., 1794, Éléments de géométrie, Párizs: Fermin Didot Frères, több kiadás.
  • Levi-Civita, T., 1917, „Nozione de parallelismo in unfavarietà kvalitaque”, Rendiconto del Circolo Matematico di Palermo, 42: 173–205.
  • Lobachevskii, NI, 1835, „Neue Anfangsgrunde der Geometrie mit einer vollständigen Theorie der parallellinien”, német fordítás Lobachetschefskij-ben, NI 1899 Zwei geometrische Abhandlungen, tr. Engel F., Lipcse, Teubner.
  • ––– 1840, Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien, Berlin, rep. Mayer és Müller, 1887, angol tr. GB Halott, geometriai kutatások a párhuzamos elméletben, függelék (Bonola 1912).
  • ––– 1856, Pangéométrie, ou précis de géométrie fondée sur une théorie générale des paralleles, Kasan. Angol fordítás kommentárral, Pangeometry, A. Papadopoulos (szerk.), European Mathematical Society, 2010.
  • Locke, J., 1690, esszé az emberi megértésről, London. [Locke 1690 elérhető online]
  • Marchisotto, E. és JT Smith, 2007, Mario Pieri öröksége geometria és aritmetika területén, Boston: Birkhäuser.
  • Mueller, I., 1981, A matematika filozófiája és a deduktív szerkezet az Euclid elemeiben, Cambridge: MIT Press.
  • Nabonnand, P., 2000, „La Poémarque entre Poincaré and Russell au sujet du staté des des axeles de la géométrie”, Revue d'histoire des mathématiques, 6: 219–269.
  • Newton, Sir I., 1687, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica. Angol fordítás The Principia: A természetes filozófia matematikai alapelvei, tr. IB Cohen, Whitman A., Budenz J., University of California Press, 1999.
  • de Pierris, G., 2012, „Hume a térről, geometria és vázlatos érvelés”, Synthese, 186 (1): 169–189.
  • Poincaré, H., 1882e. Théorie des groupes fuchsiens. Acta Mathematica 1, 1–62, Oeuvres 2, 108–168.
  • Poincaré, H., 1898, „A geometria alapjain” (fordította TJ McCormack) Monist 9: 1–43. Újra nyomtatva: Ewald, 1996, Kant-tól Hilbert-ig: Forráskönyv a matematika alapjaiban, Oxford: Oxford University Press, 2: 982–1012.
  • ––– 1899, „Des fondements de la géométrie: M. Russell Livre javaslat”, Revue de métaphysique et de morale 7: 251–279.
  • ––– 1902, „Les fondements de la géométrie”, Journal des savants, 252–271. Angol fordítás, EV Huntington, 1903, „Poincaré áttekintése Hilbert„ geometria alapjairól””, az American Mathematical Society közleménye, 10 (1): 1–23. [Poincaré 1902 (angol nyelven) elérhető online]
  • Poncelet, JV, 1822, Traité des Propriétées Projectives des Figures, Párizs: Gauthier-Villars.
  • Riemann, GBF, 1867, [1854], „Ueber die Hypothesen, Welche der Geometrie zu Grunde liegen”, Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 13: 1–20. Újra publikálva a Gesammelte Mathematische Werke-ben, a Wissenschaftliche Nachlass und Nachträge-ben. Összegyűjtött dokumentumok: Nach der Ausgabe von Heinrich Weber és Richard Dedekind, 1990, R. Narasimhan, (szerk.) Berlin: Springer, 304–319. Bernhard Riemann, Összegyűjtött dokumentumok, fordította Roger Baker, Charles Christenson és Henry Orde, Kendrick Press, 2005.
  • Russell, B., 1899, „Sur Les Axiomes de la Géométrie”, Revue de méetaphysique et de morale, 684–706, lefordítva és újra kinyomtatva: „A geometria axiómáin”, N. Griffin és AC Lewis, (szerk.), 1990, Bertrand Russell The Collected Papers, 2, London: Hyman Unwin, 394–415.
  • Scholz, E., 1982, „Herbart befolyása Bernhard Riemannra”, Historia Mathematica, 9 (4): 413–440.
  • –––, 2001, „Weyl's Infinitesimalgeometrie”, Hermann Weyl Raum – Zeit – Materie című részében és tudományos munkájának általános bevezetése, Scholz E. (szerk.), Bázel, Birkhäuser.
  • Schweikart, FK, 1818, „Notiz”, Carl Friedrich Gauss Werke, 8: 180–181.
  • von Staudt, GKC, 1847, Geometrie der Lage, Nürnberg.
  • ––– 1856–1860, Beiträge zur Geometrie der Lage, 3 vols, Nürnberg.
  • Villaggio, P., 2006, „Az Enriques mechanika alapjairól”, K. Williamsben (szerk.) Két kultúra: esszék David Speiser tiszteletére, Birkhäuser, 133–138.
  • Wallis, J., 1693, „De postulato quinto et define lib. 6 Euclidis deceptatio geometrica”, Operum Mathematicorum, 2: 665–678.
  • Weyl, H., 1918, Raum – Zeit – Materie, Springer. A harmadik kiadás angol nyelvű fordítása (1920) Tér-idő-ügy, London: Methuen.

Tudományos eszközök

sep ember ikonra
sep ember ikonra
Hogyan idézhetem ezt a bejegyzést.
sep ember ikonra
sep ember ikonra
A bejegyzés PDF-verziójának előnézete a SEP Barátok társaságában.
inpho ikonra
inpho ikonra
Nézze meg ezt a belépési témát az Internet Filozófia Ontológiai Projektben (InPhO).
phil papírok ikonra
phil papírok ikonra
Továbbfejlesztett bibliográfia erre a bejegyzésre a PhilPapersnél, az adatbázisához kapcsolódó hivatkozásokkal.

Egyéb internetes források

  • Az Euclid Elements dinamikus változata, készítette: DE Joyce, Clark Egyetem
  • Gauss (1828) angol fordítása, az Internetes Archívumban.

Ajánlott: